2022年专题13立体几何中的向量方法(易错起源)-年高考数学(理)备考黄金易错点含解析

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专题 13 立体几何中的向量方法1. 【2021 课标 1，理 18】如图，在四棱锥P-ABCD中， AB/CD，且BAPCDP90 .（ 1）证明：平面PAB平面 PAD；（ 2）如 PA=PD=AB=DC，APD90 ，求二面角A- PB- C 的余弦值 .【答案】（ 1）见解析； （ 2）3 .3以 F 为坐标原点，FA 的方向为 x轴正方向，AB 为单位长，建立如下列图的空间直角坐标系 Fxyz .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - -

2、- -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -由（ 1）及已知可得A2,0,022，P0,0,，B 22,1,0，C22,1,0.2所以 PC2 ,1,2，CB2,0,0，PA2 ,0,2，AB0,1,0 .2222设 nx, y, z是平面 PCB 的法向量，就n PC02 xy2 z0n CB，即 22，02x0可取 n0,1,2.设 mx, y, z是平面 PAB 的法向量，就m PA02 x2 z0，即 22，m AB0y0可取 n1,0,1.就 cosn, mn m3 ，n m3所以二面角APBC 的余弦值为3 .32. 【2021 山东， 理 17

3、】如图， 几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部） 以 AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的， G 是 DF 的中点 .（）设P 是 CE 上的一点，且APBE ，求CBP 的大小；（）当AB3 ， AD2 ，求二面角EAGC 的大小 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【答案】（）CBP30. （） 60.【解析】（）由于APBE ，ABBE ，AB ，AP平面 ABP ，ABAPA ，所以 BE平面 ABP ，又

4、BP平 面 ABP ，所以 BEBP ，又EBC120，因此CBP30（）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A 0,0,3E2,0,0，G 1,3,3，C1,3,0，故AE2,0,3，AG1,3,0，CG2,0,3， 设 mx1 , y1 , z1是平面 AEG 的一个法向量 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -m AE由 m AG0可得 02x1 x

5、13z10,3 y10,取 z12 ，可得平面AEG 的一个法向量m3,3, 2.设 nx2 , y2 , z2是平面 ACG 的一个法向量 .n AG由 n CG0可得 0x22 x23 y20,3 z20,取 z22 ，可得平面ACG 的一个法向量n3,3,2.所以 cosm, nm n1 .m n2因此所求的角为60.3.【2021 北京， 理 16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为正方形， 平面 PAD平面 ABCD，点 M在线段 PB上， PD/ 平面 MAC，PA=PD=6 ， AB=4（ I ）求证： M为 PB的中点；（ II ）求二面角B- PD- A 的大小；

6、（ III）求直线MC与平面 BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析： （）3；（） 269【解析】（ I ）设AC , BD 交点为 E ，连接 ME .由于 PD平面 MAC ，平面 MAC平面 PBDME ，所以 PDME .由于 ABCD 是正方形，所以E 为 BD 的中点，所以M 为 PB 的中点 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ II ）取 AD 的中点 O ，连接 OP ，OE .由于 PAPD ，所以 OPAD

7、 .又由于平面PAD平面 ABCD ，且 OP平面 PAD ，所以 OP平 面 ABCD .由于 OE平面 ABCD ，所以 OPOE .由于 ABCD 是正方形，所以OEAD .如图建立空间直角坐标系Oxyz ，就 P0,0,2，D2,0,0，B2,4,0，BD4,4,0，PD2,0,2.设平面 BDP 的法向量为n x, y, z，就 n BDn PD0 ，即 4x 02x4 y0.2z0令 x1 ，就 y1 ，z2 . 于是 n1,1,2.平面 PAD 的法向量为p0,1,0，所以cosn, pnp1.np2由题知二面角BPDA 为锐角，所以它的大小为.3（ III）由题意知M1,2,2

8、2，D2,4,0，MC3, 2,2.2设直线 MC 与平面 BDP 所成角为，就sincosn, MCn MC26.n MC9所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为26 .94. 【2021 天津，理17】如图，在三棱锥P- ABC中， PA底面 ABC，BAC90. 点 D， E，N精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -分别为棱PA， PC， BC的中点， M是线段 AD的中点， PA=AC=4， AB=2.（）求证：MN平面

9、 BDE；（）求二面角C- EM- N 的正弦值；（）已知点H在棱 PA上，且直线NH与直线 BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长 .【答案】（ 1）证明见解析（2）10521（3） 8或 152【解析】如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立 空间直角坐标系. 依题意可得A（ 0，0，0），B（ 2， 0，0），C（ 0，4，0），P（ 0，0，4），D（0， 0， 2），E（ 0， 2， 2）， M（0， 0， 1）， N（ 1，2， 0） .（）证明：DE =（ 0， 2，0）， DB =（ 2， 0，2 ） . 设 nx, y,

10、 z ，为平面BDE的法向量，就 n DE0，即 2 y0. 不妨设 z1 ，可得 n1,0,1. 又 MN =（ 1，2，1 ），n DB02x2 z0可得 MNn0 .由于 MN平面 BDE，所以 MN/ 平面 BDE.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（）解：依题意，设AH=h（ 0h4 ），就 H（ 0， 0，h），进而可得NH1, 2, h，BE2,2,2. 由已知，得cos NH , BENHBE2h27，整理得10h 2

11、21h80 ，解得 h8181，或 h.52NHBEh252321所以，线段AH的长为或.525. 【2021 江苏， 22】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中， AA1平面 ABCD，且 AB=AD=2， AA1=3 ，BAD120.（ 1）求异面直线A1B与 AC1 所成角的余弦值；（ 2）求二面角B-A1D-A 的正弦值 .【答案】（ 1）17（ 2）74【解析】在平面ABCD内，过点A作 AEAD，交 BC于点 E.由于 AA1平面 ABCD，所以 AA1AE， AA1AD.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - -

12、- - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -如图，以AE , AD ,AA1为正交基底，建立空间直角坐标系A- xyz.由于 AB=AD=2， AA1=3 ，BAD120.就 A0,0,0, B3,1,0 , D0,2,0, E3,0,0, A10,0,3 , C13,1,3.(1) A1B3,1,3, AC13,1,3，就 cosA1B, AC1A1BAC1 A1BAC13,1,33,1,31.771因此异面直线A1B 与 AC1 所成角的余弦值为.7(2) 平面 A1DA的一个法向量为AE3,0,0.设 mx, y, z为平面 BA1

13、D 的一个法向量，又 A1B3,1,3, BD3,3,0，mA1B就 m BD0,3 xy即 0,3x3z0,3 y0.不妨取 x=3，就 y3, z2 ，所以 m3,3, 2为平面 BA1D 的一个法向量，从而 cosAE, mAE m3,0,03,3,23，AE m设二面角B- A1D- A 的大小为，就3443cos.4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -由于0,，所以sin1cos27 .4因此二面角B- A1D- A的正弦值为

14、7 .46.【2021 高考新课标1 卷】（本小题满分为12 分）如图 , 在以 A, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形 , AF=2FD,AFD90 , 且二面角D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是 60 （ I ）证明：平面ABEF平面 EFDC；（ II ）求二面角E- BC- A 的余弦值【答案】（ I ）见解析（ II ）21919【解析】（）由已知可得FDF ， FFE ，所以 F平面 FDC又F平面 F ，故平面 F平面 FDC （）过D 作 DGF ，垂足为 G ，由（）知DG平面 F以 G 为坐标原点，GF 的方向为 x 轴正方

15、向，GF为单位长，建立如下列图的空间直角坐标系 Gxyz 由（）知DFE为二面角DAFE 的平面角， 故DFE60 ， 就 DF2 ， DG3 ，可得 A1,4,0， B3,4,0， E3,0,0， D0,0,3由已知，AB/ EF ，所以AB/ 平 面 EFDC 又平面 ABCD平面 EFDCDC ，故AB / CD ， CD/ EF 由 BE / AF ，可得 BE平面 EFDC ，所以CF 为二面角 CBEF 的平面角，CF60从而可得C2,0,3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归

16、纳总结 - - - - - - - - - - - -所以 C1,0,3， 0,4,0， C3,4,3， 4,0,0设 nx,y, z是平面 C 的法向量，就nC0x，即n 04 y3z0 ，0所以可取 n3,0,3设 m 是平面 CD 的法向量，就mC0，m 0同理可取 m0,3, 4就 cosn, mnm nm21919故二面角E-BC-A 的余弦值为219 197. 【 2021高 考 新 课 标2理 数 】 如 图 ， 菱 形 ABCD的 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O ，AB5, AC6 ，点E, F 分别在AD, CD 上， AECF5，EF 交 BD 于点 H 将DE

17、F4沿 EF 折到D EF 位置， OD10 （）证明：D H平面 ABCD ；（）求二面角BD AC 的正弦值精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【答案】（）详见解析； （）295.25【解析】（）由已知得ACBD ， ADCD ，又由 AECF 得 AECF22ADCD，故 AC EF .因此 EFHD ，从而 EFD H . 由 AB5 , AC6 得 DOB0ABAO4 .由 EF AC得 OHAEDOAD1. 所以 OH41

18、 ， D H =DH=3 .于是 D H 2OH 2321210D O 2 ，故 D HOH .又 D HEF ，而 OHEFH ，所以 D H平面 ABCD .（）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz ，就 H0,0,0， A3,1,0， B 0,5,0， C3,1,0， D0,0,3， AB3,4,0 ，AC6,0,0， AD3,1,3. 设 mx1 , y1, z1是平面 ABD的法向量， 就mAB0，mAD03x1即3x14 y1 y103 z1，所以可取m04,3,5. 设 nx2 , y2 , z2是平面ACD的法向量，nAC0就，即nAD

19、06 x23 x20y2 3z，所以可取n200,3,1.于是m n1475295cosm n,m n5010， sin25m, n. 因此二面角BD AC 25精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -的正弦值是295 .258. 【2021 高考天津理数】 （本小题满分13 分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF 平面 ABCD，点 G为 AB的中点， AB=BE=2.（ I ）求证： EG平面 ADF；

20、（ II ）求二面角O- EF- C 的正弦值；（ III）设 H 为线段 AF上的点，且AH= 23HF，求直线BH和平面 CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）37（）321【解析】依题意，OF平面ABCD ，如图，以 O 为点，分别以AD , BA, OF 的方向为 x 轴，y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O0,0,0 ，A1,1,0, B1,1,0, C 1,1,0,D 1，1,0,E1,1,2,F 0,0,2,G1,0,0 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品w

21、ord 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ I ）证明：依题意，AD2,0,0, AF1, 1,2. 设 n1x, y, z 为平面 ADF 的法向量，n1AD就02x0，即. 不妨设 z1，可得n10,2,1，又 EG0,1,2，n1AF0xy2z0可得 EGn10 ，又由于直线EG平面ADF，所以EG / / 平面ADF .（ II） 解 ： 易 证 ，OA1 , 1 , 0为 平 面O E F 的 一 个 法 向 量 .依 题 意 ，E F1 , 1 , 0 C,F1. ,设1n,2 2x, y, z 为平面 CEF 的法向量，就n2EF0，即n2CF0xy0

22、x y2z. 不妨设 x01 ，可得n21,1,1 .因 此 有cosOA,n2OA n2 OAn26， 于 是3sinOA, n23， 所 以 ， 二 面 角33OEFC 的正弦值为.39. 【20XX年高考北京理数】 （本小题14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，PAPD ，PAPD ，ABAD ，AB1， AD2 ， ACCD5 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 1）求证： PD平面 P

23、AB ；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（ 3）在棱 PA 上是否存在点M ，使得 BM说明理由 ./ / 平面 PCD ？如存在，求AMAP的值；如不存在，【答案】（ 1）见解析； （ 2）3AM1；（ 3）存在，3AP4【解析】（ 1）由于平面PAD平 面 ABCD ， ABAD ，所以 AB平面 PAD ，所以 ABPD ，又由于 PAPD ，所以 PD平面 PAB ；（ 2）取 AD 的中点 O ，连结 PO ， CO ，由于 PAPD ，所以 POAD .又由于 PO平面 PAD ，平面 PAD平面 ABCD ，所以PO平面ABCD.由于CO平面ABCD，所以P

24、OCO .由于 ACCD ，所以 COAD .如图建立空间直角坐标系Oxyz，由题意得，A0,1,0, B1,1,0, C2,0,0, D0,1,0, P 0,0,1 .设平面 PCD 的法向量为n x, y, z ，就精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -n PDn PC0, 即0,x z0,2xz0,令 z2 ，就 x1, y2 .所以 n1,2,2 .又 PB1,1,1 ，所以cosn, PBn PB3.n PB3所以直线PB 与

25、平面 PCD 所成角的正弦值为3 .310. 【 2021 高考浙江理数】 此题满分 15 分 如图 , 在三棱台ABCDEF中, 平面 BCFE平面ABC ,ACB=90, BE=EF=FC=1, BC=2, AC=3.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -(I) 求证： EF平面 ACFD；(II) 求二面角B- AD- F 的平面角的余弦值.3【答案】（ I ）证明见解析； （ II ）4【解析】（）延长AD ， BE ， CF

26、相交于一点K ，如下列图由于平面BCFE平面 ABC ，且 ACBC ，所以 AC平面 BCK ，因此 BFAC 又由于EF / BC ， BEEFFC1 ， BC2 ，所以 BCK 为等边三角形，且F 为 CK 的中点，就BFCK 所以 BF平 面 ACFD （）方法一：过点F 作 FQAK 于 Q，连结 BQ 由于 BF平面 ACK ，所以 BFAK ，就 AK平面 BQF ，所以 BQAK 所以BQF 是二面角 BADF 的平面角在 Rt ACK中， AC3 ， CK2 ，得 FQ31313在 Rt BQF 中， FQ313， BF133 ，得cosBQF3 4所以二面角BADF 的平面

27、角的余弦值为3 4方法二：如图，延长AD ， BE ， CF 相交于一点K ，就BCK为等边三角形取 BC 的中点 O ，就 KOBC ，又平面 BCFE平面 ABC ，所以， KO平面 ABC 精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -以点 O 为原点， 分别以射线OB ，OK 的方向为 x ， z 的正方向， 建立空间直角坐标系Oxyz 由题意得B 1,0,0 ，C1,0,0，K 0,0,3 ，A1,3,0，E 1 ,0,3 ，F1 ,

28、0,3 2222因此， AC0,3,0， AK1,3,3， AB2,3,0设平面 ACK 的法向量为mx1, y1 , z1，平面 ABK的法向量为nx2 , y2 , z2ACm由AKmABn由AKn03 y1，得0x102 x2，得0x203 y13 y23 y23z1 03z2，取 m0，取 n03,0,1 ；3,2,3于是，cosm, nm n3 mn4所以，二面角BADF 的平面角的余弦值为3 4易错起源1、利用向量证明平行与垂直例 1、如图，在直三棱柱ADE BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且相互垂直，点M为 AB的中点，点O为 DF的中点运用向量方法证明：(1) O

29、M平面 BCF；(2) 平面 MDF平面 EFCD.证明方法一由题意，得AB， AD， AE两两垂直，以点A 为原点建立如下列图的空间直角坐精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -标系1设正方形边长为1，就 A0,0,0，B1 ，0,0 ，C1,1,0，D0,1,0，F1,0,1，M 2， 0， 0 ，111O， ，.222011(1) OM， BA 1,0,0，22 OM·BA0, OM BA.棱柱 ADE BCF是直三棱柱，

30、BA AB平面 BCF， 是平面 BCF的一个法向量，且 OM.平面 BCF， OM平面 BCF.(2) 设平面 MDF与平面 EFCD的一个法向量分别为n1 x1， y1，z1 ， n2 x2， y2，z2 1 DF 1 ， 1,1 ， DM 2， 1， 0 ， DC 1,0,0， CF 0 ， 1,1 ，DFn1· 0，由x1 y1 z1 0，得 1nx1 y1 0，1· DM 0. 211令 x1 1，就 n1 1， ，.22同理可得n2 0,1,1 n1· n2 0，平面 MDF平面 EFCD.11方法二1 OMOF FB BM 2DF BF2BA1 11

31、11 DB BF BF2BA2BD22BF2BA111 BC BA BF BA21 2BC221BF. 2向量 OM与向量BF， BC共面，又 OM.平面 BCF， OM平面 BCF.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2 由题意知， BF， BC， BA两两垂直， CDBA， FC BCBF， OM·CD 1 1 ·BA 0，2BC2BF11OM· FC 2BCBF ·BC BF 2121 2

32、 2BC2BF 0. OMCD， OMFC，又 CD FC C， OM平面 EFCD.又 OM. 平面 MDF，平面MDF平面 EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中， PA底面 ABCD，点 E，F 分别是 PC，PD的中点， PAAB 1， BC 2.(1) 求证： EF平面 PAB；(2) 求证：平面PAD平面 PDC.证明1 以点 A为原点， AB所在直线为x 轴， AD所在直线为y 轴， AP所在直线为z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系，就 A0,0,0， B1,0,0，C1,2,0， D0,2,0， P0,0,1，点 E，F 分别是 PC， PD的中点，1

33、1 E， 1，2211， F 0， 1， 2 ，2EF ，0， 0 ，AB 1,0,01 EF 2AB， EF AB，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -即 EFAB，又 AB. 平面 PAB， EF.平面 PAB， EF平面 PAB.2 由 1 可知 PB 1,0 ， 1 ，PD 0,2 ， 1 ，AP0,0,1，AD0,2,0，DC 1,0,0， AP·DC0,0,1·1,0,0 0， · 0,2,0

34、·1,0,0 0，ADDC ， ，即 AP DC， AD DC.APDCADDC又 APAD A， DC平面 PAD. DC. 平面 PDC，平面 PAD平面 PDC.【名师点睛】用向量学问证明立体几何问题，仍旧离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a b，只需证明向量a b R即可如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线 l 的方向向量为a a1， b1，c1 ，平面 ， 的法向量分别为 a2， b2， c2 ，v a3， b3，

35、c3 就有：(1) 线面平行l . a . a· 0. a1a2 b1b2 c1c2 0.(2) 线面垂直l . a . a k . a1 ka2， b1 kb2， c1kc2.(3) 面面平行 . v. v. a2 a3， b2 b3， c2 c3.(4) 面面垂直 . v. · v 0. a2a3 b2b3 c2c3 0.易错起源2、利用空间向量求空间角精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -例 2、如图，在四棱锥

36、PABCD中，已知PA平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC BAD2 ， PA AD 2， AB BC1.(1) 求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；(2) 点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长解以 AB， AD，AP 为正交基底建立如下列图的空间直角坐标系Axyz，就各点的坐标为B1,0,0， C1,1,0， D0,2,0， P0,0,21 由于 AD平面 PAB，所以 AD是平面 PAB的一个法向量，AD 0,2,0由于 PC 1,1 ， 2 ， PD 0,2 ， 2 设平面 PCD的法向量为m x， y， z ，就 m&#

37、183; 0， m· 0，PCPDxy 2z0，即2y 2z 0.令 y 1，解得 z1， x 1.所以 m1,1,1是平面 PCD的一个法向量AD从而 cos ， mAD·m 3，AD| | m|33所以平面PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值为3 .2 由于 BP 1,0,2，设BQ BP ， 0,2 0 1 ，又 0 ， 1,0 ，就 ， 1,2 ，CBCQ CBBQ精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -又DP 0 ， 2,2 ，CQ· DP1 2从而 cos CQ， D