2022年《高等数学》知识在物理学中的应用举例

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高等数学学问在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题；求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题；在求解这类问题时， 应结合问题的物理意义， 明确是在对哪个变量求变化率；在此基础上， 敏捷运用各类导数和微分公式解决详细问题；例 1 如图，曲柄 OAr , 以匀称角速度饶定点 O 转动.此曲柄借连杆 AB 使滑 块 B沿 直 线 Ox运 动 . 求 连 杆 上 C点 的 轨 道 方 程 及 速 度 . 设ACCBa,AOB,ABO. y解 1 如图，点 C 的坐

2、标为：xr cosa cos， 1 Aya sin.2C由三角形的正弦定理，有Br sin故得2 a sin, o x由1得sin2a sinr2 y . r3xa cosxa 2y 2cos4由 3 2 4 2sin24 y 2x2r 2rcos2 a 2r1, 得y 22xa2y21,r 2化简整理 ,得C 点的轨道方程为 :4x2 a2y 2 x23y 2a2r 2 2 .2 要求 C 点的速度 ,第一对 1,2分别求导 ,得xrsinrcos 2 cossin, yrcos, 2其中.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - -

3、 - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -又由于rr sincos2a sin.,对该式两边分别求导 ,得2 a cos所以 C 点的速度Vx 2y 22rsinrcos 2cossin 2r2 cos2 4r2 coscos24 sincossin .例 2 如一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为 ac1sint , 式中 c 及2TT 为常数 ,已知升降机的初速度为零,试求运动开头 t 秒后升降机的速度及其所走过的路程 .解:由题设及加速度的微分形式adv ,有dtdv对等式两边同时积分vdvc1csint1t dt , 2Tsintd

4、t ,002T得:v其中 D 为常数 .ctc 2TcostD ,2T由初始条件 : v0,t0, 得 D2T c, 于是又由于 vvds , 得dtct2T cost 2T1.dsct2T cost 2T1 dt ,对等式两边同时积分 ,可得:sc1 t 222T 2Tsint 2Tt .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -例 3 宽度为 d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比；在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c.一小船以

5、相对速度 u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点；解以一岸边为 x 轴，垂直岸的方向为y 轴，如图建立坐标系；所以水流速度为yky,vkdo xd0y,2ddy,yd .2由河流中心处水流速度为c，故 ckd2k dd ，所以 2k2c .d当0yd 时， v2c2dy ，即dx dt得dx2cu tdt .d两边积分，有2c y, y dut ,1xt 2cudxtdt ,00dx由1-2，得cu t 2 ,2dxcy2 , 0y udd .32同理，当 d2yd 时， v2c d dy ，即dx2 c dy dtd2 c d dut ,dx2c d dut dt ，x

6、2c y ucy 2udD ，4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -其中 D 为一常数；由 3知，当yd 时， x 2cd ，代入4，得 D 4ucd，于是2ux2c y ucy 2udcd , d 2u2yd .x所以船的轨迹为xcy 2 , ud2c ycy 2uud0ycd ,d2u2d , 2yd.船在对岸的靠拢地点，即yd 时有 xcd . 2u例 4 将质量为 m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中；设阻力与速度平方成正比，即

7、Rmk2 gv2 .如上掷时的速度为v0 ，试证此质点又落至投掷点时的速度为 v1v0.01k 2 v 2解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段；取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：v R上升： mymgmk 2 gy 2 ,；下降：mymgmk 2 gy2 . mg v上升时R下降时mg对上升的阶段：dvdtg 1k 2 v2 ，即 dv dydy dtvdv dyg 1k 2v 2 ,于是vdv1k 2 v20gdy . 两边积分v0 1vdvk2 v2hgdy ，0得质点到达的高度h12k 2 gln1k 2v 2 .1对下降的阶段：dv dy dy dtvdv dyg1

8、k 2 v2 , 即得v1vdv010 1k 2v 20gdy ,得h由1=2得 v11h2k 2 gv001k 2v 2ln1.k 2v 2 .2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算， 可解决一些关于某个区域累积量的求解问题；求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题；在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积；并应充分利用区域的

9、对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决详细问题；例 5 一半径为 R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度为：式中0 和都是常数；试求此圆球饶直径转动时的回转半径；解： 设 dm 表示距球心为 r 的一薄球壳的质量，就r 2r 20 12 ,R0dmr 2drr 2 12 dr ，R所以此球对球心的转动惯量为R2Irdm0R40r102rdr R 25 750 R.351在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为I又因球的质量为2 I ，23RRmdmr 2 1r 22 drR 3 53.3000又饶直径的回转半径kI,m0R15由1-4，得 k1410R.3521例 6 试

10、证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为线的长度；kd，式中 d 为对角32解：建立坐标系，设 O 为立方体的中心，轴Ox,Oy,Oz 分别与立方体的边平行；由对称性知，Ox, Oy ,Oz 轴即立方体中心惯量的主轴；设立方体的边长为a.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -由以上所设，平行于 Ox 轴的一小方条的体积为adydz ，于是立方体饶 Ox 的转动惯量为aaI22xaa22a y 2z2 dydzm a 2 . 6m2依据对称性

11、得： I xI yI za.6易知立方体的对角线与饶对角线的转动惯量为Ox ,Oy,Oz 轴的夹角都为, 且 cos1, 故立方体 3又由于II x2cos2I y cos2I z cosm a 2 . 61d3a ,2饶其对角线转动时的回转半径为由1-3得 kkI ,md.323例 7 一个塑料圆盘，半径为R, 电荷 q 匀称分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度；解：电荷运动形成电流， 带电圆盘饶中心轴转动， 相当于不同半径的圆形电流；圆盘每秒转动次数为，圆盘表面上所带的电荷面密度为2q ，在圆R 2盘上取一半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环， 它

12、所带的电量为dq2rdr，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为dI2rdr2rdr ，它在轴线上距盘心x 处的 P 点所产生的磁感应强度为2dB0 r2 dI0rrdr2 r 2x 2 3 2r 32r 2x2 3 20dr ,2r 2x2 3 2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -故 P 点处的总磁感应强度为Rr 3B020 r 2x 2 3 2dr ,变换积分r 2r 3drx2 3 2 r 2r drx 2 1 2x2

13、r 2rdrx 2 3 2所以22B0Rxx2x20 q R2x 222x，2B 的方向与方向相同 qR20 或 qx20 .2 R2R2x2于是在圆盘中心 x0 处，磁感应强度 B0q .2R例 8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系；解： 设雨滴的本体为m.由物理学知d mvF . dt11) 在处理这类问题时，经常将模型的几何外形抱负化；对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为r , 就雨滴质量 m 是与半径 r 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是3m其中 k1 为常数；k1r，222) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即dm2k4rd

14、tk2 r,3其中 k2 为常数；由 2，得1dm dt由3=4，得k3r 2dr . dt4drk2dt3k1.5精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -对5两边积分：rrtdra0ta , 6dt, 得将6代入2，得mk1 t3a) .73）以雨滴下降的方向为正，分析1式1d k t dta 3 vk1 ta) 3 g ,8vd k ta 3 vtk ta3 gdt,0k1 1ta 3 v0111 k g t 4a) 4k3 , （ k

15、3 为常数）当t0 时， v0 ，故 kk ga 41, vg taa.3444ta 3三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用特别广泛，敏捷应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化；在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的；例 9 设力 FFx iFy jFz k , 其中 Fx6abz3 y20bx 3 y 2 , F6abxz3yz10bx4 y, F18abxyz2 , 验证 F 为保守力，并求出其势能；解： 为验证 F 是否为保守力，将题设中力F 的表达式代入F ，得ijkFxyzF xF xF xFzF y i yzFxzFz jFyxx

16、Fx k y18abxz218abxz2 i18abz2 y18abz2 y j6abz340abx3 y6abz340abx3 y k0,于是 F 是保守力；故其势能为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -VFdr x , y ,z 0,0,0 Fx dxFy dyFz dz x, 0,0 332x , y,0 34 0, 0,06abz y20bx ydx x,0 ,06abxz10bxydy x, y, z 2423 x, y ,0

17、 18abxyz dz5bx y6abxyz .例 10 一个半径为 R 的球体内，分布着电荷体密度kr , 式中 r 是径向距离，k 是常量；求空间的场强分布，并求E 与 r 的关系；解： 1由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解；取与球面同心的球面作为高斯面；1) 当 rR 时，Eds10q , 而EdsE4r 2，11q100dv10rkr 40r 2 drk r 4 ,02由1=2，得E r kr 2 , 方向为径向方向； 402) 当 rR 时，由高斯定理Eds10q , 有EdsE4r 2,31q1dv00kR4R1kr 400r 2 d

18、rk R4 ,042由3=4，得Er 40r, 方向沿径向方向；例 11 一根很长的铜导线， 载有电流 10 A ，在导线内部通过中心线作一平面S试运算通过导线 1m 长的 S 平面内的磁感应通量；解： 由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解；取 以 轴 线 为 圆 心 的 半 径 为 r 的 同 心 圆 环 为 积 分 环 路 ， 由 安 培 环 路 定 理Bdl0I ，有Bdl2rB,1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -rR :0I10R 2r 2 ,2由1=2，所以有 B0 Ir .22 R在剖面上取面积微元ddsldrBds，有0Irldr .2 R2所以单位长 l1m 的导线内通过剖面的磁通量为dR0 Irdr0 I47101010 6 Wb.s0 2 R 244例 12 在半径为 R 的金属球之外包有一层匀称介质层，外半径为R . 设电介质的相对电容率为r , 金属球的电荷量为Q, 求：1) 介质层内、外的场强分布；2) 介质层内、