2018版高中数学第二章平面解析几何初步习题课直线与方程学案苏教版必修2

1、第二章平面解析几何初步【学习目标】1.掌握与直线有关的对称问题2 通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.ET知识梳理-知识点一对称问题i.点关于直线对称设点P(xo,yo),l:Ax+By+C- 0(AB#0)，若点P关于I的对称点为点Q(x,y)，则I是线即可得点Q的坐标.常用的结论2.直线关于点对称Ax+By+C= 0(A2+B# 0)和点P(x。，y。)，求I关于点P的对称直线l的方程.设P(x ,y)是对称直线I上的任意一点，它关于点P(X0,y)的对称点(2X0 x , 2y0y)在直线I上，贝UA(2x。一x ) +B(2yy ) +C= 0,即卩Ax+By +C=

2、0 为所求的对称直线I的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点,对称点必在对称直线上.常用的结论设直线I:Ax+By+C= 0,则：(1)I关于x轴对称的直线是Ax+B( y) +C= 0.I关于y轴对称的直线是Ax) +By+C- 0.段PQ的垂直平分线，故PQLI且PQ的中点在I上，解方程组x+X0y+y宀丁 +(1)A(a,b)关于x轴的对称点为A(a,b).B(a,b)关于y轴的对称点为B( a,b).C(a,b)关于原点的对称点为C(a, ,b).D(a,b)关于直线y=x的对称点为D( b,a).E(a,b)关于直线

3、y=x的对称点为E( b,a).P(a,b)关于直线x=m的对称点为P(2 m-a,b).Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q ( a,2nb).已知直线I的方程为-1,yy- ”，xX02(3)I关于原点对称的直线是Ax) +B( y) +C= 0.I关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C= 0.(5)I关于直线y=x对称的直线是Ay) +B( x) +C= 0. 知识点二最值问题1. 利用对称转化为两点之间的距离问题2. 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离3. 利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值类型一对称问题命题角度 1 关于点对称问题例 1 (1)求点

4、P(xo，yo)关于点A(a，b)的对称点P的坐标；求直线 3xy 4= 0 关于点(2 , 1)的对称直线I的方程.反思与感悟(1)点关于点的对称问题若两点A,y1) ,B(X2,y2)关于点Rx。,yo)对称，则点P是线段AB的中点，并且X1+X2xo=2,y1+y2yo=2.直线关于点的对称问题若两条直线丨1,丨2关于点P对称，则丨1上任意一点关于点P的对称点必在I2上，反过来，I2上任意一点关于点P的对称点必在I1上.若I1/I2,则点P到直线I1,I2的距离相等 过点P作一直线与11,丨2分别交于A, B两点，则点P是线段AB的中点跟踪训练 1 已知点A(x,5)关于点(1 ,y)的

5、对称点为(一 2, 3)，则点P(x,y)到原点的距 离是.命题角度 2 关于直线对称问题例 2 点 R 3,4)关于直线x+y 2= 0 的对称点Q的坐标是 _.反思与感悟(1)点关于直线的对称问题求点P(xo,yo)关于Ax+By+C=0 的对称点P( x,y)时，利用yyAxo+x yo+y- = 1,A-+C= 0可以求出点 P的坐标.xxoB22(2)直线关于直线的对称问题若两条直线I1,I2关于直线I对称，则I1上任意一点关于直线I的对称点必在I2上，反过 来，I2上任意一点关于直线I的对称点必在丨1上.过直线I上的一点P且垂直于直线I作 一直线与|1,I2分别交于点A,B,则点P

6、是线段AB的中点题型探究3跟踪训练 2 求直线X 2y 1 = 0 关于直线x+y 1 = 0 对称的直线l的方程.类型二最值问题例 3 在直线y=x+ 2 上求一点P,使得点P到直线li： 3x 4y+ 8= 0 和直线l2： 3xy 1 =0 的距离的平方和最小.反思与感悟解决此类问题通常有两种途径：一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题跟踪训练 3 已知实数x,y满足 6x+ 8y 1 = 0,则寸x2+y2 2y+ 1 的最小值为 _类型三对称与最值的综合应用例 4 在直线I: 3xy 1 = 0 上求一点P,使得：(1)点P到点A(4

7、,1)和点B(0,4)的距离之差最大；点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小.反思与感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法 跟踪训练 4 已知直线I:x2y+ 8= 0 和两点A(2,0),耳2, 4).(1)在直线I上求一点P,使P/VPB最小；在直线I上求一点P,使|PB- PA最大.当堂训练1. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 _ .212. 设两条直线的方程分别为x+y+a= 0,x+y+b= 0.已知a,b是方程x+x+c= 0(0 c-)84的两实根，则这两直线间距离的最大值为 _ .3. 若点P(3,4)和点Qa,b)关于直线xy 1 =

8、 0 对称，则a=_,b=_.4. 已知点A(3 , 1) ,B(5, 2)，点P在直线x+y=0 上，若使PAPB取最小值，则点P坐标是_ .2 25.x,y满足x+y+ 1 = 0,求x+y 2x 2y+ 2 的最小值.规律与方法1. 对称冋题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类 型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、 光线反射等也可转化成对称问题.2. 最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题

9、中5合案精析题型探究例 1 解(1)根据题意可知点A(a,b)为PP的中点, 设点P的坐标为(x,y),X+Xo|y = 2byo.所以点P的坐标为(2axo,2byo).设直线l上任意一点M的坐标为(x,y),则此点关于点(2 , 1)的对称点为M(4 x, 2y), 且M在直线 3xy 4= 0 上，所以 3(4 x) ( 2y) 4= 0,即 3xy10= 0.所以所求直线l的方程为 3xy 10= 0.跟踪训练 117例 2( 2,5)x= 1,y= 在直线x 2y 1 = 0 上取点设点B关于直线x+y 1 = 0 的对称点为qxo,yo),则根据中点坐标公式，得跟踪训练 2 解x

10、2y 1= 0,x+y 1 = 0,两直线的交点A(1,0)6解得xo=2,yo= 1,即点C的坐标为 2，i.由所求直线经过A、C两点，得所求直线I的方程为 2xy 2 = o.例 3 解 设直线y=x+ 2 上一点(xo,xo+ 2)到两直线的距离分别为&|3XoXo+ 2 1|2Xo 3|d2=飞1o1。，设S=d1+d2,24xo 12xo+ 91o2215245=却Xo石石) )+ +莎莎，15.当Xo=石时，S有最小值,所求点的坐标为例 4 解(1)如图，点B关于I的对称点为 B (3,3)则有0+xo12+yo+yoXo1 =1,y o1 o =2xy 2= o,d1和d2./d1=|3Xo Xo+二5_+ 8|I Xo|5，2Xo. S= +25+这时,37Xo+2=斤跟踪训练 371o7直线AB的方程为 2x+y 9= 0,2x+y 9= 0,由3xy 1 = 0,x= 2,解得ily=5,即 R2,5).由图象可知PA PO AC当点P是AC与、 11 26I的交点F(,)时=”成立,跟踪训练 4 解(1)设A关于直线I的对称点为 A(mn),n 0m 2rn= 2,解得故A( 2,8).n= 8,因为P为直线I上的一点，则PA PB= PA+PB A B,当且仅当B, P, A三点共线时，PA PB取得最小值A B,点P即为直线A