2018版高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例导学案新人教A版必修4

1、2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标】1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具3 培养运用向量知识解决物理问题的能力.西问题导学-知识点一向量的线性运算在物理中的应用思考 1 向量与力有什么相同点和不同点？答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的思考 2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用 到向量的合成梳理 用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到

2、同一个作用点上(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算知识点二向量的数量积在物理中的应用思考向量的数量积与功有什么联系？答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W|F|s|cosF,s,功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.2知识点三向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型

3、，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.类型一向量的线性运算在物理中的应用例 1(1)在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60 (如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小且 i 0(P =|OG =300 N，/ AOC=30,/ BOG60.在厶OAC中,/ACO=Z BOG60,/AOC=30,则/OAG90,从而 |OA= |SC cos 30 = 150 3(N),|AC|=|OC sin 30 =150(N),所以 |OB= |AC| = 1

4、50(N).答 与铅垂线成 30角的绳子的拉力是150 3 N，与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 N.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30,速度为 20 km/h,此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30,速度为|V1|= 20(km/h)，水流的方向为正东，速度为 |V2| = 20(km/h),$ v,_二 彳题型探究解 如图，两根绳子的拉力之和呱SB=SC3DQN37设帆船行驶的速度为V,贝UV=V1+V2.由题意，可得向量

5、V1= (20COS 60 , 20sin 60 ) = (10 , 10 3)，向量V2= (20 , 0),则帆船的行驶速度为V=Vi+V2= (10 , 10 3) + (20 , 0) = (30 , 10 3),所以 |v| =302+ 10 32= 20 3(km/h).所以a= 30,所以帆船向北偏东 60的方向行驶，速度为 20 3 km/h.反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则， 运算律或性质计算第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算跟踪训练 1 河水自西向东

6、流动的速度为10 km/h ,小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 10 3 km/h，求小船的实际航行速度.解 设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点0作OA=a,SB=b,以6A 3助邻边作矩形OACB连接6c如图，则0C= a+b,并且3(即为小船的实际航行速度I 0(=7 (a +b丫= a2+b2= 20(km/h),tan /AOC= -03= 3,/ A0= 60,小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东 30的方向航行类型二向量的数量积在物理中的应用例 2 已知两恒力F1= (3 , 4) ,F2= (6 , - 5)作用于同一质点，使之由点

7、A(20 , 15)移动到点B(7 , 0).(1)求力F1,F2分别对质点所做的功；求力F1,F2的合力F对质点所做的功因为 tan为V和V2的夹角，且为锐角4解(1)AB=(7 , 0) - (20 , 15)=(13, 15),WJ=Fl XB=(3,4)(13,15)=3X(13)+4X(15)=99,W=F2 KB=(6, 5)(13,15)=6X(13)+(5) X (15)=3.力F1,F2对质点所做的功分别为99 和3.(2)W=F XB=(冋+ F2) XB=(3 , 4) + (6 , 5) ( 13 , 15)=(9 , 1) ( 13 , 15)=9X(13)+(1)X

8、(15)=117+ 15= 102.合力F对质点所做的功为一 102.反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积跟踪训练 2 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，Fs的作用，沿北偏东 45的方向移 动了 8 m 其中 I 刊=2 N,方向为北偏东 30 , |F2| = 4 N,方向为北偏东 60 , |Fa| = 6 N, 方向为北偏西 30,求合力F所做的功解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示li北01则F1= (1 ,.3) ,F2= (23 , 2),F3= ( 3, 3 3),所以F=F1+F2+F3= (2 .3 2 , 2+ 4 3)

9、.又因为位移s= (42 , 4 2),所以合力F所做的功为W=F- s= (2 3 2)X4. 2+ (2 + 4 3)X4. 2 = 4 2X6. 3= 24.6(J).即合力F所做的功为 24 6 J.当堂训练1.用两条成 120。 角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示,已知灯具重10 N,则每根绳子5的拉力大小为_ N.6答案 10解析 设重力为G每根绳的拉力分别为F,F2，则由题意得F,F2与一G都成 60角，且 I= |F2|.I Fi|=IF2I=IG =10 N,每根绳子的拉力都为10 N.2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹

10、角为 60,则力F所做的功W_ J.答案 300解析W Fs= |F|s|cosF,s=6X100Xcos 60 =300(J).3. 一条河宽为 800 m, 船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为 20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 _min.答案 3解析T V实际=V船+V水=V1+V2,|V1|=20 km/h,|V2|=12 km/h,I V|=, |V1|2-|V2|2=202-122=16(km/h).该船到达B处所需的时间为 3 min.4. 一艘船从南岸出发，向北岸横渡 .根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西 30,

11、受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.所需时间t=鈴=0.05(h) = 3(mi n).fi水流方向7解 如图，设水的速度为V1，风的速度为V2,V1+V2=a.易求得a的方向是北偏东 30,a的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为V3,则a+V3=v,即V3=va,由数形结合知，V3的方向是北偏西 60,大小是. 3 km/h.8p-规律与方法-用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题

12、转化成数学问题； 向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解;理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象课时作业一、选择题1. 一质点受到平面上的三个力Fi,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知Fi，F2成 90角，且Fi，F2的大小分别为 2 和 4，贝UF3的大小为()A.6 N B.2 N C.25 N D.27 N答案 C2. 人骑自行车的速度是vi，风速为V2,则逆风行驶的速度为()A.viV2B.vi+V2C.|vi| - |V2|D.&IV2答案 B3. 已知三个力Fi= ( 2, - i) ,F2= ( 3, 2) ,F3= (4 , - 3)

13、同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4,则F4等于()A.( i, 2)B.(i， 2)C.( i, 2)D.(i , 2)答案 D解析物体平衡，Fi+F2+F3+F4= 0,F4=FiF2F3= ( 2, i) ( 3, 2) (4 , 3) = (i , 2).故选 D.4. 用力F推动一物体水平运动sm 设F与水平面的夹角为B,则力F对物体所做的功为()A.|F| sB.Fcos0 sC.Fsin0 sD.|F|cos0 s(2)模型的建立，建立以问题的答案，回到物V f H.9答案 D5. 已知两个力Fi,F2的夹角为 90,它们的合力大小为 10 N，合力与Fi的

14、夹角为 60,那么Fi的大小为()10A.5 3 NC.10 ND.5 2 N答案 B解析如图，有|Fi| = |F|cos 60 1=10X =5(N).6. 已知作用在点A的三个力fi= (3 , 4) ,f2= (2 , - 5) ,f3= (3 , 1)，且A(1 , 1)，则合力f=fl+f2+f3的终点坐标为()A.(9 , 1)B.(1 , 9)C.(9 , 0)D.(0 , 9)答案 A解析f=f1+f2+f3= (3 , 4) + (2 , - 5) + (3 , 1) = (8 , 0)，设合力f的终点为P(x,y), 则SP=OAf =(1,1)+(8,0)=(9,1).

15、7. 河水的流速为 5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A.13 m/sB.12 m/sC.17 m/sD.15 m/s答案 A解析设小船在静水中的速度为V1,河水的流速为V2,V1与V2的合速度为V, 为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度V1斜向上游方向，河水速度V2平行于河岸，合速度V指向对岸，静水速度 |V1| = |v|2+ |V2|2= 122+ 52= 13(m/s).二、填空题8. 一物体在力F1= (3 , - 4) ,F2= (2 , - 5) ,F3= (3 , 1)的共同作用下从点A

16、(1 , 1)移动到点B(0 , 5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于 _ .B.5 N11答案 -40解析 F1= (3 , - 4) ,F2= (2 , - 5) ,F3= (3 , 1),合力F=Fi+F2+F3= (8 , 8).又AB=(0 1 , 5- 1) = ( 1 , 4), F AB=8X(1)+(8)X 4=40,即三个力的合力做的功等于一 40.9. 一个重 20 N 的物体从倾斜角为0，斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是 10 J，贝U 0 =_.答案 30解析 VW= G-s= | G|s | cos(90 0)=20X1Xcos(90

17、0)=10 J,1 cos(90 0) = 2，二0= 30.10. 河水的流速为 2 m/s，一艘小船以 10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为 _ m/s.答案 2 26解析 设河水的流速为V1,小船在静水中的速度为V2,船的实际速度为V,则V=V1+V2,|V1| =2 m/s , |v| =10 m/s.所以 |V2| = |vV1| =v2 2vV1+v2=100 0 + 4=104= 2 26(m/s).三、解答题11. 已知e1= (1 , 0) ,e2= (0 , 1)，今有动点P从F0( 1, 2)开始，沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线

18、运动，速度为|e1+e2| ;另一动点Q从 Q( 2, 1)开始，沿着与向量 3& +2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+ 2 闵,设F,Q在t= 0 时分别在F,Q处，当FQ丄F0Q)时所需的时间t为多少？解e1+e2= (1 , 1) ,6+e2| = 2,其单位向量为 孑，-，3&+ 2e2= (3 , 2), |3& + 2e=.13,其单位向量为島，希 j,如图.依题意知，|丽=, |QQ|=Vt,12W=Fs= |F|s|cos 0 = 20(J);支持力FN与位移方向垂直，不做功， 所以FN-s= 0;由 R( 1 , 2) , Q( 2, 1),得P(t 1,t+

19、2) , Q3t 2, 2t 1),所以P0QO= ( 1 , 3) ,PQ=(2t 1,t 3).因为PQLP4,所以P)QPQ=0.即 2t 1 + 3t 9= 0,解得t= 2,所以当PQL P0Q时，所需的时间为 2.12.在水流速度为 4 千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 航行，求船实际航行的速度的大小解 如图，用V0表示水流速度，V1表示与水流垂直的方向的速度8 千米/小时的速度则Vo+V1表示船实际航行的速度，-/l Vo|=4,|V1|=8,IVo+V1| =寸4+ 8 = 4 寸 5.故船实际航行的速度为4.5 千米/小时.13.质量m= 2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F= 10 N 的作用下的光滑斜面向上滑行|s| = 2.0 m 的距离.(g= 9.8 N/kg)(1) 分别求物体所受各力对物体所做的功；(2) 在这个过程中