集合论的产生

1、迟到的主角集合论的产生是有理数多，还是实数多？是直线上的点多，还是平面上的点多？亲爱的读者，你想过上面的问题吗？为了回答这些问题，我们有必要了解一下集合的概念，了解一下十九世纪著名数学家康托尔在100年前完成的一些工作，从中了解集合论发展的一些情况，了解康托尔是如何回答上面提出的问题的。我们知道角的平分线是所有到角的两边距离相等的点的集合；线段的垂直平分线是所有到这条线段的两端距离相等的点的集合；圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。什么是集合？集合和几何中的点、线、平面一样，是一种最原始、最基本的数学概念。可是，它迟到了几千年。直到十九世纪下半叶，德国数学家康托尔在研究实数理论的过程中，才

2、形成了世界上第一套集合理论，集合才慢慢进入角色。集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。什么是集合，本来有一个定义，意思是说，“把一些确定的可以区别的对象汇集在一起，形成一个整体，这个整体就是一个集合。”既然是“确定的”、“可以区别的”，那么任意一个对象，你应该能够判断它是否属于给定的集合。后来因为罗素的“理发师悖论”给任何集合的定义致命一击，使得任何人都不敢给集合下一个严格的定义，因此，集合就象平面几何中的点、线、平面一样不给它们作严格的定义了。早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题。古希腊的学者最先注意并考察了它们。在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数

3、学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。亚里士多德认为只存在潜在无穷，对他来说，无穷集合是不存在的。到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。近代科学的开拓者伽利略注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他认为，所有无穷大量都一样，不能比较大小。到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无

4、穷小演算”，这就是微积分的最早名称。由于无穷小量运算的引进，无穷进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑，一批以高斯为代表的数学家对无穷心存疑虑。高斯是一个潜在无穷论者，他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一个完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式，它是指一种极限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些则容许没有限制地增加。”科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。面对“无穷”的长期挑战，数学家们不会无动于衷，他们为解决无穷问题进行着

5、不懈的努力。第一个为了建立集合的明确理论而作出积极努力的波尔查诺也是一位探索实在无穷的先驱，他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他认为必须接受无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体这个事实。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。波尔查诺还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷研究的哲学意义大于数学意义。应该说，波尔查诺是康托尔集合论的先驱。黎曼在1854年的就职论文关于用三角级数表示函数的可能性中提出“唯一性问题”。康托尔就是通过对唯一性

6、问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究的。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名是一般集合论基础，第六篇论文是对第五篇的补充。一般集合论基础在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，所以该书标志着点集合论体系的建立。对超穷集合论基础的贡献是康托尔最后一部重要的数学著作。对超穷集合论基础的贡献分两部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在

7、数学年刊上发表。第二部分于1897年5月在数学年刊上发表。对超穷集合论基础的贡献的发表标志着集合论已从点集合论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常称为古典集合论或朴素集合论。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。有了集合论的基础，解决本文开头所提出的问题，就是轻而易举的事了。【附录】一、【康托尔简介】康托尔（1845年1918年）德国数学家，集合论创始人。1

8、845年3月3日生于俄国一个商人家庭，1856年随父母迁居德国。学生时代的康托尔爱好广泛，极赋想象力，又具有很强的个性。1868年在柏林大学取得博士学位，获博士学位后即在哈勒大学长期任教，并极幸运地追随当时最伟大的数学家维尔斯特拉斯从事研究工作。早年曾研究数论、不定方程和三角级数，并在无理数理论上有建树。从1872年，康托尔开始了极富想象力的集合论的研究，他以敏锐的目光和深刻的思想向当时人们的传统观念发起了挑战，完成了一系列令世人瞠目的发现和结果。他的工作不仅奠定了集合论的发展基础，对拓扑学，现代分析的研究亦做出奠基性的工作，他不仅善于利用和改革前辈的结果，更为可贵的是创造了一系列独具特色的方

9、法，最重要的是他敢于向传统挑战的勇气和大胆探索的精神，令十九世纪二十世纪之交的数学界和哲学界感到震惊。他的伟大工作开始并不被整个数学界接受，虽然一些伟大数学家给予他的工作高度评价和支持，但他仍遭受不公正的非难和抵毁，其中包括他的老师、很有权势的数学家克罗尼克的强烈反对，甚至使康托尔不能在柏林大学任教。这些使康托尔一次次处于精神分裂症的折磨之中。但康托尔矢志不渝，终于在1904年获得英国皇家学会授予他的最高荣誉西尔维斯特奖，这标志着他的工作得到承认。作为伟大的探索者，康托尔为人类留下了不朽的成就，他丰富的想象力，深刻的数学哲学思想，创造性的方法，尤其是为真理而献身的精神为后人树立了光辉的典范，“

10、康托尔和他代表的一切是永存的，未来的一代将从中深受教益。”1918年1月6日，康托尔在哈勒大学的精神病院中悄然去世。二、【莱布尼兹与中国】莱布尼兹生于莱比锡，8岁自学拉丁文，14岁自学希腊文，19岁获得法国学位，同时又是外交官、哲学家、政论作家，还做过帝国宫廷顾问。他除同牛顿在数学发展的历史上基本同时最早踏进微积分的大门以外，还是数理逻辑的先驱，最早提出了逻辑学中的充足理由律；相当准确地表达了动量守恒定律，提出动量是质量同速度的乘积；与帕斯卡计算机相对独立的设计出第一台能进行加、减、乘、除和开方运算的计算机。莱布尼兹的时代，正是中国清初康熙时代。当时西方大批传教士相继来华，在客观上，西方的天文

11、、历法、数学以及其他自然科学，经过这些传教士传入中国，同时，大量的中国古代文化典籍、儒家学说以及康熙皇帝的情况也被传教士介绍给西方。在华教士同西方的书信往来，促进了欧洲同中国的互相了解，并使许多欧洲人产生了对中国的向往。莱布尼兹就是对中国发生极大兴趣的一个。他虽然没有到过中国，但对中国文化了解得相当全面，从火药、造纸到养蚕、纺织，从医学、印染到冶金、航海，从化学、农业到天文、地理，从语言、文学到历史、哲学，甚至中国人的生活方式，在保存下来的他的书信中，谈到中国的就有二百多封。1679年，莱布尼兹出版了一本文集，叫中国的最新消息。他在书中提出和论述了这样的观点：欧洲和中国各有所长，应该进行相互有利的交流。他说，在数学、化学和医学等学科方面，欧洲占优胜地位，但在实践方面，中国远远超过欧洲。特别是中国保存了几千年的古老文化和圣贤思想。莱布尼兹认为“伏羲图是流传于宇宙间科学中最古的纪念物”。他说，中国人千年来不可索解的易象之谜得到了新的数理解释。为此，他写了一篇论文关于仅用0和1两个记号的二进制算术的说明并附有其效用及关于据此解释中国伏羲图的探讨。这说明莱布尼兹把伏羲图看作了他的算术二进制的最好验证，使他研究了26年之久的二进制有了定论。他的二进制为以后的计算机原理奠定了基础。难怪莱布尼兹临终时追忆他看到伏羲图时的经过和惊喜时说：“我自己成