外接球问题典型例题

1、在三棱柱ABC-AEG中，已知AA1_平面ABC,AA=2,BC=2、3,.BAC，此2三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A.空B.16二3A.空B.16二325二3D.31二【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.【答案解析】A解析：解：直三棱ABC-ABC的各顶点都在同一球面上，（如图），EAEALABC中，？BAC-,下底面LABC的外心P为BC的中点，2同理，可得上底面L的外心Q为B!G的中点，连接PQ,则PQ与侧棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中点O,可得：点O到A,B,C,A,Bi,G的距离相等，O点是三棱柱ABC-ABC外接球的球心1_1RTLJPO

2、B中，BP二BC二,PQ二AAj=1,22OB=.BP2+PO2=2,即外接球半径R=2,【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-AB,G外接因此，三棱柱ABC-ABC外接球的球的体积为:V=4pR3/p23=32P333故选：A.球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点在直角R叩POB中，利用勾股定理算出OB的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积.四面体ABCD中，已知AB=CD=-29,AC=BD=.34,AD=BC=.37，则四面体ABCD的夕卜接球的表面积（）A.25二B.45二C.50二D.100二【知识点】几何体的外接球的

3、表面积的求法;割补法的应用【答案解析】C解析：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以寸29,何,37为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）252=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=-，所以球的表面积为S=4nR2=50n.故2选：C.【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为.

4、【知识点】球内接多面体.【答案解析】3p解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1;对角线长为：3,3棱长为2的正四面体的外接球半径为兰3.2所以外接球的表面积为4p=3p，故答案为3p.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角俯视图线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积.如图是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的表面积为（200A. 150ir100kB. 50x已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为V3的求面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面AB

5、C的距离为3【答案】33运算求解能力以【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、A打(A)(B)(C)BBC(D)2开鱼离为37V2平面四边形ABCD中，朋二=CD二1,砂二庞，占口_LCD,将其沿对角线面D折成四面体A-BCD使平面W1平面BCD，若四面体A-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱正三棱维可看作由正芳体PADC-BEFG截得，如團所不,PF为三»P-ABC的外接球的直径，且PF平歸购匚设正方体棱长为為则3a*=12T£j2,=ACBC=225=孑工屁工4+二潇F=V半径为二，所以球的体积为：-i.a根据题意，如图，可知用2WBD中，血二DT/D二&，在RtMlCD中,I-1一、,又因为平面平面丄一，所以球心就是：T的中点,