高中数学第八章立体几何初步章末复习提升课学案新人教A版必修第二册(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业章末复习提升课章末复习提升课精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业空间几何体的表面积与体积如图所示，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lCB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.【解】由题易知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ADa，BC2a，DCB60，所以CDBCADcos 602a，ABCDsin 60 3a，所以DDAA2AD2BC2AD2a，所以DO12DDa.由上述计算知，

2、圆柱的母线长为3a，底面半径为 2a；圆锥的母线长为 2a，底面半径为a.所以圆柱的侧面积S122a 3a4 3a2，圆锥的侧面积S2a2a2a2，圆柱的底面积S3（2a）24a2，圆锥的底面积S4a2，所以组合体上底面面积S5S3S43a2，故旋转体的表面积SS1S2S3S5（4 39）a2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，且V柱 （2a）2 3a4 3a3，V锥13a2 3a33a3，故旋转体的体积VV柱V锥4 3a333a311 33a3.空间几何体表面积、体积的求法（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.（2）旋转体的表

3、面积问题注意其侧面展开图的应用.（3）求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业如图所示，在多面体FEABCD中，已知ABCD是边长为 1 的正方形，且 ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积V.解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EGHF12.所以AGGDBHHC32，SAGDSBHC1222124，VVEADGVFBHCVAGDBHC131224 224123.球与其他几何体的组合问题已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，S

4、C为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为（）A.26B.36C.23D.22【解析】设ABC外接圆的圆心为O1，则OO1OC2O1C211363.三棱锥SABC的高为 2OO12 63.所以三棱锥SABC的体积V13342 6326.故选 A.【答案】A解决与球有关组合体问题的常用方法（1）与球有关的组合体，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业空间想象能力，做到以下几点：明确切点和接点的位置；确定有关元素间的数量关系；作出合适的截面图.（2）一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数

5、量关系，将立体问题转化为平面问题解决.1.已知PA，PB，PC两两垂直且PA 2，PB 3，PC2，则过P，A，B，C四点的球的体积为.解析： 以PB，PA，PC为长方体的长、 宽、 高作长方体， 则长方体的对角线长为PA2PB2PC23，即球的半径为32，V球43R392.答案：922.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析：设圆锥的底面半径为r，球面半径为R，则r23164R2，解得r32R，所以对应球心距为12R，故小圆锥的高为R12R12R，大圆锥的高为R12

6、R32R，所以比值为13.答案：13精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业空间中的共点、共线、共面问题如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.求证： （1）E、F、G、H四点共面；（2）GE与HF的交点在直线AC上.【证明】（1）因为BGGCDHHC，所以GHBD，又因为E、F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFGH，所以E、F、G、H四点共面.（2）因为G、H不是BC、CD的中点，所以EFGH.又EFGH，所以EG与FH不平行，则必相交，设交点为M，EG平面ABCM平面ABC且M平面ACDM在平面ABC与平

7、面ACD的交线上MAC.所以GE与HF的交点在直线AC上.在四边形ABCD中，已知ABDC，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上.证明：因为ABCD，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面，则AB，AD.因为EAB，所以E，因为HAD，所以H.又因为E，H，所以EH.因为DC，GDC，所以G.又因为G，所以点G在与的交线EH上.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业同理，点F在与的交线EH上.所以E，F，G，H必在同一条直线上.平行、垂直关系如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，

8、F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折叠，使得DEEC.（1）求证：AE平面CDE；（2）求证：FG平面BCD；（3）在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.【解】（1）证明：由已知得DEAE，AEEC.因为DEECE，DE，EC平面DCE，所以AE平面CDE.（2）证明：取AB的中点H，连接GH，FH，所以GHBD，FHBC，因为GH 平面BCD，BD平面BCD，所以GH平面BCD.同理FH平面BCD，又GHFHH，所以平面FHG平面BCD，因为GF平面FHG，所以GF平面BCD.（3）取线段AE的中点R，则平面BDR平面DCB.证明如下：取线段DC的中点M，取线段D

9、B的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MS12BC，又RE12BC，所以MSRE，所以四边形MERS是平行四边形，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，所以EMDC.由（1）知AE平面CDE，AEBC，所以BC平面CDE.因为EM平面CDE，所以EMBC.因为BCCDC，所以EM平面BCD，因为EMRS，所以RS平面BCD.因为RS平面BDR，所以平面BDR平面DCB.（1）平行、垂直关系的相互转化（2）证明空间线面平行或垂直需注意三点由已知想性质，由求证想判定；适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一；用定理时要先明确条件，

10、再由定理得出相应结论.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是平行四边形，点M在线段EF上.（1）求证：BC平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论.解： （1）证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCBa，ABC60，所以四边形ABCD是等腰梯形，ADCBCD120，所以DCADAC30，所以ACB90，所以ACBC，又平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.（2）当EM33a时，AM平面BDF.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业证明

11、如下：在梯形ABCD中，设ACBDN，连接FN（图略） ，因为ACBC，BAC30，CBa，所以AB2a，AC 3a.因为ABCD，所以CNNACDABa2a12.因为EM33a，EFAC 3a，所以EMMF12.又EFAC，EFAC，所以MFAN，MFAN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AMNF.又NF平面BDF，AM 平面BDF，所以AM平面BDF.空间角的计算如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2 3，PDCD2.（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明平面PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解】（1

12、）在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC.故PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为ADPD，在 RtPDA中，tanPADPDAD2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为 2.（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD.又因为ADPD，CDPDD，所以AD平面PDC.而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.（3）在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB（如图）.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由于平面PDC平面ABCD， 而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线， 故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面AB

13、CD所成的角.在PDC中，由于PDCD2，PC2 3，可得PCD30.在 RtPEC中，PEPCsin 30 3.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在 RtPCB中，PBPC2BC2 13.在 RtPEB中，sinPBEPEPB3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.空间角的求法（1）找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.（2）线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直

14、角三角形.（3）二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解.（2019南阳检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABABC90，且ABBC2AD2，侧面PAB底面ABCD，PAB是等边三角形.（1）求证：BDPC；（2）求二面角BPCD的大小.解析： （1）证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO.因为PAB是等边三角形，所以POAB.又侧面PAB底面ABCD，所以PO底面ABCD，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业又BD平面ABCD，所以POBD.又ABBC2AD2，ABCDAB90，所以DABOBC，所以BCOABD，所以BDOC，又OC，PO平面POC，OCPOO，所以BD平面POC，又PC平面POC，所以BDP