空间向量在立体几何中与应用——夹角与计算习题详细答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【巩固练习巩固练习】一、选择题一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1） ， （-1，1，2） ，则下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）2. 如图，是正方体，则与所成角的余弦值是1111ABCDABC D1111114ABB E =D F=1BE1DF（ ）A B171521CD178233. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点，111ABCABC90BCA11DF、1111ABAC、若，则与所成角的余弦值是（ ）1BCCACC1BD1AFA

2、B 103021CD153010154. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )(12)a，(21 2)b，89A B C或D2 或2222552555. 在三棱锥中，点分别是的中点，PABC、ABBC12AB=BC=PAOD、ACPC、底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）OPABCODPBCA B 621338C D60210302106.（2015 秋 湛江校级期末）在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中点，且 SO=OD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是（ ）A30 B45 C60 D757. 在三棱锥中，点分别是的中点，PABC、ABBC1=2

3、AB BCPAOD、ACPC、底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）OPABCODPBC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 A B C D2168 332106021030二、填空题二、填空题8若平面的一个法向量为，直线 的一个方向向量为，则 与所成330n、l111=b、l角的余弦值为 _9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所1111ABCDABC DEF、1ABCC、EF11AC成角的大小是_.10. 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形ABCD所在平面与

4、平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF，则平面和平面的夹角余弦BDFABD值是_.三、解答题三、解答题12. 如图，点在正方体的对角线上，.P1111ABCDABC D1D B60PDA （）求与所成角的大小；DP1C C（）求与平面所成角的大小.DP11A ADD13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，FABCDABCD2AC 2BD AE都与平面垂直，求平面与平面的夹角大小.CFABCD1AE 2CF ABFADF精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业14. 如图（1） ，在 Rt中，90，3，6，分别是，ABCCBCACDE、A

5、C上的点，且，将沿折起到的位置，使ABDEBC2DE、ADEDE1A DE，如图（2） 1A CCD(1)求证：平面；1A CBCDE(2)若是的中点，求与平面所成角的大小；M1A DCM1A BE(3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由BCP1A DP1A BE15(2016 浙江理)如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3()求证：EF平面 ACFD；()求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 【答案与解析答案与解析】1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为

6、零. 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业排除 A，C，D，选项为 B.2.【答案】A 【解析】设正方体的棱长为 1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则DD-xyz1131(1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1)44BEDF所以，131(1,1)(1,1,0)(0,1)44BE ，111(0,1)(0,0,0)(0,1)44DF ，1174BE ，1174DF ，1111150 0() 1 14416BEDF 所以，111111cos,151516.17171744BEDFBE DFBEDF 因此，1BE与1DF所成的角的余弦值是15173.【答案】A 【解析】如图所

7、示，以为原点建立的空间直角坐标系，C 则1111,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,1,1 ,ABCAB 由中点公式可知，111 111012 22DF、 ，11111101222BDAF 、 .111-1304cos103524BDAF 、4.【答案】C 【解析】由可得，即，cos=a ba bab、25510840 25520 即或.2= 255=5.【答案】D【解析】精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 .22214214,0,0 ,0,0 ,0,00 0.,0,222244OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaP

8、Daa 平面， ，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则，214,0,4411,1,7210cos,.30210sincos,30210.30ODaaPBCnOD nOD nODnODPBCOD nODPBC 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的余弦值为6.【答案】A【解析】如图，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，以 OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz。 设 OD=SO=OA=OB=OC=a，则 A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，0，0） ，(0,)2 2a aP则，(2 ,0,0),(,),( , ,0

9、)2 2a aCAaAPaCBa a 设平面 PAC 的一个法向量为，n则，0,0n CAn AP ，可取，20220axayaz(0,1,1)n ，21cos,2| |22CB naCB nCBna ，,60CB n 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 9060=30故选 A。7.【答案】D 【解析】.222,0,0 ,0,0 ,0,0 .2220,0,.OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaOPhPh 平面， ，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2 ,7,2214,0,441

10、1,1,7210cos,.30210sincos,30.PAahaODaaPBCnOD nOD nODnODPBCOD n 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 8.【答案】33【解析】 由，知 与所成角的余弦值为22(3,3,0) (1,1,)6cos3331 1 1 n,bl.631939.【答案】30 【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示） ，设 B（2，0，0） ，则 E（1，0，0） ，F（2，2，1） ，C1（2，2，2） ，A1（0，0，2） ，(1,2,1)EF 11(2,2,0)AC ，111111(1,2,1) (2,2,0)3cos,2| |6 2 2EF

11、ACEF ACEFAC zyxPODCBA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 .11cos,30EF AC 10.【答案】34 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3， 3AE ，AS=3， SE=2 3，AF=32， 3sin4ABF.11.【答案】3 1

12、111 【解析】因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以 AEAB. 又因为平面 ABEF平面 ABCD，AE平面 ABEF，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此，AD，AB，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设 AB=1，则 B（0，1，0） ，D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因为 FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.从而，1 1(0, )2 2F.所以，设平面 BDF 的一个法向量为1n，并设精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注

13、-专业1n=（x，y，z）.，1 10BD= 、 3 102 2BF= 、 ， 由 得00.n BDn BF 、0310.22x yyz、 取 y=1，则 x=1，z=3.从而1n113 （，）.由 AE平面 ABCD 可知，平面 ABD 的一个法向量为，0 01AE= 、设平面和平面的夹角为，则BDFABD.10033 11coscos1111n AE= 、12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则DDxyzDA=，=.连结，在平面 BB1D1D 内，延长 DP，交于点 H，BD11B D11B D设=( m 0 )， 由条件知 = 60.由=|cos ，可得 2m =

14、.解得 m =.所以=.（）因为 cos=，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以=，即与所成的角的大小是 45.DP1CC（）因为平面的一个法向量是，又 cos=，所以=. 即与平面所成角的大小为 60.DP11A ADD 注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且PDA=60，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以为坐标

15、原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面的法向量为，ABF则由得令，得.同理，可求得平面的法向量.ADF因为，所以平面与平面垂直.ABFADF所以平面与平面的夹角.ABFADF214.【解析】精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业15.【解析】()延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 BFAC又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以 BF平面 ACFD()方法一：过点 F 作 FQAK，连结 BQ因为 BF平面 ACK，所以 BFAK，则 AK平面 BQF，所以 BQAK所以，BQF 是二面角 B-AD-F 的平面角在 RtACK 中，AC3，CK2，得3 1313FQ 在 RtBQF 中，得3 13313FQBF，3cos4BQF所以，二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值为34方法二：如图，延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，则BCK 为等边三角形取 BC 的中点 O，则 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以，KO平面 ABC以点 O 为原点，分别以射线 OB，OK 的方向为 x，z 的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz由题意得，(1 0 0)( 1 0 0)