[理学]第4章 方差分析ppt课件

1、1第四章第四章 方差分析目录方差分析目录方差分析方差分析4.1 单因素方差分析单因素方差分析4.2 两因素方差分析两因素方差分析4.3 正交实验方差分析正交实验方差分析4.4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验4.5 方差分析方差分析在医学案例中的应用在医学案例中的应用2方差分析方差分析 在实际工作中有时需要对多个正态总体在实际工作中有时需要对多个正态总体的均值进展比较，方差分析是解决此类的均值进展比较，方差分析是解决此类问题的常用方法。问题的常用方法。 3方差分析方差分析设有设有 个样本，需要检验它们的均值是否相等，即个样本，需要检验它们的均值是否相等，即kkH210:方差分析那么是将总变

2、异即方差分解为由各因素方差分析那么是将总变异即方差分解为由各因素引起的变异和由不可控因素引起的变异即随机误差引起的变异和由不可控因素引起的变异即随机误差引起的变异，然后检验由各因素引起的变异是否显引起的变异，然后检验由各因素引起的变异是否显著，从而到达检验多个样本均值是否相等的目的。著，从而到达检验多个样本均值是否相等的目的。4方差分析方差分析假设由各因素引起的变异显著，假设由各因素引起的变异显著，还要检验出到底是还要检验出到底是由由哪些因素引起，即进展多重比较。哪些因素引起，即进展多重比较。 多重比较的方法很多，常用的有多重比较的方法很多，常用的有Tukey法、法、Scheff 法、法、LS

3、D法、法、Duncan和和SNK法等。法等。5方差分析方差分析Tukey和和Scheff两种方法不仅可以对某因素的程度进展两种方法不仅可以对某因素的程度进展两两比较，而且还可以推广到一般线性函数的比较，但两两比较，而且还可以推广到一般线性函数的比较，但二者间还是有些区别：二者间还是有些区别：对于两两比较，对于两两比较，Tukey法比法比Scheff法灵敏，也即法灵敏，也即Scheff法比法比Tukey法保守；法保守；对于非两两比较的一般线性比较，对于非两两比较的一般线性比较，Scheff法比法比Tukey法灵敏；法灵敏；Tukey法只能处理实验重复数一样的情况，即平衡设法只能处理实验重复数一样

4、的情况，即平衡设计的情况，而计的情况，而Scheff法那么不受此条件的限制。法那么不受此条件的限制。 6方差分析LSD法，即法，即最小显著差数法最小显著差数法，本质上是通常意义下的两，本质上是通常意义下的两总体的检验应用于多总体均值的比较，但检验要求这两总体的检验应用于多总体均值的比较，但检验要求这两个总体是互相独立的条件没法办到，因此这一方法进展个总体是互相独立的条件没法办到，因此这一方法进展多重比较是不合理的，但多重比较是不合理的，但假设将其应用于实验组与对照假设将其应用于实验组与对照组组的比较，这时两总体的独立性便能得到满足。的比较，这时两总体的独立性便能得到满足。DunnettDunn

5、ettu、Dunnettl是专用于同对照组进展是专用于同对照组进展均值比较的检验法，其中均值比较的检验法，其中Dunnett是进展双尾检验，是进展双尾检验，Dunnettu、Dunnettl那么是进展单侧检验。那么是进展单侧检验。Duncan又称又称SSR检验和检验和SNK即所谓的即所谓的q检验法是检验法是在在LSD根底上开展起来的，是根底上开展起来的，是进展多重比较的常用方法进展多重比较的常用方法，其中其中Duncan法比法比SNK法灵敏。法灵敏。 7方差分析方差分析1 单因素方差分析单因素方差分析设所考虑的因素为设所考虑的因素为A，它有，它有 个水平，对第个水平，对第 个水平个水平得到一容

6、量为的得到一容量为的 样本，记为样本，记为 （ ），），设设 ， 且独立，其中且独立，其中 表示因表示因素素A的第的第 个水平下的理论均值。我们的目的是要知个水平下的理论均值。我们的目的是要知道这道这 个水平的差异，即要检验的假设是个水平的差异，即要检验的假设是 。为了得到各水平的影响大小，将为了得到各水平的影响大小，将 进行如下分解，进行如下分解， ，它称为因素第，它称为因素第 个水平的效应，个水平的效应，令 ， piinikyink,.,1ikiiky), 0(2NikiippH210:iiiipiiinn11piinn18方差分析方差分析1 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析的数

7、学模型：单因素方差分析的数学模型： 0),0(12piiiikikiiknNy9方差分析方差分析1 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析表单因素方差分析表： 10方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析 例例1 1设有三个小麦品种，经试种得第公顷产量的数据如下设有三个小麦品种，经试种得第公顷产量的数据如下单位：单位：品种品种1：4350 4650 4080 4275品种品种2：4125 3720 3810 3960 3930品种品种3：4695 4245 4620现问不同品种的小麦产量之间有无显著的差异？现问不同品种的小麦产量之间有无显著的差异？ 11方差分析方差分析 1 单因

8、素方差分析单因素方差分析data var1; input kind$ yield;cards;1 4350 1 4650 1 4080 1 42752 4125 2 3720 2 3810 2 3960 2 39303 4695 3 4245 3 4620;proc anova;class kind;model yield=kind;means kind/snk t alpha=0.05; /*多重比较多重比较*/means kind;run; 例例1 SAS程序程序12方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析例例1 输出结果输出结果13方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差

9、分析多重比较的结果多重比较的结果1：LSD比较结果比较结果 14方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析多重比较的结果多重比较的结果2：SNK比较结果比较结果 15方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析 例例1 1 结果结果多重比较的结果：多重比较的结果：多重比较结果在表示上有如下约定：多重比较结果在表示上有如下约定：标有一样字母的组，表示他们之间没有显著差异；标有一样字母的组，表示他们之间没有显著差异；对标有不同字母的组，那么表示有显著差异。对标有不同字母的组，那么表示有显著差异。从二者比较的结果看所得的结论一致，也就是品种从二者比较的结果看所得的结论一致，也就是品种1

10、 1和品和品种种3 3的产量之间没有明显差异，而品种的产量之间没有明显差异，而品种2 2与品种与品种1 1和和3 3的的产量之间均有明显差异产量之间均有明显差异。 16方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析means kind;语句输出的结果如下：语句输出的结果如下：17方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析 PROC ANOVAPROC ANOVAGLMGLM选择项选择项1 1； CLASS CLASS 变量表；变量表； MODEL MODEL 因变量因变量= =自变量表；自变量表； MEANS MEANS 效应效应/ /选择项选择项2 2； BY BY 变量表；变量

11、表； FREQ FREQ 变量表；变量表； TEST H=TEST H=效应项效应项 E=E=误差项；误差项； 18方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析PROC ANOVAPROC ANOVAGLMGLM的的常用选择项常用选择项为：为： DATA=SASDATA=SAS数据集数据集 指明指明ANOVAANOVAGLMGLM过过程要处理的数据集，缺省值为程要处理的数据集，缺省值为SASSAS最近最近产生的数据集。产生的数据集。 OUTSTA=SASOUTSTA=SAS数据集数据集 将结果输出到指定将结果输出到指定的数据集中。的数据集中。 19方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因

12、素方差分析CLASS语句定义分组变量。语句定义分组变量。MODEL语句指定因变量和自变量，因变量为连续变量，语句指定因变量和自变量，因变量为连续变量，自变量常常是分组变量。设自变量常常是分组变量。设A、B为分类变量，为分类变量，y为因为因变量，那么以下几个变量，那么以下几个MODEL语句的含义如下：语句的含义如下：MODEL y=A；单因素；单因素A因素方差分析。因素方差分析。MODEL y=A B 主效应模型，主效应模型，无交互作用的两因素方无交互作用的两因素方差分析差分析。MODEL y=A B A*B 析因模型带交互作用项，析因模型带交互作用项，有有交互作用的两因素方差分析交互作用的两因

13、素方差分析其中其中CLASS语句必须出如今语句必须出如今MODEL语句前面。语句前面。20方差分析方差分析 1 单因素方差分析单因素方差分析MEANS 语句要求语句要求ANOVAGLM过程计算出该语句过程计算出该语句后列出的每个程度所对应的因变量的均值。后列出的每个程度所对应的因变量的均值。选择项选择项2指明进展多重比较的方法，指明进展多重比较的方法，常用的常用的TUKEY、SCHEFFE、LSD、DUNCAN和和SNK等，同时还可规等，同时还可规定检验的显著性程度的值由定检验的显著性程度的值由ALPHA=值，缺省值为值，缺省值为0.05。不用选择项。不用选择项2时，可计算各程度对应因变量时，

14、可计算各程度对应因变量的均值。的均值。TEST语句要检验的效应和误差项。其中语句要检验的效应和误差项。其中H=后指定的是后指定的是要检验的效应，要检验的效应，E=后指定作为误差项的效应，此项后指定作为误差项的效应，此项必需指定，缺省是用必需指定，缺省是用MSE作为误差项。作为误差项。 21方差分析方差分析2 两因素方差分析两因素方差分析22方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析1无交互作用无交互作用 （I）式中）式中 =0时，表示无交互作用。为检验因素时，表示无交互作用。为检验因素A和因素和因素B的各水平是否有显著影响，我们需要检验的各水平是否有显著影响，我们需要检验假设假设 和和

15、 ，同，同单因素方差分析一样，对总平方和及其自由度分别进行单因素方差分析一样，对总平方和及其自由度分别进行分解，得方差分析表，分解，得方差分析表，ij0:101pH0:102qH交互作用交互作用指一个因子的程度好坏或好坏的程度受另一指一个因子的程度好坏或好坏的程度受另一个因子程度制约的情况，称为因子个因子程度制约的情况，称为因子A与与B的交互作用，的交互作用，记为记为A*B或或AB。23方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析1无交互作用无交互作用 24方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析2有交互作用有交互作用 对于要考虑交互作用的情况，我们对于要考虑交互作用的情况，我

16、们最关心的检验最关心的检验是是 , ,当然还可以考虑因素当然还可以考虑因素A、B影响的显著性问题，即检验影响的显著性问题，即检验 和和 ，则有如下的方差分析表，则有如下的方差分析表 0:103rH0:101pH0:102qH25方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析2有交互作用有交互作用 26方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析例例2 不考虑交互作用的两因素方差分析不考虑交互作用的两因素方差分析 为了考察蒸馏水的为了考察蒸馏水的pH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响。白蛋白与球蛋白的影响。pH值值A取四种程度其值取四种程度

17、其值为为5.40 5.60 5.70 5.80，记为，记为A1、A2、A3和和A4，硫酸铜，硫酸铜浓度浓度B取三种程度其值分别为取三种程度其值分别为0.04 0.08 0.10，记为，记为B1、B2和和B3，采用，采用两因素的全面试验两因素的全面试验，所得结果如下，所得结果如下 A1A2A3A4B13.52.62.01.4B22.32.01.50.8B32.01.91.20.327方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析例例2data var2;do B=1 to 3; do A=1 to 4; input y; output; end;end;cards;3.5 2.6 2.0 1

18、.42.3 2.0 1.5 0.82.0 1.9 1.2 0.3;proc anova ;class A B;model y=A B;means A B/snk;run; 28方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析这一部分给出的结果说明，模型是有效的，即这两种因这一部分给出的结果说明，模型是有效的，即这两种因素有影响。素有影响。 Analysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 5 7.51083333 34.89 0.0002Error 6 0

19、.25833333Corrected Total 11 7.7691666729方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析例例2 Source DF Anova SS F Value Pr F A 3 5.28916667 40.95 0.0002 B 2 2.22166667 25.80 0.0011这部分给出因素这部分给出因素A、B效应的检验结果，从效应的检验结果，从Pr F列的列的概率值均比概率值均比0.05小，说明这两种因素均有显著影响。小，说明这两种因素均有显著影响。30方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析多重比较的结果为：多重比较的结果为： Analysis

20、of Variance Procedure Student-Newman-Keuls test for variable: Y Alpha= 0.05 df= 6 MSE= 0.043056 Number of Means 2 3 4 Critical Range 0.41456 0.5198111 0.5864881 Means with the same letter are not significantly different. SNK Grouping Mean N A A 2.6000 3 1 B 2.1667 3 2 C 1.5667 3 3 D 0.8333 3 4结果显示：结

21、果显示：因素因素A的四个程度之间均有显著性差异；的四个程度之间均有显著性差异；31方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析多重比较的结果为：多重比较的结果为： Analysis of Variance Procedure Student-Newman-Keuls test for variable: YAlpha= 0.05 df= 6 MSE= 0.043056 Number of Means 2 3 Critical Range 0.3590195 0.4501696 Means with the same letter are not significantly differe

22、nt. SNK Grouping Mean N B A 2.3750 4 1 B 1.6500 4 2 B 1.3500 4 3 结果显示：结果显示：因素因素B的的B1程程度与其它两个度与其它两个程度程度B2、B3间间均有显著性差均有显著性差异，程度异，程度B2和和B3之间没有显之间没有显著性差异。著性差异。 32方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析例例3 有交互作用有交互作用的两因素方差分析的两因素方差分析需要有重复需要有重复 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率收缩率A A和总拉伸倍数和总拉伸倍数B B，A A和和B B各

23、取四个程度，整个实各取四个程度，整个实验重复一次，试验的结果如下：验重复一次，试验的结果如下： 0（A1）4（A2）8（A3）12（A4）460（B1）71，7373，7576，7375，73520（B2）72，7376，7479，7773，72580（B3）75，7378，7774，7570，71640（B4）77，7574，7474，7369，6933方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析例例3 有交互作用有交互作用需要有重复需要有重复data var3;do B=1 to 4; do A=1 to 4; do i=1 to 2; input y; output; end; e

24、nd;end;cards;71 73 73 75 76 73 75 7372 73 76 74 79 77 73 7275 73 78 77 74 75 70 7177 75 74 74 74 73 69 69;proc anova; class A B;model y=A B A*B;means A B A*B/snk; run; 34方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析输出的结果如下：输出的结果如下： Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr

25、FModel 15 158.71875000 7.87 0.0001Error 16 21.50000000Corrected Total 31 180.21875000 Source DF Anova SS F Value Pr FA 3 70.59375000 17.51 0.0001B 3 8.59375000 2.13 0.1363A*B 9 79.53125000 6.58 0.0006上述结果说明，上述结果说明，在在0.05显著性程度下，因素显著性程度下，因素A有显著性影有显著性影响，因素响，因素B那么没有显著性影响，同时还可看出它们的交那么没有显著性影响，同时还可看出它们的交互作

26、用到达了显著性程度。互作用到达了显著性程度。35方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析输出的结果如下：输出的结果如下： Student-Newman-Keuls test for variable: YAlpha= 0.05 df= 16 MSE= 1.34375 Number of Means 2 3 4Critical Range 1.2286 1.4955 1.6582 Means with the same letter are not significantly different. SNK Grouping Mean N A A 75.1250 8 3 A 75.125

27、0 8 2 B 73.6250 8 1 C 71.5000 8 436方差分析方差分析 2 两因素方差分析两因素方差分析输出的结果如下：输出的结果如下： Student-Newman-Keuls test for variable: YAlpha= 0.05 df= 16 MSE= 1.34375 Number of Means 2 3 4 Critical Range 1.2286997 1.4955629 1.6582506 Means with the same letter are not significantly different. SNK Grouping Mean N B A

28、 74.5000 8 2 A 74.1250 8 3 A 73.6250 8 1 A 73.1250 8 437方差分析方差分析 两因素的影响我们考虑的是全面实验，即两因素的所两因素的影响我们考虑的是全面实验，即两因素的所有程度组合均做实验有程度组合均做实验;然而实际中要进展这样的全面实验往往行不通，一方面然而实际中要进展这样的全面实验往往行不通，一方面是假设影响的因素较多，那么各因素的程度组合会很是假设影响的因素较多，那么各因素的程度组合会很大，另一方面实验材料和时间的限制，也不允许进展大，另一方面实验材料和时间的限制，也不允许进展全面实验，能否用较少的实验就能得出结论呢？全面实验，能否用较

29、少的实验就能得出结论呢？一个较好的方法即进展正交实验，一个较好的方法即进展正交实验，它对每一因素的各程它对每一因素的各程度安排的实验次数是一样的，其次任两个因素之间又度安排的实验次数是一样的，其次任两个因素之间又是穿插分组的全面实验。是穿插分组的全面实验。要安排一个正交实验，只要选用相应的正交表去安排实要安排一个正交实验，只要选用相应的正交表去安排实验就可以了。验就可以了。 3 正交实验方差分析正交实验方差分析38方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例5 5 无重复正交实验的方差分析无重复正交实验的方差分析为进步某化工产品的转化率，选择了三个有关的因素，为进步某化工产品的转

30、化率，选择了三个有关的因素，反响温度反响温度A A，反响时间，反响时间B B，用碱量，用碱量C C，选，选取的程度如下取的程度如下: :检验程度为检验程度为0.10.1 因素因素温度（温度（A）时间（时间（B）用碱量（用碱量（C）水水平平18090分分5%285120分分6%390150分分7%39方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例5 无重复正交实验的方差分析无重复正交实验的方差分析现按三因素正交表现按三因素正交表L934表进展实验，所得的实验数据表进展实验，所得的实验数据如下，请给出相应的分析。如下，请给出相应的分析。 1A2B3C4转化率转化率y1111131212

31、2254313333842123535223149623124273132578321362933216440方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例5 无重复正交实验的方差分析无重复正交实验的方差分析说明：三因素正交表说明：三因素正交表L9341、“L是正交表的代号，是正交表的代号，L的下标的下标“9表示表的行数，表示表的行数，表示要做表示要做9个不同条件的试验；个不同条件的试验；2、圆括号中的指数、圆括号中的指数“4表示表的列数，在试验中表示表示表的列数，在试验中表示用这张表安排试验的话，最多可安排用这张表安排试验的话，最多可安排4个因子；个因子；3、圆括号中的底数、圆括

32、号中的底数“3表示表的主体只有表示表的主体只有3个不同的数个不同的数字：字：1，2，3，在试验中它代表因子程度的编号，即用，在试验中它代表因子程度的编号，即用这张表安排试验时每个因子应取这张表安排试验时每个因子应取3个不同程度。个不同程度。41方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例5 无重复正交实验的方差分析无重复正交实验的方差分析正交表具有正交性，是指有如下两个特征：正交表具有正交性，是指有如下两个特征：1、每列中不同的数字重复次数一样。在表、每列中不同的数字重复次数一样。在表L934中，中，每列有每列有3个不同数字：个不同数字：1，2，3，每一个各出现，每一个各出现3次

33、。次。2、将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能、将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数一样。在表数对重复次数一样。在表L934中，任意两列有中，任意两列有9种种可能的数对可能的数对:1,1, 1,2, 1,3, 2,1, 2,2, 2,3, 3,1, 3,2, 3,3。42方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例5 无重复正交实验的方差分析无重复正交实验的方差分析data var5;input A B C y;cards;1 1 1 31 1 2 2 54 1 3 3 38 2 1 2 53 2 2 3 492 3 1 42 3 1 3 57 3

34、 2 1 62 3 3 2 64;proc anova;class A B C;model y=A B C;run;run; 43方差分析方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析其输出结果发如下：其输出结果发如下： Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 6 966.00000000 17.89 0.0539Error 2 18.00000000Corrected Total 8 984.00000000 Source DF SS F Va

35、lue Pr FA 2 618.00000000 34.33 0.0283B 2 114.00000000 6.33 0.1364C 2 234.00000000 13.00 0.0714结果说明，因素结果说明，因素A A在显著性程度在显著性程度0.050.05下，因素下，因素C C在显著性程在显著性程度度0.10.1下均有显著差异，说明因素下均有显著差异，说明因素A A和因素和因素C C的各程度对指的各程度对指标值标值y y的影响有显著差异，而因素的影响有显著差异，而因素B B的各程度那么对指标值的各程度那么对指标值y y的影响无显著性差异。的影响无显著性差异。 44方差分析 3 正交实验方

36、差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析为进步在梳棉机上纺粘锦混纺纱的质量，选取了三个因为进步在梳棉机上纺粘锦混纺纱的质量，选取了三个因素，每因素二个程度，见下表。素，每因素二个程度，见下表。 因素因素金 属 针 布金 属 针 布（A）产量水平产量水平（B）锡 林 速 度锡 林 速 度（C）水水平平1日本的日本的6公斤公斤238转转/分分2青岛的青岛的10公斤公斤320转转/分分45方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析这些因素间可能有交互作用，选用正交表这些因素间可能有交互作用，选用正交表L

37、827进展进展实验设计，据实验设计，据L827表头设计的特点如下表头设计的特点如下:列号列号1234567因素因素ABABCACBCABC46方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析实验数据如下实验数据如下试验号试验号ABC棉结粒数棉结粒数y11110.321120.3531210.241220.352110.1562120.572210.1582220.447方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析data var6;input A B C y;cards;1 1 1

38、0.3 1 1 2 0.35 1 2 1 0.201 2 2 0.30 2 1 1 0.15 2 1 2 0.502 2 1 0.15 2 2 2 0.40;proc anova ;class A B C;model y=A|B|C2; /*两两交互作用两两交互作用*/run; 48方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析其结果显示为：其结果显示为： Analysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FMode

39、l 6 0.10437500 6.19 0.2985Error 1 0.00281250Corrected Total 7 0.10718750 R-Square C.V. Y Mean 0.973761 18.05379 0.29375000 Source DF Anova SS F Value Pr FA 1 0.00031250 0.11 0.7952B 1 0.00781250 2.78 0.3440 A*B 1 0.00031250 0.11 0.7952C 1 0.07031250 25.00 0.1257A*C 1 0.02531250 9.00 0.2048B*C 1 0.00

40、031250 0.11 0.7952 49方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析 结果说明，各个因素对整个模型的作用并不明显，结果说明，各个因素对整个模型的作用并不明显，但注意到但注意到因素因素A A及穿插项及穿插项A A* *B B和和B B* *C C的平方和比误差项的平方和比误差项的平方和都小的平方和都小，说明这几项的作用并不明显，将其，说明这几项的作用并不明显，将其归并到误差，再进展分析。归并到误差，再进展分析。 50方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例6 有重复正交实验的方差分析有重复正交实验的方差分析将上

41、面程序中的将上面程序中的MODEL语句改写为如下形式：语句改写为如下形式：model y=B C A*C;其分析的结果如下：其分析的结果如下：51方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析Analysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 4 0.10375000 22.64 0.0141Error 3 0.00343750Corrected Total 7 0.10718750 R-Square C.V. Y Mean 0.967930 11.52346

42、 0.29375000 Source DF Anova SS F Value Pr FB 1 0.00781250 6.82 0.0796C 1 0.07031250 61.36 0.0043A*C 2 0.02562500 11.18 0.0407从而可看出因从而可看出因素素B、C的主效的主效应以及因素应以及因素A、C间的交互效间的交互效应均在应均在0.1下到下到达显著达显著52方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析MEANS语句的输出结果为语句的输出结果为 Analysis of Variance Procedure Level of -Y- B N Mean SD 1 4 0.3

43、2500000 0.14433757 2 4 0.26250000 0.11086779 Level of -Y- C N Mean SD 1 4 0.20000000 0.07071068 2 4 0.38750000 0.08539126 Level of Level of -Y- A C N Mean SD 1 1 2 0.25000000 0.07071068 1 2 2 0.32500000 0.03535534 2 1 2 0.15000000 0.00000000 2 2 2 0.45000000 0.07071068 由于在不同条件下由于在不同条件下棉结粒数愈小愈好，棉结粒数愈

44、小愈好，因此对于因素因此对于因素B的的程度程度2B2其对其对应的均值较小，应应的均值较小，应选它，其次对因素选它，其次对因素C应用其程度应用其程度1即即C1，再考虑因素，再考虑因素A、C的交互作用，的交互作用，对应于对应于C1，因素，因素A应取程度应取程度2即即A2，故可选出，故可选出最最优工艺条件为优工艺条件为A2B2C1，这正是第这正是第7号实验。号实验。 53方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析例例7 程度数不等正交实验的方差分析程度数不等正交实验的方差分析为探究某胶压板工艺，考虑压力为探究某胶压板工艺，考虑压力A分别为分别为8、10、11及及12公公斤，温度斤，温度B分别为分

45、别为95和和90；时间；时间C分别为分别为9分和分和12分。用正交表分。用正交表L8424来安排实验，所得结果如下表来安排实验，所得结果如下表 试验号试验号ABCY111166642122654432114322422244325312211163214442741243218421654254方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析DATA VAR7;INPUT A B C;DO I=1 TO 4;INPUT y;OUTPUT;END;CARDS;1 1 1 6 6 6 41 2 2 6 5 4 42 1 1 4 3 2 22 2 2 4 4 3 23 1 2 2 1 1 13 2 1

46、 4 4 4 24 1 2 4 3 2 14 2 1 6 5 4 2;PROC ANOVA;CLASS A B C;MODEL y=A B C;MEANS A B C;RUN;例例7 程度数不等正交实验的方差分析程度数不等正交实验的方差分析55方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析其结果如下：其结果如下： Analysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 5 49.40625000 8.41 0.0001Error 26 30.56250000Cor

47、rected Total 31 79.96875000 R-Square C.V. Y Mean 0.617819 31.25610 3.46875000 Source DF Anova SS F Value Pr FA 3 33.34375000 9.46 0.0002B 1 7.03125000 5.98 0.0215C 1 9.03125000 7.68 0.0102说明这三个说明这三个因素对胶压因素对胶压板工艺均有板工艺均有显著影响。显著影响。 56方差分析 3 正交实验方差分析正交实验方差分析MEANS语句的输出为：语句的输出为： Level of -Y- A N Mean SD 1

48、 8 5.12500000 0.99103121 2 8 3.00000000 0.92582020 3 8 2.37500000 1.40788595 4 8 3.37500000 1.68501802 Level of -Y- B N Mean SD 1 16 3.00000000 1.82574186 2 16 3.93750000 1.23659479 Level of -Y- C N Mean SD 1 16 4.00000000 1.50554531 2 16 2.93750000 1.56923548由于由于y值越大越好，值越大越好，从上面的输出结果从上面的输出结果可以看出，可以

49、看出，A1B2C1为最优工为最优工艺条件，即压力是艺条件，即压力是8公斤、温度是公斤、温度是90、时间为、时间为9分分钟的组合。钟的组合。57方差分析方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验 在方差分析中，要求各样本是来自正态总体且互相独在方差分析中，要求各样本是来自正态总体且互相独立，而且还要求各处理间方差一样。因此这是在进展立，而且还要求各处理间方差一样。因此这是在进展方差分析时首先要解决的问题，独立性一般好保证，方差分析时首先要解决的问题，独立性一般好保证，只要各次实验相不干扰即可，而正态性和等方差性往只要各次实验相不干扰即可，而正态性和等方差性往往也能满足，但有时也不能满足，

50、因此要对往也能满足，但有时也不能满足，因此要对正态性正态性检检验和验和等方差性等方差性进展检验。进展检验。 假设正态性不能满足，那么要考虑用其它分析方法如假设正态性不能满足，那么要考虑用其它分析方法如非参数方差分析非参数方差分析，假设等方差不能满足，那么可用假设等方差不能满足，那么可用变变量变换量变换的方法使其到达或根本到达。的方法使其到达或根本到达。 如如对泊松分布的计数资料可考虑用平方根变换；对服对泊松分布的计数资料可考虑用平方根变换；对服从二项分布的比率资料可用平方根反正弦变换；当标从二项分布的比率资料可用平方根反正弦变换；当标准差与均数成正比的数据或各组变异系数值接近时可准差与均数成正

51、比的数据或各组变异系数值接近时可用对数变换；当标准差与均值的平方成正比的关系时用对数变换；当标准差与均值的平方成正比的关系时可考虑倒数变换，可考虑倒数变换，等等。等等。 58方差分析方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验 例例9 为了诊断某种疾病，需要测量一个指标，并且在四种不同为了诊断某种疾病，需要测量一个指标，并且在四种不同的条件下记为的条件下记为A1，A2，A3，A4来测量一个指标以增加来测量一个指标以增加诊断的可靠性。今对四位安康人测得的数据如下诊断的可靠性。今对四位安康人测得的数据如下 1234A14000000150000010

52、000000100000A22200013000300008500A360003400160005200A4780720190055059方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验 要检验这四种条件有无显著的差异，假要检验这四种条件有无显著的差异，假设无显著的差异也就没有必要每人测四次。设无显著的差异也就没有必要每人测四次。 直观上，由于直观上，由于A1A1的数量级在的数量级在10107 7左右，左右，A2A2在在10105 5左右，左右，A3A3在在10104 4左右，左右，A4A4在在10103 3左右，故左右，故等方差性的条件可能得不到满

53、足。等方差性的条件可能得不到满足。 60方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验 DATA VAR9;DO A=1 TO 4; DO I=1 TO 4; INPUT y; OUTPUT; END;END;CARDS;4000000 1500000 10000000 10000022000 13000 30000 85006000 3400 16000 5200780 720 1900 550;PROC ANOVA;CLASS A; MODEL y=A; MEANS A;RUN;61方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验其输出为：其

54、输出为： Analysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 3 4.5420161E+13 3.16 0.0640Error 12 5.7420372E+13Corrected Total 15 1.0284053E+14 R-Square C.V. Y Mean 0.441656 222.8128 981753.125 Source DF Anova SS F Value Pr FA 3 4.5420161E+13 3.16 0.0640结果说明，在结果说

55、明，在0.05程度下没有显著差异程度下没有显著差异,只有在只有在0.1程度下才程度下才有显著差异。可以想象这可能是由于有显著差异。可以想象这可能是由于方差不等方差不等所造成的所造成的 62方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性方差齐性等方差等方差性检验性检验 63方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验DATA VAR6;DO A=1 TO 4; DO I=1 TO 4; INPUT y; OUTPUT; END;END;CARDS;4000000 1500000 10000000 10000022000 13000 3

56、0000 85006000 3400 16000 5200780 720 1900 550;proc means noprint data=var6;var y; by A;output out=ty1 css=ss n=n std=s;run;data ty2;set ty1; f=n-1; u=1/f; _type_=1;logs=2*f*logs;run;proc means noprint data=ty2;var ss n f u logs _type_;output out=mx3 sum=t_ss t_n t_f t_u t_logs k;data result;set mx3;

57、 sc2=t_ss/t_f;fz= =t_f*logsc2-t_logs;fm=1+1/3/k-1*t_u-1/t_f;df=k-1; chisqr=fzfz/fm;prob=1-probchichisqr,df;proc print noobs;var chisqr df prob;run; 64方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验其输出为其输出为 CHISQR DF PROB 99.4059 3 0说明方差不是齐性的。说明方差不是齐性的。65方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验前

58、面程序中的前面程序中的MEANS语句的输出为：语句的输出为： Level of -Y- A N Mean SD 1 4 3900000.00 4374928.57 2 4 18375.00 9568.83 3 4 7650.00 5671.86 4 4 987.50 616.08从而可以看出，从而可以看出，均值大的组，其标准差也大，说明二均值大的组，其标准差也大，说明二者之间有某种比例关系，故对数据进展者之间有某种比例关系，故对数据进展对数变换对数变换 。66方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检方差齐性等方差性检验验DATA VAR6;DO A=1 TO 4;

59、 DO I=1 TO 4; INPUT y; x=logy; OUTPUT; END;END;CARDS;4000000 1500000 10000000 10000022000 13000 30000 85006000 3400 16000 5200780 720 1900 550;PROC ANOVA;CLASS A;MODEL x=A;MEANS A;RUN; 67方差分析 4 方差分析条件的检验方差分析条件的检验1方差齐性等方差性检验方差齐性等方差性检验方差分析的输出为方差分析的输出为 Analysis of Variance ProcedureDependent Variable:

60、XSource DF Sum of Squares F Value Pr FModel 3 120.50969066 32.18 0.0001Error 12 14.97925748Corrected Total 15 135.48894814 R-Square C.V. X Mean 0.889443 11.31060 9.87799713 Source DF Anova SS F Value Pr FA 3 120.50969066 32.18 0.0001从这里可看出，方差不等确实会造成分析的失误，经过从这里可看出，方差不等确实会造成分析的失误，经过这样变换后，因素这样变换后，因素A的各