第八章 流体静力学

1、第一节第一节 流体的平衡方程式流体的平衡方程式 本章讨论流体静平衡的力学规律，重点在于研究本章讨论流体静平衡的力学规律，重点在于研究静止流体中的压强分布规律和总作用力计算方法。静止流体中的压强分布规律和总作用力计算方法。 流体静止指流体质点之间或层之间无相对运动，流体静止指流体质点之间或层之间无相对运动，它分为绝对静止和相对静止。它分为绝对静止和相对静止。流体静压强及其特性流体静压强及其特性 作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静压强有以下两个特点：压强有以下两个特点：1、流体静压强总是指向作用面的内法线方向；、流体静压强总是指向作用面的内法线方向

2、；2、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关。、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关。一、流体静压强及其性质一、流体静压强及其性质nzyxpppp=pypxpzpn作用在作用在ACD面上面上的流体静压强的流体静压强作用在作用在ABC面上面上的流体静压强的流体静压强作用在作用在BCD面上面上的静压强的静压强作用在作用在ABD面面上的静压强上的静压强（一）证（一）证 明：明： 取一微元四面体的流体微团取一微元四面体的流体微团ABCDABCD，边长分别为边长分别为dxdx，dydy和和dzdz 由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影

3、的总和等于零。任意轴上投影的总和等于零。0=xF 0yF 0zFv 流体微团受力分析流体微团受力分析x x方向受力分析方向受力分析表面力：表面力： 质量力：质量力：zyxpxPdd21=cosdcosnAnpnP=zynpdd21=zyAndd21cosd=xxfzyxW)ddd61(=流体微团质量流体微团质量X X方向单位质量力方向单位质量力0=xFv 因为流体平衡因为流体平衡0cos=+xnxWPPv 在轴方向上力的平衡方程为在轴方向上力的平衡方程为0ddd61dd21dd21=+xnxzfyxzypzypv 把把 Px ，Pn和和Wx的各式代入得的各式代入得v 化简得化简得v 由于等式左

4、侧第三项为无穷小，可以略去，故得由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得v 同理可得同理可得0d31=+xfppxnxnxpp =nypp nzpp nzyxpppp v 所以所以n n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。v 结论结论（二）、静压强两个特征（二）、静压强两个特征（几点说明几点说明）（1）静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续函数。同一点的各向静压强大小相等。函数。同一点的各向静压强

5、大小相等。（2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性性会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即nzyxpppp （3）运动流体是理想流体时，由于）运动流体是理想流体时，由于，不会产生切应力，所以理，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性，即想流体动压强呈静水压强分布特性，即0 )(31zyxpppp dxxpp 21dxxpp 21dzzpp 21dzzpp

6、 21dyypp 21dyypp 21中心压力：中心压力： p对对 z 轴方向的平衡方程轴方向的平衡方程(取向上的力为正取向上的力为正)02121dxdydzfdxdydzzppdxdydzzppz二、流体平衡微分方程式二、流体平衡微分方程式经整理，则得经整理，则得 0zfzp02121dxdydzfdxdydzzppdxdydzzppz对对 x 轴方向轴方向: 0 xfxpy 轴方向轴方向0yfyp Euler在在1755年首先提出的，故称为年首先提出的，故称为欧拉平衡微分欧拉平衡微分方程式方程式。由该方程式可以看出，静止流体内同一水。由该方程式可以看出，静止流体内同一水平面上各点的压力是相

7、同的，流体的压力只沿着高平面上各点的压力是相同的，流体的压力只沿着高度变化度变化dzzpdyypdxxpdp 0 xfxp0yfyp0zfzpdxfdxxpxdyfdyypydzfdzzpzdzfdyfdxfdpzyx这是流体平衡的一般表达式，以后在推导中会经常用到。 四、等压面四、等压面0dp三、压力差公式三、压力差公式P0G = mg 单位质量力在各坐标轴上的分力为单位质量力在各坐标轴上的分力为0 xf0 yfgfz 假设假设a.a.质量力只有重力质量力只有重力b.b.均质不可压缩流体均质不可压缩流体一、重力作用下的流体静一、重力作用下的流体静力学基本方程式力学基本方程式 方程推导方程推导

8、 静止容器上取直角坐标系静止容器上取直角坐标系第二节第二节 重力作用下的流体平衡重力作用下的流体平衡2022-3-2510 方程推导方程推导0 xf0 yfgfz 代入代入)ddd(dzfyfxfpzyx 得得zgpdd 0dd gpz 积分积分,constcgpz 流体静力学基本方程v 适用范围适用范围重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体 物理意义物理意义cgpz 单位重量流体对某一基准面的单位重量流体对某一基准面的位势能位势能单位重量流体的单位重量流体的压强势能压强势能位势能和压强势能之和称为单位重量流体的位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能总势能zgp /c在重力作用下静止流体中

9、各点的单位重量流体的总势能是相等的。cgpz 2022-3-2512 几何意义几何意义单位重量流体的单位重量流体的位置水头位置水头单位重量流体的单位重量流体的压强水头压强水头位置水头和压强水头之和称为位置水头和压强水头之和称为静水头静水头zgp /c在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的。v 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头水头。 ZYO0ppAzh0zgpzgpz 00 ghzzgpp )(00ghpp 0 A A点与自由液面之间有点与自由液面之间有 根据根据二、二、 压强分布规律压强分布规律h=z0-z 静止流体中任意点在自由液

10、面下的深度在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。(1)(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。v 三个重要结论三个重要结论ghpp 0(2) (2) 在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 自由液面上的压强自由液面上的压强p p0 0； 该点到自由液面的单位面积上的液柱重量该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ghgh。(3) (3) 在静止液体中，位于同一深度在静止液体中，位于同

11、一深度(h(h常数常数) )的各点的的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。静压强相等，即任一水平面都是等压面。2022-3-25v 压强的表示方法压强的表示方法 二、压强的计量依据计量基准的不同 绝对压强：绝对压强：以完全真空时的绝对零压强以完全真空时的绝对零压强(p(p0)0)为基为基准来计量的压强称为绝对压强准来计量的压强称为绝对压强ghppa app 0此时此时则则a a点绝对压强为点绝对压强为h0pzagp / pap以当地大气压强为基准来计量的压强称以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。为相对压强。 相对压强：相对压强：则则a a点相对压强为点相对压强为ghpppae表

12、压强、表压强、计示压强计示压强h0pzagp / papap负的计示压强，称为真空或负压强，负的计示压强，称为真空或负压强，用符号用符号p pv v表示表示 。 真空：真空：eavpghppp gppgphavv 真空高度真空高度当压强比当地大气压强低时，流体压强与当地当压强比当地大气压强低时，流体压强与当地大气压强的差值称为真空度。大气压强的差值称为真空度。aph 测量容器中的真空测量容器中的真空vp Vp ppagh v绝对压强绝对压强 = 大气压强大气压强 + 表压强表压强v表压强表压强 = 绝对压强绝对压强 - 大气压强大气压强v真空度真空度 = 大气压强大气压强 - 绝对压强绝对压强

13、 第三节第三节 液压柱式测压计液压柱式测压计一、一、 压力的单位压力的单位1. 应力单位应力单位 Pa(=N/m2)， MPa， kgf/cm22. 液柱高度液柱高度 常用的液柱高度单位有米水柱常用的液柱高度单位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱、毫米汞柱(mmHg)等。等。不同液柱高度的换算关系不同液柱高度的换算关系标准大气压帕(Pa)巴(bar)米 水 柱毫米汞柱工程大气压atmN/m2105N/m2mH2OmmHgkgf/cm211013251.0132510.3327601.03320.9869100000110.197750.061.01970.967998066.50.98071073

14、5.581二二. . 绝对压强、相对压强、真空绝对压强、相对压强、真空 BA绝对压强基准绝对压强基准A点绝点绝对压强对压强B点真空压强点真空压强A点相点相对压强对压强B点绝对压强点绝对压强相对压强基准相对压强基准O当地大气当地大气压强压强paO压强压强压强压强p记值的零点不同，有不同的名称：记值的零点不同，有不同的名称：以完全真空以完全真空为零点，记为为零点，记为 p绝对压强两者的关系为两者的关系为: p=pe+pa以当地大气压以当地大气压 pa 为零点，记为为零点，记为 pe 相 对 压相 对 压强为负值时，强为负值时，其绝对值称为其绝对值称为真空压强。真空压强。相对压强真空度 pv=pa-

15、pBA绝对压强基准绝对压强基准A点绝点绝对压强对压强B点真空压强点真空压强A点相点相对压强对压强B点绝对压强点绝对压强相对压强基准相对压强基准O大气压强大气压强paO压强压强 1. 单管测压管2/mNghppAaAA点的压强点的压强当地大气压当地大气压在该方程式中pA和pa应有相同的计量基准，所以当pa 0时pA为相对压强。2/mNghpAe三、三、 静压力的测量静压力的测量2/mNghppAaA标准大气压标汞水AaaAAaAAaAghpppmHgghpgpOmHhgpgp1112ghpp112/ mN2.U形管测压计形管测压计222ghpe1122ghghppa点1压强点2的相对压强点2的绝

16、对压强222ghppa重力作用下等压面21pp 点a的绝对压强1h1h2ap2121ah1h22如何求解？如何求解？3.U形管差压计形管差压计（P89）4.微压计微压计P90第四节 平面上和曲面上的流体压力一、平面上的流体压力一、平面上的流体压力说明：说明：压强一般采用表压力计算压强一般采用表压力计算原因：原因：当液面上作用为大气压强pa时，在壁的内外侧均有大气压作用，且方向相反，互相抵消，故在计算器壁所受的总压力时，只考虑液体对壁面产生的作用力，即：用表压计算就可以直接求得壁面所受的总压力，用表压计算就可以直接求得壁面所受的总压力，而不用再减去壁外面大气压作用的力了而不用再减去壁外面大气压作

17、用的力了。（一）、总压力的大小、方向（一）、总压力的大小、方向设静止流体作用在任意形状的平面设静止流体作用在任意形状的平面上，它与水平面的倾角为上，它与水平面的倾角为 ，面积为，面积为A。设液体的密度为设液体的密度为 ，液面压强为大气压，液面压强为大气压强强pa。平面上各点深度不同，水静压力也不同，但都垂直于平面，组成一平行力系平面上各点深度不同，水静压力也不同，但都垂直于平面，组成一平行力系。0p分析方法分析方法：在平面上取一微元面积dA，所处深度为h，其上压强为p，则dA上的总压力为：ghdAdApdPsinyh dAygdPsin又 积分，得平面上的总压力： AAAydAgdAygdPP

18、sinsin式中， 平面 A 对 x 轴的面积矩面积矩。 AydA由理论力学理论力学知： AyydAcAyc 面积 A 的形心 C 到 Ox 轴的距离。 ApAghAygPcccsinhc 面积 A 的形心 C 的垂深；pc 形心 C 处的静压力。ApAghPcc上式说明：上式说明：作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心处静压力的乘积。总压力的方向总压力的方向：垂直指向作用面。 （二）、总压力的作用点（二）、总压力的作用点压力中心压力中心 对称平面的压力中心 D 点的位置，只需确定一个 y 坐标即可。由平行力系的力矩原理平行力系的力矩原理：各分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴

19、的力矩各分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。即：ADydPyP将 代入上式，得： dAygdPAygPcsinsinADcdAygyAyygsinsin化简，得： AyJAydAyycxcAD2式中， 为面积 A 对 Ox 轴的惯性矩惯性矩。 AxdAyJ2根据惯性矩的平行移轴定理惯性矩的平行移轴定理：AyJJccx2Jc 面积 A 对通过形心 C 轴的惯性矩；yc 形心 C 到自由液面的Ox轴的距离。 AyJyAyAyJyccccccD2因 ，故 ，即 D 点在点在C 点的下方点的下方。 0AyJcccDyy 压力中心D与形心C的距离（偏心距）： AyJyycccD注意：注意： 可通过

20、查手册得到。 cJ说明：说明：对于垂直平面，则有AhJhhycccDD31常见平面形心位置及通过形心轴的惯性矩常见平面形心位置及通过形心轴的惯性矩（P93） 例题8-4静水奇象静水奇象思考思考?容器底面上受总压力均相等容器底面上受总压力均相等ApAghPcc二、曲面上的流体压力二、曲面上的流体压力例如：水塔、锅炉、油罐、弧形闸门等。 曲面上各点的流体静压力都垂直指向受压面，不同点所受压力的大小和曲面上各点的流体静压力都垂直指向受压面，不同点所受压力的大小和方向是变化的，这样就形成了复杂的空间力系。方向是变化的，这样就形成了复杂的空间力系。下面以工程上常见的二向曲面（柱面的一部分）为例，说明确定

21、总压力下面以工程上常见的二向曲面（柱面的一部分）为例，说明确定总压力的分析方法及其计算公式，然后再将结论推广到一般曲面的分析方法及其计算公式，然后再将结论推广到一般曲面设有一承受液体压力的二向柱设有一承受液体压力的二向柱形曲面，面积为形曲面，面积为A，如图。，如图。建立坐标系：建立坐标系：y轴与二向曲面的轴与二向曲面的母线平行，则曲面在母线平行，则曲面在xoz面上的面上的投影为曲线投影为曲线ab。在曲面ab上取一微元面积dA，其淹没深度为h，则流体作用在微元上总压力为：1 1、总压力的大小、方向、总压力的大小、方向ghdAdPxxghdAghdAdPdPcoscoszzghdAghdAdPdPsinsin（1）水平分力）水平分力： AxAxxhdAgdPPAxhdA为面积A在yoz坐标面上投影面积Ax对y轴的面积矩面积矩，有xcAxAhhdAxcxAghP即流体作用在曲面上总压力的水平分力等于流体作用在该曲面对垂直坐标面yoz的投影面Ax上的总压力。水平分力水平分力Px作用线通过作用线通过Ax的压力中心的压力中心：xcccDAhJhh（2）垂直分力）垂直分力： AzAzzhdAgd