第二章电磁场

1、第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 麦克斯韦在电磁现象基本实验规律的基础上，提出 “涡旋电场” 和 “位移电流” 两个假说，归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，是分析解决电磁场问题的理论基础。 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电磁场的能量和能流。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.1 电荷 电流 一切电、磁现象均起源于电荷、电流 。2.1.1 电荷 电荷密度

2、电子和质子是自然界带有最小电荷量的粒子，电子的电荷量 e= 1.6021019C，质子的电荷量为 e =+1.6021019 C。 任何其它微粒所带的电荷量 q 都是电子或质子电量的整数倍 电荷的量子化 。 宏观电现象中，电荷的量子性表现不明显，可以认为电荷是连续分布。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程电荷密度 VqVqVddlim0空间中某一体积 V 内的电荷总量表示为 VVqd面电荷密度以及任意曲面上的电荷总量 SqSqSSddlim0SSSqd线电荷密度以及任意曲线上的电荷总量 lqlqllddlim0Lllqd第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程面电荷密度、线电

3、荷密度与体电荷密度之间的关系： 面积为S、厚为 h 的体积内的电荷 q =hS 。当 h 0时，该电荷即为面电荷，故 00limhSShSSh00limllll 长为l、横截面积为 的体积内的电荷 q =l 。当 0 时，该电荷即为线电荷，故 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.1.2 电流 电流密度 电荷的定向移动形成电流。电流强度 tqtqItddlim0电流密度矢量 方向指向正电荷的运动方向，大小等于单位时间内垂直通过单位截面的电荷量，亦即通过单位横截面的电流强度。 SIeJSv0lim通过任一面元 dS 以及任一有限面积 S 的电流强度为 SJIddSSJId第二章第二章

4、 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 电流密度与电荷的密度及其运动速度有关。若空间某点的电荷体密度为 ，其运动速度为 v，则该点处的电流密度为vJ 如果电流分布在某曲面上，则面电流密度可定义为lIeJlvS0lim面电流密度与体电流密度之间的关系 00limhlvShJllhJeJ第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.1.3 电流连续性方程 考虑存在体电流的空间中某一区域 V，包围它的闭合曲面为 S。单位时间内由区域 V 内流出的电流为 SJISd按电荷守恒定律，应等于中单位时间内电荷量的减少，即 VSVttqSJIdddddd所以有VSVtSJdddd 电流连续性方程第二章第二章

5、电磁场的基本方程电磁场的基本方程 在体积不随时间改变时，对求导与对体积的积分可交换顺序，则电流连续性方程可表为 VVtSJddS利用散度定理，可得到电流连续性方程的微分形式 tJ稳恒电流情形下，电荷分布不随时间变化，故有 0 J0dSJS稳恒电流线是处处连续的闭合线。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.2 真空中电磁现象的基本规律2.2.1 静电现象的基本实验定律和定理1. 库仑定律 电场强度 库仑定律是静电现象的基本实验规律：真空中点电荷 q1 对点电荷 q2 的作用力为 31212012214rrrrFqq其中，0 = 8.854210-12 C2m-2 N-1 为真空的介

6、电常数, r1、r2为两个点电荷的位矢。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 电荷之间的相互作用通过电场传递。电场强度定义为：qFE 304)(rrrrEq位于 r 处的点电荷 q 在空间任一点 r 处产生的电场强度为第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程VV304d)()()(rrrrrrE面电荷分布产生的电场强度SS304Sd)()()(rrrrrrE线电荷分布产生的电场强度 Lll304d)()()(rrrrrrE体电荷分布产生的电场强度电场满足叠加原理，所以有：第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2. 高斯定理 静电场的散度 高斯定理：真空中，静电场在任何

7、闭合曲面上的通量仅由曲面内的电荷决定，与曲面外的电荷无关。 VSVd1d0SE 利用散度定理，可以写出高斯定理的微分形式 可见，电场强度在任一点的散度只取决于该点的电荷密度。0 E第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程3. 静电场的环路定理和旋度 静电场中，E 对任意闭合线的环量为零。 静电场的环路定理由斯托克斯公式，可得环路定理的微分形式可见，静电的旋度恒为零。 静电场是有散无旋场，静电场的电力线发自正电荷，止于负电荷，是连续的不闭合曲线。 C0dlE0E第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.2.2 稳恒磁场的基本实验定律和定理 1. 安培定律 毕奥萨伐尔定律 安培定律给

8、出真空中两个电流元之间磁相互作用的规律：回路 C 上的电流元 I dl 受到来自 C 上电流元 I dl 的磁力为30)(dd4drrrrllFII其中 0 为真空的磁导率， r 和 r 分别为电流元 I dl 和 I dl 的位矢。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运动电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为dF = I dlB 将上式与安培定律对比,可得电流元 I dl 在 r 处产生的磁感应强度为 30)(d4drrrrlBI

9、第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 由场的叠加原理，整个电流 I 在 r 处产生的总磁场为 上两式称为毕奥萨伐尔定律，它给出了电流激发磁场的规律。 载流导线在磁场中受力的微观本质是磁场对在其中运动的电荷有作用力。带电量为 q 的电荷在磁场 B 中以速度 v 运动时，它所受到的磁力由洛仑兹力公式给出 F = q vB 上式亦即安培力公式的微观表达式。它表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速度，故洛仑兹力永不作功，只改变电荷的运动方向。CCRII3030d4)(d4)(RlrrrrlrB第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2. 磁场的高斯定理 磁场的散度 穿过任一闭曲面的 B 通

10、量恒为零，这一性质称为磁通连续性原理或磁场的高斯定理 。 0dSSB 由散度定理，可写出与上式相对应的微分关系B = 0这表明，磁场是无散场。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程3. 安培环路定理 稳恒磁场的旋度 安培环路定理是稳恒磁场的另一个重要定理，表达式为 这里 S 是以 L 为周界的任意曲面。LSSJlBdd0JB0与上式相应的微分形式为 稳恒磁场的散度和旋度方程表明，稳恒磁场有旋无散，磁感应线是无头尾的闭合曲线。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.2.3 电磁感应定律 涡旋电场 1. 电磁感应定律 在磁通发生变化的回路中存在着感应电动势，其规律由法拉第电磁感

11、应定律给出： SttSB ddddd 引起磁通变化的原因有两种，相应的感应电动势也有两种。当导体回路相对于磁场运动时，无论磁场是否稳恒，导体回路中都会产生感应电动势。此电动势称为动生电动势，记做 k。引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力： ClBvdk第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程若回路 C 中的感应电动势由磁场本身随时间变化而引起，则称其为感生电动势，记为 ind。由法拉第电磁感应定律，有StSBddni2. 涡旋电场 引起感生电动势的非静电力是什么？为回答此问题，麦克斯韦提出了涡旋电场假说： 随时间变化着的磁场可以激发一种电场，称为感生电场。该电场的电力线是闭合的，故又称为涡

12、旋电场。涡旋电场力就是引起感生电动势的非静电力。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程ClEddnidniSCtSBlEdddni对应的微分形式为tBEdni 按涡旋电场假说，由电动势的定义，有 与前式比较，可得第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 结论：激发电场的源有两种，一种是电荷，它激发的电场是无旋的库仑场 EC；另一种是变化的磁场，它激发的是涡旋电场 Eind；空间的总电场 E = EC + Eind 。SCtSBlEddtBE 由静电场的环路定理和涡旋电场的数学表达式，可得总电场的环流对应的微分形式为可见，总电场 E 为有旋场，其旋度为磁场变化率的负值。第二章第二章

13、 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.3 介质的电磁特性 在实际电磁场问题中，通常有介质存在。物质由分子组成，分子由原子组成，而原子由带有正电荷的核和绕核运动、带有负电荷的电子构成。当物质处在外加电磁场中时，其分子中的电荷分布以及分子的状态都会受场的影响而发生变化，使原来中性的物质表现出一定的电、磁性质，从而反过来对电磁场的分布产生影响。2.3.1 介质的极化1极化强度 电介质按其分子是否具有固有电偶极矩分为两类：无极分子电介质和有无极分子电介质。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 无外电场时，无论是有极分子电介质还是无极分子电介质也不显电性都呈现电中性。 当介质处于外电场中时，介

14、质将发生极化。按极化的机理，极化分为两类：a)位移极化：分子正负电荷重心分开，成为沿外电场方向的电偶极子，使介质在宏观上显示出电性；b)取向极化：分子的固有电偶极矩受电力矩作用，一定程度地转向外电场方向，使介质在宏观上显示出电性。 无论是位移极化还是取向极化，极化现象的特征都是单位体积介质内分子的电偶极矩矢量和不为零。为描述介质极化的状态，引入极化强度矢量 P：VVpP0lim第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2极化电荷 由于极化，介质的表面和内部都可能出现宏观的电荷分布，这就是极化电荷。从微观上看，极化电荷仍被束缚在分子中，不可能从介质中引出，它们是束缚电荷。1）极化电荷面密度

15、介质极化后，其分子的电偶极矩基本上沿极化强度的方向排列起来。介质内接近表面处的偶极子中的电荷会沿 P 方向穿出表面，形成“浮现”在介质表面的极化电荷。 设等效电偶极子长度为 l，电量为 q，分子数密度为 n 。取一斜高为 l ，底面积为 S 的斜柱体，柱体的轴线平行于 P。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程于是，介质表面上的极化电荷面密度为 en 为介质表面的外法向单位矢。 SlqnqcosnPcosePlqnSqS 向柱体的上底面外贡献 +q 的偶极子，其负电荷一定在此柱体内。所以，S 面拥有的极化电荷总量为第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2）极化电荷的体密度 考虑

16、介质内部的某体积 V。由电荷守恒定律，在极化中净移出体积 V 的束缚电荷总量应等于留在体积内的束缚电荷总量的负值。因为移出体积 V 的束缚电荷就是 “浮现”在该体积表面上的全体极化电荷的代数和，所以有此为计算体积 V 中极化电荷的公式。利用散度定理，可得极化电荷的体密度为VSSSSVSSqddddPnPPSPePPP可见，介质均匀极化（ P 为常量）时，其内部无极化电荷。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程3有介质存在时的高斯定理 有介质存在时，空间中不仅有自由电荷，还有极化电荷，任一点的电场由二者共同激发。因此，高斯定理应扩展为利用 ，上式成为引入电位移矢量： VSVd)(1dP0

17、SESVVSP ddPVSVdd)(0SPEPED0第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程则上式成为此即用 D 表示的高斯定理。 可见，电位移矢量的通量仅由自由电荷决定，与极化电荷无关。该式对真空也适用。 根据散度定理，可得其微分形式 VSVddSD D第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.3.2 介质的磁化 1磁化强度 介质分子中各种形式的电荷运动的总效果可以等效为一个环形电流，称为分子电流。由于分子电流的存在，分子具有一定的磁矩：m = I a ，其中 I 是分子电流的强度，a 是分子电流环绕的有向面积，其方向与分子电流的绕向成右手螺旋。 无外加磁场时，介质中各分子磁矩

18、杂乱排列，互相抵消，于是介质不显磁性。当处于外磁场中时，各分子磁矩在外磁场的力矩作用下将一定程度地转向外磁场方向，于是介质在宏观上显示出磁性，称介质发生了磁化。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 描写介质的磁化状态的物理量是磁化强度矢量：2磁化电流 介质磁化后，内部各分子的磁矩大致沿 M 的方向排列起来，从而介质内部和表面的各分子环流不会互相抵消，将形成宏观电流，称为磁化电流。磁化电流是束缚电流。1）磁化电流密度VVmM0lim 考察介质内部通过任一截面S的磁化电流强度。穿过 S 面的总磁化电流就是那些与 S 的周线 L 相环链的分子电流的总和。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场

19、的基本方程 以 L 上的任一线元 dl 为轴线，以分子环流所围成的面积 a 为底做一斜柱体。凡中心落在此柱体内的分子环流都与环链。设分子数密度为 n，则与线元环链的分子环流数目为la dcosdddnlanVnN 每一分子环流为 I ，故与线元 dl 环链的所有分子环流对穿过 S 的磁化电流的贡献为lMladdd InNI所以，穿过 S 的总磁化电流为记磁化电流密度为 Jm，则上式可写为LNIIlM ddm第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 利用斯托克斯定理，可写出与上式相应的微分式： 可见，在均匀磁化的介质内部不存在磁化电流。2）磁化面电流密度 在由表面法线与 M 确定的平面内做

20、一微小矩形回路 L，回路的两长边（长度为l ）分别在介质表面两侧并与表面平行，如图所示。 MJm 当矩形的宽度 h0 时，穿过回路所围面积的磁化电流即为通过线段 l 的磁化面电流。LSmIlMSJddm第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 将 用于此回路，由于介质外 M = 0，而 l 足够小，在此长度上介质中 M 可视为常量，故有这里 为介质表面的外法向单位矢 en 与 M 的夹角。于是 LNIIlM ddmsindmlMILSlMlMsinmmMlIJSS 注意到分子环流的绕行方向与 M 成右手螺旋，故表面上磁化电流垂直于纸面向外。 综合上述，介质表面磁化电流面密度矢量为nmeM

21、JS第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程3有介质存在时的安培环路定理 有介质存在时，空间任一点的磁场由传导电流 J 和磁化电流 Jm 共同激发。此时安培环路定理应改写为LSlMSJddmLSSJJlBd)(dm0利用 ，可将上式写为LSSJlMBdd)(0定义磁场强度 MBH0第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程则有此即用 H 表示的安培环路定理，该式对真空中的磁场也成立。由斯托克斯定理，与上式相应的微分形式为 LSSJlHddJH 2.3.3 本构方程 介质的极化强度、磁化强度与电场、磁场之间存在着确定的相互关系。这种关系与介质本身的物质构成有关，因此被称为本构方程。本构

22、方程描写了介质的宏观电磁特性，可以由实验确定。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程1各向同性线性介质 各向同性线性介质的介质的电磁特性与方向无关，且本构方程为线性方程。 在各向同性线性电介质中，有其中 e 为介质极化率。e 0 ，等号对真空成立。 在各向同性的非铁磁线性介质中，有其中 m 为介质磁化率。对顺磁质，m 0，即 M 与 H 同向；对抗磁质，m 0，即 M 与 H 反向；真空中 m = 0 。EP0eHMm第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 将上两式分别代入 D 和 B 的定义式，可得EED0e)1(HHB0m)1 (其中 为介质的介电常数； 为介质的磁导率；0

23、r0e) 1(0r0m) 1(r 和 r 分别称为介质的相对介电常数和相对磁导率。 以上 P 、E 关系和 M、H 关系或 D、E 关系和 B、H 关系就是各向同性线性介质中的本构关系。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 导电介质尤其是导体中，传导是主要现象。导电介质中某点的电流密度与该点的电场强度的关系由微分形式欧姆定律给出： = 0 的介质为理想介质。在理想介质中，无论有无电场，总有 J = 0。 = 的介质为理想导体。在理想导体中，因 J 有限，故总有 E = 0 。 对于导电介质，本构方程还包括微分形式欧姆定律。 2各向同性非线性介质 在各向同性非线性介质中， EJEEEE

24、EP2)3(e0)2(e0)1(e0HHHHHM2)3(m)2(m)1(m第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程例： 真空中有一个半径为 R、介电常数为 的介质球，其球心放置了一电量为 q 的点电荷。求空间极化电荷分布。解：以球心为坐标原点，建球坐标系。电场分布具有球对称性。对半径为 r 的任意同心球面应用高斯定理qS SD d得空间任意点的电位移矢量)(4)0(4202rRrqRrrqrreeE由本构方程，空间任意点的场强为)0(42rrqreD第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程所以，空间任意点的极化强度为)(0)0(4)(200rRRrrqreeEP空间任意点的极化电荷

25、密度为204)(RqrRrSpeP球面上面极化电荷密度为)0(0rpP对于 r = 0点：qrrqqrS)(ddsin4)(Sd0020220)0(PP第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.4 麦克斯韦方程组 2.4.1 一般情况下的总电位移 麦克斯韦的涡旋电场假说将法拉第电磁感应定律包括到了电场的旋度方程中，从而得到了普遍成立的方程式： 其中 与此相对应，空间的总电位移为 t BEdniCEEEdniCDDD其中 ，而 Dind 是涡旋场，故 。VSVddCSD0dindSSD第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程于是有因此，总电位移 D 在一般情况下仍然满足方程2.4.

26、2 位移电流 对 H =J 两边取散度，有 H = 0 ，而按电流连续性方程， 应有VSSVdddCSDSD DJHt J第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程可见在非稳恒情况下，H = J 与电荷守恒定律相矛盾。 为解决上述矛盾，麦克斯韦提出，在一般情况下应有利用 D = ，上式即为为满足此式要求，只要取该式就是一般情况下的磁场旋度方程。t JH)(tDJHtDJHtD式中 与 J 地位相同，麦克斯韦称其为位移电流密度。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 位移电流假说：位移电流和传导电流一样，可以激发涡旋磁场。 位移电流假说的意义： D 本质上代表电场，故位移电流假说实际

27、上指出，变化的电场可以激发涡旋磁场。 对 两边作面积分，并利用斯托克斯定理，可得相应的积分形式 此为推广的安培环路定理。式中 为通过曲面 S 的传导电流， 为通过 S 的位移电流。SISJ dtDJHSCtSDJlHd)(dddItSSD第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 综上述，传导电流和位移电流（即变化的电场）都是激发磁场的源，并且它们激发的磁场都是涡旋场。因此，传导电流和变化电场激发的总磁感应强度对任一闭曲面的通量都为零。由此可知，磁通连续性原理是普遍成立的，即有 0 B0dSSB第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.4.3 麦克斯韦方程组 总结上述，麦克斯韦得到

28、一组普遍成立的电磁场方程： 左边为微分形式，右边是相应的积分形式。tDJHtBE DCStSDJlHd)(d0 BCStSBlEddVSVddSD0dSSB第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 麦克斯韦方程组以简洁的形式揭示了电磁场的运动规律，它指出，随时间变化的电场和磁场之间相互激发，相互关联，从而构成一个统一的电磁场。 麦克斯韦方程组共涉及到五个矢量：E 、D 、B 、H 和 J ，它们由本构方程相互联系着。在各向同性线性介质中，对导电介质则还有 麦克斯韦方程、本构方程、电流连续性方程构成了关于电磁场的完备方程组，其正确性已经得到了无数实验的验证，它们是电磁场分析的基本出发点。

29、EDHBEJ第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程例1 铜的电导率 ，介电常数 。设电场强度为 ，计算铜中的位移电流密度与传导电流密度的幅值之比。 解：铜中传导电流密度的幅值为 J = E0，而位移电流密度的幅值为于是有其中 f 为场源的频率。对于可见光，f 1014 Hz，对一般电磁波而言， f 远小于1014 Hz。故导体中 Jd / J 0。 m/s108 . 570tEEsin00d|EtJDffJJ19712d106 . 9108 . 51085. 82第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程例2 设真空中电量为的点电荷以速度 v（v c）向+z 方向匀速运动，在 t

30、= 0 时刻经过原点。试求其此时在空间引起的位移电流密度 Jd。 解：注意到除点电荷之外，对空间任意一点均有 J = 0，故可用H = Jd 求位移电流密度。 t = 0 时刻，由该运动电荷在空间一点引起的磁场强度为于是 234sin4rvqrqervH第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程22sin100sinsin14rrrrrvqreeeHJd)sincos2(43eerrvq第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程在 r 一定的球面上，各点 Jd 的方向大致如图所示。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.5 电磁场的边界条件 在两种介质的交界面两侧，由于电磁

31、参数突变，界面上一般地会出现电荷、电流分布，从而导致场矢量可能不连续。因此，麦克斯韦方程组的微分形式只适用于连续介质内部，在界面处则不能适用。 但场矢量总是有限的，因此在包围界面的回路或闭合曲面上，各个场矢量的积分仍然存在，故麦克斯韦方程组的积分形式对于包括界面在内的区域仍然成立。根据麦克斯韦方程组的积分形式，可以导出界面两侧场量之间的关系。这些关系称为电磁场的边界条件。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.5.1 电磁场矢量法向分量的边界条件 规定界面 的法向单位矢 en 从介质 1 指向介质 2。包围界面上 a 点做一扁柱形闭合曲面 S，如图所示。柱体的底面积为 S，高度 。

32、0h第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程1关于 D 的法向分量 对闭合曲面 S 应用高斯定理，有 其中 S1 、S2 和 Sb 分别表示扁柱形闭合曲面的两个底面和侧面。 当底面积很小时，其上的 D1、D2 皆可视为常量；又由于 h0，故柱侧面上的通量为零。此时 S 面所包围的电荷实际上仅是界面上的面电荷，即 于是上式可写为 b21dddddSVSSSVSDSDSDSDSShVSVdSSDDSSS)()(n1n2n2n1eDeD第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程由此有 上式即为 D 矢量法向分量的边界条件。它表明，在带有自由面电荷的界面两侧，D 的法向分量不连续。2关于B

33、的法向分量 将 应用于图中的闭曲面 S，与前述分析同理，可以得到SDDn1n2S)(12nDDe或 此即 B 矢量的法向分量的边界条件。它表明，B 的法向分量总是连续的。 0dSSB0n1n2 BB0)(12nBBe或第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.5.2 电磁场矢量切向分量的边界条件 由界面上某点 a 出发做沿任一切向的单位矢 et，环绕点 a 取一矩形回路 C，使其两条长边平行于 et 且分别位于界面两侧，两条短边垂直于界面。记长边长度为 l ，短边长度 h 0，如图所示。 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 当 h 0 时 S 0 ，而 有限，故上式右边的面

34、积分为零。又因 l 足够小，故上式成为此即t B0)()()(dt2t1t2t1lEEllCeEeElE0t2t1 EE0)(12nEe将 应用于回路 C。SBlEddSCt1关于E 的切向分量 结论：界面两侧 E 沿任意切线方向的分量总是相等。由于 E2 E1 是沿法线方向的矢量，故上式的矢量表示为：第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2关于 H 的切向分量 将 应用于回路 C。因为 有限，故当 h 0 时 ，且此时流过回路 C 所围面 S 的电流仅为面电流。有eb 为面 S 的法向单位矢，与 C 的绕向成右手螺旋。 可见， 的值与 JS 的方向有关。CStSDJlHd)(dtD0

35、dStSDllhCbSbdeJeJlHClH d第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 取 a 点附近的界面元 为 x y 平面， 则在 a 点附近，JS 在 x y 平面内，将其分解为 x 分量JSx 和 y 分量 JSy。对于JSx，设回路 C 位于 y z 平面，此时 eb = ex，故有 lJlHHxyyS21)(xyyJHHS21即第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 对于JSx，设回路 C 位于 x z 平面，此时 eb = - ey，故有 综上可知，若界面上有沿某方向的面传导电流，则垂直于该方向的切向分量在界面两侧不连续。 lJlHHyxxS21)(yxxJHH

36、S21即第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 以上两结果可合并为一个矢量式：)()(1212yyxxxyHHHHee)()(1212xxxzzHHeeHHe )()(1212zzzyyyHHHHeeSxSxySyJJJeeH 的切向分量一般不连续。若 JS = 0 ，则有0)(12nHHe 仅当界面上不存在面传导电流时，H 的切向分量才连续。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.5.3 界面上的电流连续性方程 将 用于图中的柱形闭合面，并取底面积 S 和高度 h 足够小。可得tJJSStn1n2JVSVtddSJ 此即界面上的电流连续性方程，亦称电流的边界条件。可见 J

37、的法向分量在界面上一般不连续。稳恒情况下，S 不随时间变化，再若没有面电流或者面电流均匀(tJS = 0)，则 J 的法向分量连续，即tJJSStn1n2Jn1n2JJ第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 将 用于包围界面的闭合圆柱曲面，可得 或其中 PS 为界面上的极化电荷面密度。 将 应用于包围界线的回路 C。与推导 H 切向分量边界条件同理，可得VSVddPSPSPPPn1n2SP12n)(PPe2.5.4 界面上极化电荷、磁化电流的分布CSlMSJddmmSJMMe)(12nJ mS 为界面上的面磁化电流密度。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程例1 磁导率分别为

38、1、2 的两种理想介质以平面 z = 0 分界。已知两介质中的电场分别为其中，E0、A、B、k1、k2 和 皆为常数。设 E0 、 k1、k2 已知，求 A、B。解：因为E1、E2皆沿切向，由 z = 0 处 E1t = E2t，有 由 ，可得 )0()cos()0()cos()cos(202111zzktEzzktBzktAxxeEeE0EBAt111HE 第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程对 t 积分，不计稳恒场（即取积分常数为 0），得同理可得因为理想介质表面，JS = 0，故在 z = 0 有 H1t = H2t，即 zEty1111eH )sin()sin(1111zkt

39、BzktAkye )cos()cos(),(11111zktBzktAktzyeH)cos(),(20222zktEktzyeH第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程联立、 ，可以解得 20211)(EkBAk 01221122EkkkA01221122EkkkB第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程例2 稳恒情况下，两种导体的交界面附近电流线如图所示，其中1、2 分别是两种导体的电导率。试证明 证：利用欧姆定律 J = E ，由 E1t = E2t 可得可见 J 的切向分量不连续。 2121tantan2t21t1JJ第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 稳恒情况下

40、，J 的法向分量连续，即以上两式相除，得因为 ，所以上式即为证完。 n2n1JJn22t2n11t 1JJJJtanntJJ2121tantan第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.6 电磁能量和能流 电磁场具有能量。本节将导出电磁场的功率密度表达式，进而导出电磁场的能量转化关系，并说明能量是通过电磁场传递的。 2.6.1 电磁力密度 电磁功率密度 在电磁场中以速度 v 运动的点电荷 q 将受到电场力和洛仑兹力的共同作用： 如果电荷连续分布，则体积元 dV 内全体电荷受到的电磁力为 BvEFqq)(ddBvEFV第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程利用 J = v ，可得

41、电磁力密度： 如果 dt 时间内，单位体积中的全体电荷在电磁力作用下发生了位移 dr，则电磁场对这些电荷作的功为 f d r，于是电磁场对单位体积中的电荷提供的功率（即电磁功率密度）为 可见，电磁功率密度等于电场的功率密度，这是因为洛仑兹力对电荷不作功。 VddFfBJEEJvfrftpdd第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 电磁场向体积 V 中的电荷提供的功率为 由于电磁场对电荷提供的功率对电磁场本身而言是损耗，所以 也就是体积 V 内损耗的电磁功率。 2.6.2 坡印亭定理 由 ，体积 V 内损耗的电磁功率可写为 VVVVpPddJEVVdJEtDJHVVVtVddDEHEJE

42、第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程利用矢量恒等式以及可得 )()()(HEEHHEtBEVVVtVd)()(dDEEHHEJEVVttdd)(DEBHHE其中 是包围体积 V 的闭曲面。VVtd)2121(d)(DEBHHE第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程引入坡印亭矢量 S并假定体积不随时间改变，故对时间求导可与体积分交换顺序，于是上式可写为 此即坡印亭定理。该定理表述的是电磁场的能量转化关系。 ：HESVVVVtdd)2121(dddJEDEBHS第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 2.6.3 电磁场的能量密度和能流密度 在坡印亭定理中 是体积内损耗的电

43、磁功率； 是体积V 内电磁能量的时间增长率。由此，电场能量密度 we 和磁场能量密度 wm 应为各向同性介质中VVtd)2121(ddDEBHVVdJEDE 21ewBH 21mwDEw21eBHw21m第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程由能量转化与守恒定律 是通过体积 V 的表面 进入 V 内的电磁功率。 S 的方向指示了电磁能量流动或传输的方向： ，表示有电磁能量通过面元 d 流入V 内（注意 - d 指向 V 内）。S 的大小等于通过单位横截面的电磁功率。因此，S 代表了电磁场的能流密度。 由 S 的定义可知，电磁能量的传输依赖于电场和磁场两个因素，仅有电场或仅有磁场，都不能

44、传输电磁能。 通过某曲面 的电磁功率为S d0)d(SPS d第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程2.6.4 导体在能量传输中的作用 考虑半径为 a、电导率为 、载有稳恒电流 I 的无限长直导线。分析导体内外的电磁能流密度。 取圆柱坐标系，设电流沿 ez 方向。导体内外的区域分别标为 1、2 区。 在导体内部， 2aIzeJ 21aIzeJE212)(aIe因此，在导体内部4221112)(aIeHESS1 的方向指向轴线，导体内部没有能量沿电流方向传输。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 导体外，磁场为可见，H2 随着 的增大而减小。)(22aIeHtn222EEE E

45、2 由导体表面电荷所引起，它也随 的增大而减弱。导体外的能流 将随 的增大而减小，故导体外的能流集中在导线附近的有限横截面内。电场为S2=E2H2 由 E 的切向分量连续边界条件，有)()()(1t1t2aEaazeEE第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程界面两侧 H 的切向分量连续，而 H 无法向分量，故有)( )()()()()(2n2t2222aaaaaaHEEHES)()()()(2n222aaaatHEHEzzSaS22)(ee)()(12aaHH 可见，导体表面外的电磁能流分为两部分：一部分垂直进入导体；另一部分则沿着电流的方向传向负载。 所以，在导体侧面外表，能流密度亦即，导体内部指向轴向的能流是由外部流入的。 而且，进入导体的部分)()()()(1112aaaaSHES第二章第二章 电磁场的基本方程电磁场的基本方程RIaLILaaIaIaP222322322122d2d)(S这表明，进入导体的电磁能全部转化为导体中的焦耳热。 通过长度为 L 的侧面 进入导体的电磁功率为 综上所述，沿导体传输的电磁能实际上是经导体周围的空间流向负载的。导体在电磁能的传输过称中仅扮演引导者的角色，但同时也向电磁场索取一定的能量供自身消耗。 对于理想导体， ，有 E1 = J/ = 0 ，故 S1 = 0，不消耗能量。第二章第二章 电磁场的基本方程电磁