概率论与数理统计第五章

1、精选ppt第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 切贝谢夫不等式切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。ED设随机变量 有期望值与方差。对任给 0,有2DP(|E|) 2DP(|E |)1 切贝谢夫不等式：若 是离散证：型随机变量,kkP(x )p 精选pptkk|xE |P(|E |)P(x ) k2kk2|xE |(xE )p 2kk2k(xE )p2D若 是连续型随机变量,(x),的概率密度为精选pptP(|E |)P(E)P(E) EE(x)dx(x)dx22E22E(xE )(xE )(x)dx(x)dx 22(xE )(x)dx 2D精选ppt1 设

2、 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定1，2，实际计算P(| -E |),并验证切贝谢夫不例等式成立。1P(k),k1,2,.,66 解：7E2 35D12 72P12371P223235112 D时，235248 D时，2313精选ppt021000设电站供电网有盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间例的概率。令 表示夜晚同时开着的灯解：的数目。B(10000,0.7)7199kk10000 k10000k 6801P(68007200)C0.7 0.3 用切贝谢夫不等式估计：Enp 7000Dnpq 2100P(680

3、07200)P(|7000| 200) 221001200 0.95精选ppt1nniiii 1,.,n1E,D8,(i1,2,.,3,n)n 若是 个相互独立，同分布的随机变量，。对于 写出 所满足的切贝谢夫不等式，并估计P(| - |例0,n充分大时，必有n+1 且nnnlimP(|0|) n1limPn n1lim 1n=1 n即依概率收敛于0n3设为例两点分布 n1aaa. nn定义若存在常数 ，使对于任何 0，有limP(|0nlimPp1n 大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若P(A)很小，则A发生的频率也很小如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次在一次试

4、验中认为A几乎不可能发生。这称为小概率事件的实际不可能性原理。精选ppt12inini 13 (),.a(i1,2,.)1limPa1n 定理辛钦大数定律 如果是相互独立有相同分布的随机变量,有E则对任意给定的 0，有12n,., 即的算术平均值依概率收敛于a实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得到观察值x1,xnnii 1nxa1当 充分大时，可用作为 的近似值。n精选ppt3 3 中心极限定理中心极限定理钉板试验精选ppt 研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。 一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起

5、特别突出的作用，则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。212iiii,.Ea ,D 设相互独立，innii=1若每个对总和 影响不太大，则当 很大时，近似服从正态分布。精选pptnn2iii 1i 1Na ,所以nii 1n2ii 1aN(0,1)则这就是如下的李雅普诺夫定理：212iiiiinii 1nii0ni 1n1.Ea ,D,limP(a )x(x). nn2ii=1定理设 ， ，相互独立，若某个 对总和影响不大，令S 则1Snnnn2iiiii 1i 1i 1i 1EEa ,DD 由于精选ppt例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一

6、盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。100iiii1设第 个螺丝钉重量为 ，一盒重量为 解：21100ii0.1,D0.1 ,.,相互独立，E100ii 1EE100() 两100ii 1DD1 N(100,1)近似服从正态分布P(102) 100P211001 P21 01(2) =0.02275精选ppt例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。ii第 次轰炸命中目标的次数为解：100ii1100次轰炸命中目标的次数 100ii1EE200 10

7、0ii1DD169 D13 2N(200,13 )P(180220) |200|20P131302(1.54) 10.87644精选ppt14848ii1.011,483设 ，相互独立，都是，上均匀分布。记 求P(例0.4)ii11,D212 法一：E解48ii1E24,D4 记 ,2N(24,2 )148因为 P(0.4) 1P0.448 P(19.2) 2419.224P220( 2.4) 01(2.4) =0.008158精选ppt解法二：正态分布的线性函数也是正态分布48ii1EE48 1120.548i2i1DD48 11576212421N 0.5,240.50.40.5P(0.4

8、)P112424 0( 2.4) =0.008158精选ppt例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从100,1000上的均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销售额上、下浮动不超过20000元的概率。ii第 位顾客消费额位 ，商场销售额：为解，则10000ii1iE550 2i1D(1000 100)12 2900122900E5500000,D1000012 P(550000020000550000020000) 550000020000P100 900100 900121202(0.77) 1 0.56精选ppt例5 计算机在进行加法时，

9、每个加数取整数(四舍五入)，设所有取整误差是相互独立的，且它们都在-0.5，0.5上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90？121500(1). 解：iE0 i1D12 E0 D125 P(| 15) 1 P(| 15) |0|151P125125 01 (2(1.34) 1) =0.18024精选ppt(2)设有n个数相加12n.,E0 nD12 |0|10P(| 10)Pnn1212 01021n12 0.90100.95n12即101.64n12n446解得精选ppt二项分

10、布可以看成多个0-1分布之和当n增加时，它以正态分布为极限。00ab(b)(a)bnpanpnpqnpq (2)积分极限定理：当n时P()02 ()(1)nknpnpq 定理拉普拉斯定理局部极限定理：当时1P( =k)npq精选ppt例6 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率。设同时停机的数目为 ，它服从解：二项分布n10,p0.2np2npq1.265(1)直接计算33710P(3)C 0.2 0.80.2013 (2)用局部极限定理001knp132P(3)1.2651.265npqnpq 01(0.79)0.23081.265相差较大，这是因为n较小。n3

11、0一般要求精选ppt例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。500发炮弹中命中飞机的数目 服解：从二项分布n=500 p=0.01np5npq2.225(1)直接计算55495500P(5)C0.01 0.09 0.1763501knpP(5)npqnpq (2)用局部极限定理01552.2252.22501(0)2.2250.1793精选ppt(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布计算np5 查表得P5(5)=0.175467比用正态分布更精确正态分布与Poisson分布都是二项分布的极限分布。n 用正态分布要求：Poissonn,p0,np 用分

12、布要求：np(q)对 很大，或很小的二项分布(np5)用Poisson分布近似计算比用正态分布精确精选ppt实际应用更多的是积分极限定理废品数 服解：从二项分布n=10000p=0.005np50, npq7.0532N(50,7.053 )近似服从正态分布507050P(70)P7.0537.053 0(2.84) =0.9977例8 产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。精选ppt例9 已知一次试验中P(A)=0.75,分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算。(1)在1000次试验中，A发生的次数在700-800之间的概率。(2)n取多大时，才能使n

13、次重复独立试验中A出现的频率在0.740.76间的概率至少为0.9？(1)A发生的次数 服从解：二项分布n=1000p=0.75Enp750 Dnpq187.5 用切贝谢夫不等式计算P(700800)P(|750| 50) 2187.5150 =0.925精选ppt用正态分布计算P(700800)P(|750| 50) 75050P187.5187.502(3.65) 10.9997378 n(2) 次试验中A发生的次数 服从二项分布Enp0.75n Dnpq0.1875n 0.740.760.9要使Pn用切贝谢夫不等式精选pptP 0.740.76P(0.74n0.76n)n P(|0.75n| 0.01n)20.1875n1(0.01n) 18751n 0.9n18750故用正态分布P 0.740.76P(|0.75n| 0.01n)n0.75n0.01nP0.1875n0.1875n00.012n10.1875 0.90.01n1.640.1875n5043精选ppt例10