数学教案人教版七升八-11与三角形有关的线段和角

1、第十一讲 与三角形有关的线段和角教学内容暑期衔接版，七升八年级第十一讲“与三角形有关的线段和角”.教学目标知识技能1.结合具体实例，使学生掌握三角形边角关系定理及推论；并理解三角形的高、中线、角平分 线以及外角等概念及性质.2.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理能力和有条理地表达能力数学思考1.通过合作探索了解三角形边角关系的一些性质，培养学生抽象概括与观察类推的能力.2.以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习 积极性和主动性.问题解决1.运用三角形的有关知识解决相应的数学问题.2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程

2、和探索的结果.情感态度在解决与三角形有关的问题时，锻炼学生推理，归纳的能力.教学重点和难点教学重点三角形边角的关系，三角形的重要线段，三角形的内角和定理以及三角形的外角定理教学难点难点：三角形的重要线段的掌握.教与学互动设计动画多媒体语言课件第一课时教学过程:教学路径互动说明方案说明课题导入姚明是我国著名的篮球运动员，有同学知道姚明身高是多少吗？ （2米26）.这么高的个子，他的步子一定也很大，若姚明的腿长是1.28米，那么他一步能走3米吗？大豕讨论一下？出示启动性问题姚明腿长是1.28米，一步能走3米吗？字和图片右飞出，姚明上飞出.动画：地上给出一个刻度尺（3米长），一个人站在1.28米处（

3、两条腿上分别标出1.28米），下一步慢慢向下做劈叉动作，直到两条腿劈叉平（另一条腿在2.56米处）.尺子刻度上小亮：不能一步走3米.理由：把姚明的两腿和他的步伐看成一个三角形.根据三角形两边之和大于第三边可知他的步伐小于2.56米.所以姚明一步不能走3米.师：这位同学说的很好.这节课我们要复习跟三角形相关的知识.下面让我们回想一下关于三角形，我们都学过那些知识呢？展望：1.三角形的概念（适当居中）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.下一步出答案动画（按钮）：先出示三个点A、B、C,再把AB、BC、CA首尾顺次相接组成三角形下一页2.三角形的分类按角分：三角形按

4、边分：三角形下一页3三角形中的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、 三角形的角平 分线、三角形的高（1）（2）（3）说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的内 部；（2） 三角形的三条角平分线的交点在三角形的内 部；（3） 锐角 三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角 三角形的三条咼所在直线的交点在三角形的外部.下一步出答案下一页：4.三角形三边的关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条 线段能否组成三角形下一步出答案下一步：5.直角三角形的性质

5、与判定性质：直角三角形的两个锐角互余判定：有两个角互余的三角形是直角三角形老师要给 学生重点 讲解三角 形的中线，角平 分线，高 的概念师：前面我们学习了很多新内容，那下面让我们看看怎么利用这些 知识来解决问题.初步性问题探究类型之一 三角形的概念例1如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有 几个？分别写出这些三角形本题较简单，学生独立完成后汇报交流解析：按照一定的顺序数才能不重不漏答案：解：以BC为边的三角形有共4个.下一步：（动画把题干原图中的 四个三角形复制下来）ABC（动画出图），DBC（动画出图），EBC（动画出图），OBC（动画出图）；下一步以A为顶点的三角形有共3个.

6、下一步：（动画把题干原图中的三个三角形复制下来）ABE（动画出图），ADC（动画出图），ABC（动画出图） 师总结：找三角形时应按一定的规律，以边为线索找三角形或以角 为线索找三角形，体现了分类讨论思想探究类型之二根据三角形三边关系求边长例2一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形.（题分两步显示）（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？学生生独立计算，并请学生说说答案老师点评解析：题干“腰长是底边长的2倍”闪一闪变色框起来.动画画出下图：下一步：在上图下底处标出xcm，下一步：在两条腰处标出2xcm.课外小知学生独立完成学生独立答案：解：设底边长为xcm则腰长为2xcm.根据题意得

7、2x+2x+x=20解得x=4.答：各边长为4cm 8cm 8cm.(2)能围成有一边长为5cm的等腰二角形吗？如果能，请求出它的 另两边.师：一边长为5cm是等腰三角形的腰长还是底边长？ 提示：分两种情况来讨论1.腰长是5cm,2.底边长是5cm.师：那我们求出来的三边的长分别是多少呢？提示：一个是5cm,5cm,10cm一个是7.5cm,7.5cm，5cm.师：这这位同学说得对吗？提示：不对，其中5cm,5cm,10cm不能围成三角形.师：当我们求出三条线段的长后，记得还要判断一下这三条线段到 底能不能围成三角形.解析：题中没有指明5cm所在边是底边还是腰，故应该分情况进行讨论， 下一步注

8、意利用三角形三边关系进行检验.课件出示答案：解：当5cm为底边长时，腰长为7.5cm；下一步当5cm为腰长时，底边长为10cm,因为5+5=10,所以不能构成三角形，故舍去.下一步 故只能构成底边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm.完成提醒学生 最后要利 用三角形 的边角关 系来证明师总结：解此类问题时，首先要分类讨论，再根据三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形.探究类型之三利用三角形的三边关系证明不等关系例3如图，已知DABC内一点，求证：AB+ACBD+CD.师：通过观察图，要想证明线段的不等关系，我们利用什么来证明？ 提示：三角形的边角关系（三角形的任意两边的

9、和大于第三边） 师：说得很好，现在图中有2个三角形分别是厶ABC,BDC,你能 两个三角形中得到什么呢？提示：在厶ABC中,AB+ACBC.在厶BDC中,BD+CDBC.师：我们发现就目前这两个条件我们不能判断AB+AC与BD+CD的大小.那就需要我们再构造一个三角形？我们该如何来构造这个三角形呢？（方法不唯一）提示：1.延长BD,与AC相交于点E.2.延长CD与AB交于点F.师：接下来同学们自己动手做一做.学生独立解题，然后找学生说说 自己的证明过程，最后老师讲解具体的证明过程.课件出示解析：延长BD与AC相交于点E（动画），利用三角形的两边之和大于第 三边的关系进行证明.课件出示答案：延长

10、BD与AC相交于点E，如图.ABE、AECD涂色. AB+AEBD+DE，DE+ECDC,下一步 AB+AE+DE+ECDC+BD+DE.AB+ACDC+BD.师引导学生来分析 此题师提示学 生做辅助 线的方法学生补充讲解第二种证明方法师总结：“三角形的两边之和大于第三边”是证明不等关系的重要根据.师：前面我们研究怎么利用三角形三边的关系来解题下面再让我们来看看关于三角形的高，中线和角平分线的题师：下面让我们来做几道题来练一练呀.类似性问题1、41.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是()A.1，2，6B.2，2，4C.1，2，3D.2，3，4师：基础题，学

11、生独立完成此题，找学生说说解题思路.答案：D4.等腰三角形两边长分别为4cm,6cm则等腰三角形的周长为师：学生独立完成此题，找学生说说解题思路.解析：等腰三角形三边为：4cm,6cm, 6cm时，周长为16cm.下一步等腰三角形三边为：4cm,4cm, 6cm时，周长为14cm.答案：16cm或14cm.探究类型之四 三角形的高、中线和角平分线例4如图所示，已知AD,AE分别是ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm BC=10cm,ZCAB=90，求：学生独立师：通过读题，你们能得到什么有用的信息？提示：我们知道直角三角形ABC的三边长，AD丄BC, BE=EC.师：要求AD的长，我们

12、能怎么求呀？解析：题干“AB=6cm, AC=8cm BC=10cm,ZCAB=90。”下划线，然后用小手分别描出并标出各边的长度.下一步出示文字：用等积法求直角三角形斜边上的高.学生解答后汇报交流.答案：解：设斜边上的高是xcm.x10 x=x6X8解得x=4.8答：AD的长是4.8cm。下一页：例4如图所示，已知AD, AE分别是ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm BC=10cm,ZCAB=90，求：(2)AABE的面积；学生独立完成解答后，汇报交流.解析：题干“已知AD, AE分别是ABC的高和中线，”闪一闪框出 来，然后ABE涂色.SSBE=BEXAD=XBCXAD=X10X

13、4.8=12(cm).师：还有没有不同方法？提示：AE是三角形ABC的中线,就知道BE=AE，进而发现ABE的面积与厶AEC的面积相等，因此完成学生探求多种解法我们就发现厶ABE的面积 是厶ABC的面积的一半.师：一种直接根据三角形的面积公式来求，而另一种用等底同高的两三角形的面积相等来求剩下学生独立完成解题过程，找学生说说解题思路， 取后老师点评.下一页：例4如图所示，已知AD,AE分别是ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm BC=10cm,ZCAB=90，求：(3)AACE和厶ABE的周长的差.学生独立完成解答后汇报交流AECABE涂色(3)AEC和厶ABE的周长分别记为 CAAE

14、C和CSBE,贝UCAAEC-CAABE=AC+CE+AE- (AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm).师小结：(1) 理解掌握三角形的高、中线是解决本题的关键.(2) 利用面积关系求直角三角形斜边上的高.(3) 三角形的中线将三角形的面积等分.第二课时教学过程:教学路径互动说明方案说明上节课，我们学习了与三角形的边，中线，角平分线，高的性师引导学教案中课质，我们这节课要学习跟三角形有关的角的性质生分析题时划分只师：三角形的内角和是多少？是一个参提示：180 .考，教师探究类型之五三角形的内角和应该视自例5如图，在ABC中，BD和CE分别平分/ABC和/ACB.己情况而(1)若/A

15、BC=60，ZACB=70。，求/BOC的度数；疋.师：由题中的条件我们得到哪些信息？要想求/BOC我们需要知道哪些角的度数呢？学生先独立思考，然后同桌之间相互讨论，找学生说说自己分 析出来的条件提示：BD和CE分别平分/ABC和/ACB, 得到/OBC=ZABC, /OCB=ZACB.然后在BOC，根据三角形的内角定理就可以求出/BOC的 度数师：通过我们分析发现（2）, （3）就告诉我们/A的度数，我们还 可以利用（1）的思路来求/BOC的度数吗？学生分组讨论，然后找学生说说自己的思路，最后老师讲解.（1）解析：/BOC（图中标出）（下一步）180- （/1+ /2）（图中标出）（下一步）

16、180- （/ABC+/ACB）（图中标出）答案：标/OBC/OCB BD和CE分别平分/ABC和/ACB，/OBC=/ABC=X60=30,/OCB=/ACB=X70=35 .下一步标/BOC与上面两个角颜色不同/BOC=18O -（/OBC+/OCB）=180 -（30+35）=115;例5如图，在ABC中，BD和CE分别平分/ABC和/ACB.学生协作完成(2) 若/A=80,求/BOC的度数；(2)解析：解析：/BOC(图中标出)(下一步)180-(Z1+ Z2)(图中标出)(下一步)180 (/ABC+ZACB)(图中标出)180-(180ZA)答案： BD和CE分别平分ZABC和Z

17、ACB,ZOBC=ZABC,ZOCB=ZACB.ZOBC+ZOCB=(ZABC+ZACB)=x(180 -80 )=50.下一步| ZBOC=180O-50=130;例5如图，在ABC中，BD和CE分别平分ZABC和ZACB.(3) 若ZA=k，求ZBOC的度数(用含k的式子表示).解析：根据角平分线的疋义和二角形的内角和疋理求解即可答案：标ZOBCZOCB在ABC中，ZA=k,BD和CE分别平分ZABC和ZACB,ZOBC=ZABC,ZOCB=ZACB ZOBC+ZOCB=(ZABC+ZACB)=(180-k)=90 -k,师小结师引导学生分析题下一步标/BOC与上面两个角颜色不同/BOC=

18、180 -(90 -k)=90 +k.师总结：三角形的内角和为180。常用于计算角度或证明角之间的 数量关系或不等关系.探究类型之六直角三角形的性质与判定例6如图，已知AB/CD,EF与AB,CD分别相交于点E, F,/BEF与/EFD的平分线相交于点P,求证：EP丄FP.师：要证线线垂直的话我们可以怎么证？提示：根据垂直的定义来证.师：对呀，我们就可以证明/EPF=90 ,我们要证/EPF=90,我们可以怎么来证呢？我们是不是可以证明三角形EPF为直角三角形？提示：可以.那我们怎么证EPF为直角三角形呢？学生分组讨论，然后找每组汇报思想，最后老师讲解.EP丄FP/PEF+ZEFP=90/PE

19、F+ZEFP=(ZBEF+ZEFD)ZBEF+ZEFD=180AB/CD解析：AB/CD推出ZBEF+ZEFD=180答案：师引导学生分析问题需要老师 提点，学 生反复记 忆掌握的 内容证明：标/PEF/EFP AB/CD,/BEF+ZEFD=180 .又EP,FP分别是ZBEF,ZEFD的平分线，ZPEF=ZBEF,ZEFP=ZEFD,ZPEF+ZEFP=(ZBEF+ZEFD)=90 .下一步标ZEPFvZEPF+ZPEF+ZEFP=180, ZEPF=180 -(ZPEF+ZEFP)=180 -90=90,即EP丄FP.师总结：判断一个三角形是不是直角三角形，只需要证明这个三角形的两个内角

20、和是不是90.探究类型之七三角形的外角例7如图，在ABC中，ZABC的平分线和ZACD的平分线相交 于点E.分三个题出(1) 如果已知ZA=60,ZABC=50,求ZE的大小.(2) 如果已知ZA=70,ZABC=60,求ZE的大小.(3) 根据(1)和(2)的结论，试猜测一般情况下，ZE和ZA的大小关系，并说明理由.师：通过观察问题，我们发现(1) (2)其实是一样的，只是他们所 给的ZA和ZABC的度数不同.第三小问是在(1) (2)问的基 础上得到的，对于这道题我们只需要把(1)求出来师：要求ZE的度数，我们需要求出什么来呢？也就是我们可以从哪 几个角度出发呢？学生分组讨论，并找学生汇报

21、思想.提示：我们发现ZECD=ZE+ZEBC,我们只需要求出ZECD和发散思 维，探求 多种解法，重点 跟学生介 绍课件所 给出的答 案(因为学生不容 易想到)/EBC就可以了.提示：我们发现/E在三角形EBC中，我们就可以先求出/EBC和/BCE的度数师：同学们，分析的非常好，那接下来大家动手算一算吧，看看用你们的思路能求出 /E的度数吗？解析：根据三角形外角定理和角平线的定义来求解即可.课件出示答案：(1)标/ACDvZA=60,/ABC=50,/ACD=ZA+ZABC=110.下一步标ZEBC、ZDCEvEB平分ZABC，EC平分ZACD，ZEBC=ZABC=25,ZDCE=ZACD=5

22、5.vZDCE=ZEBC+ZE, ZE=ZDCE-ZEBC=55 -25=30 .(2)标ZACDvZA=70,ZABC=60,ZACD=ZA+ZABC=130.下一步标ZEBC、ZDCEvEB平分ZABC,EC平分ZACD,ZEBC=ZABC=30,ZDCE=ZACD=65vZDCE=ZEBC+ZE,ZE=ZDCE-ZEBC=65 -30=35 .(3)标ZEBC、ZDCE学生独立完成类似性问题猜测/A=2/E,下面说明理由： EB平分/ABC,EC平分/ACD,/EBC=ZABC,/DCE=ZACD.vZACD=/A+/ABC,/DCE=/EBC+/E,/DCE=ZACD=（ZA+ZABC

23、）=ZA+ZEBC.又ZDCE=ZEBC+ZE,ZA+ZEBC=ZE+ZEBC.ZE=ZA.师总结：求与二角形内角、外角有关的冋题首先要明确所求的角和 哪些三角形有密切的联系，特别是注意内角、外角平分线 之间的角度转换.师：前面我们讲怎么利用三角形来求角的度数，下面让我动手练练吧.类似性问题2.在厶ABC中，ZA=20,ZB=60,则厶ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形师：基础题，学生独立完成此题，找学生说说解题思路.解析：给出ABC（图），分别标出：ZA=20,ZB=60 .答案：D3.如图,AB/CD,AD和BC相交于点O,ZA=20,ZC0D=10

24、0,则ZC的度数为（）A.80B.70C.60D.50师：简单题，学生独立完成此题，找学生说说解题思路.答案：C5.已知如图，ABC中，/B的平分线和ABC的外角平分线交于 点D,若/A=90o,求/D的度数.师：1.学生可以分组讨论.每组指定一个组长，2.老师需要灵活控制讨论时间，指定组长说说小组讨论的成果.老师点评解析：根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可求解.答案：解：标/CBD、/DCE BD平分/ABC./CBD=ZABC.下一步vCD平分ABC的外角，/DCE=ZACE=(ZA+ZABC)=ZA+ZABC.vZDCE=ZCBD+ZD=ZABC+ZD，ZA+ZABC=ZABC+ZD，下一步.ZD=ZA=x90o=45 .补充习题：如图，ABC中，AD、BE、CF分别是ZBAC、ZABC、ZACB的 角平分线，AD、BE、CF交于O点.(1)若ZACO=40,求ZAOE的度数.解析：题干“若ZACO=40，求ZAOE的度数”下划线后，标出ZACO=40，ZAOE的标出 “？”ZAOEZABO+ZBAO(ABO涂色，同时标出这两个角)2ZABO+2ZBAO(同时标出这两个角)/ACB（同时标出这个角）| |答案：ABC中，CF是/ACB的角平分线，/ACO=40,/ACB=2/ACO=80,/BAC+ZABC=18080=100