四边形辅助线专题训练

1、一、和平行四边形有关的辅助线作法1 .利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,已知点O是平行四边形 ABCM对角线AC的中点，四边形OCD自平行四边形 求证:OE与AD互相平分.14 / 12说明：当已知条件中涉及到平行， 且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2 .利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在 ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED/AC, FG/AC交BC分另为 D, G.求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题3 .利用对角线互相平分构造平行四边

2、形例3如图3,已知AD>A ABC勺中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法 .二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5,在 ABC43, / ACB=90 , / BAC的平分线交 BC于点D, E是AB上一点，且 AE=AC EF/BC交AD于点F,求证：四边形 CDEF菱形.C EB例5 如图6,四边形ABC比菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证

3、EF+BF 的最小值等于DE长.A E B说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多, 常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种： （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股 定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问 题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少 .例6 如图7,已知矩形 ABCDJ一点，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的长.IB图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形， 又是

4、中心对称图形， 有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.1例7如图8,过正方形 ABCD勺顶点B作BE/AC,且AE=AC又CF/AE.求证：/ BCF=2 / D尸73匚AEB.、/.通过连接正方形的说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质 对角线构造正方形 AHBO进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题与中点有关的辅助线作法、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形.例1.已知：如图，AD为 ABC中线，求证： AB AC 2AD.类题1.已知：如图，AD为 ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC.

5、二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形例2.已知：如图，在 ABC中，C 90 ,M为AB中点，P、Q分别在AC BC上，且PM QM 于 M.求证：PQ2 AP2 BQ2.BD 于 D, CE AD 于类题2.已知： ABC的边BC的中点为N,过A的任一直线 ADE.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线.例3.如图， ABC中，H E分别为AR AC上点，且 BD=CE M N为BE、CD中点，连 MN交 AR AC于 P、Q 求证：AP=AQ1 一类题3.已知：如图，E、F分别为四边形 ABCD勺对角线中点，AB>CD求证：EF - AB C

6、D .2类题4 .如图, G是CE的中点;ABC中，AD是高，CE为中线，DG CE , G为垂足，DC=BE求证：（1） B 2 BCE.四、有底边中点,连中线，利用等腰三角形“三线合一”例4.已知：如图，在 Rt ABC中， BAC 90性质证题,AB=AC D为BC边中点，P为BC上一点，PF AB 于 F, PE AC 于 E.求证：DF=DE.类题5.已知：如图，矩形ABCDE为CB延长线上一点，且AC=CEF为AE中点，求证：BF FD .六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法ABCN, AD/ BC, ABBC , M为CD的中点.求证：AM=MB.类题6

7、.已知：梯形 ABCM, AB/ CD E为BC中点，EF AD于F.求证:S梯形ABCDEF AD .【作业】1、已知 ABC ADBE为等腰直角三角形，/ ABCW DBE=90 , A B、D在同一直线上， M N P分别是AD. AC DE边上的中点，试说明 MP与MN的关系并证明。2、如果上题中 A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结 论。C3、平行四边形 ABCD对角线相交于点 O P、E、F分别是AR OB OC的中点，AC=2AB 求证：PE=EF4、等腰梯形ABCD43,BC的中点。BC求证： EFM是等边三角形。BQ AC的中点。求证:5、如图

8、，在四边形 ABCD中，AB=CDMNf PQ互相垂直平分。M N、P、Q分别是AR BG6、如图，在4ABC中，E是AB的中点,CD平分/ ACB AD± CD垂足为点 D,求证：2DE=BC-AC7、BQ CE分别为乙ABC外角平分线, 关系。AML BD于 M, AN! CE于 N,探究 MlNf AB、BG AC 的附加题:(1)若将上题中BD改为/ ABC的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。(2)若BQ CE分别为/ ABC/ ACB的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、 证明)8、 ABC中，AB=AC / BAC=,在 AB AC上截取 AD AE,

9、且 AD=AE 连结 DE 如图 1 所示，则易证BD=CE如图2所示，将 ADE时针针旋转到如图所示位置，连结BQ CE(1)判断BD与CE的数量关系及BQ CE延长线所夹锐角的度数。BB(2)点G F分别是等腰 ABC等月ADE底边的中点，/ BACW DAE=，点P是线段CD 的中点，试探索/ GPFf 的关系，并加以证明。请解答下列问题:9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2)如图1,在 ABC中，AB=AC点D在BC上，且CD=CA点E、F分别为 BC AD的中点, 连接EF并延长交AB于

10、点G.求证：四边形 AGE%等邻角四边形；(3)如图2,若点D在 ABC的内部，(2)中的其他条件不变，EF与CD交于点H.图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.顺次连结 EF, FG, GH HE1、在四边形 ABCN, E,F,G,H分别是AB, BC CD DA的中点,(1)请判断四边形 EFGH的形状，并给予证明；(2)试添加一个条件，使四边形EFGH菱形，并说明理由。2、如图，在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD点M,N,P,Q分别是 AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ1矩形.小结：中点四边形：对角线的四边形的中点四边

11、形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 .(2)顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 .(3)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 .)(4)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 .(5)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是(A矩形B.直角梯形C菱形 D.正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池， 使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的

12、形状一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边中点， 得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是 ()平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.B.C.D.4、顺次连接四边形 ABCD边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCE定是A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.如图，在梯形 ABCD43, AB/ CD AD=BC点E,F,G,H分别是 AB,BC, CD DA的中点，则 下列结论一定正确的是().A. ZHGF = ZGHE B. / GHE = / HEFC. ZHEF = ZEFG D. / HGF = / HEF6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到1,则第n个矩形的面积第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形 ABCD可以是.8、如图，点E、F、GH分别是任意四边形ABCDARBQBGCA的中点，当四边形 ABCD的边至少满足 条件时，四边形 EFGH菱形.9、如图,四边形ABCD43 ,AC=a,BD=b,且ACLBD,顺次连接四边形 ABC陷边中点，得到四边形ABQDi,再顺次连接四边形 ABCiDi各