高中数学《数列的概念》学案18北师大版必修5

1、用心爱心专心1数列的概念知识概要: 1 1 数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.(1)数列的一般形式可以写成ai,a2, ,an,|,简记CaJ，其中a.是数列的第n项；(2) 数列可看成是定义域为N*或N*的子集(子集中的自然数必须连续)的特殊函数，研 .究数列可联系函数的相关知识进行.2.2.通项公式： 如果数列:an/的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示来表 达，那么这个公式就叫做通项公式记为anf(n) (nN*)，特别说明：并非每一个数列都可以写出公式，通项公式一般是不唯一的.3 3数列的前n项和：数列的前n项和用Sn表示，&二 6 a? a.,Sn与通项a

2、n的基本关系是4 4数列的分类：(1) 按项分类：有穷数列(项数有限) ；无穷数列(项数无项)；(2) 按an的增减分类：(i) 递增数列：-nN，总有an 1 an；(ii)递减数列：一n N,总有an 1=an；(iii)摆动数列：-k,l N*，有ak1 ak，也有alal，例如-1,2,-4,6,2, -1,0| I；(iv)常数数列：-nN,an 1an；(v v )有界数列：存在正整数M使| anM；(vivi)无界数列：对任意正整数M总存在an使| an| M.5 5递推数列：如果已知数列:an ?的前一项(或前几项)，且任意一项an与它的前一项anj(或 前几项)间的关系可以用

3、一个公式来表示，则这个数列叫递推数列， 这个公式叫这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要.方式.例题解析： 例 1 1 已知数列：an的通项公式是an= n2-5n 4.(1 1)数列中有多少项是负数？ (2 2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.分析：数列的通项公式an= n2-5n，4可看成f(n)=n2-5n 4,(nN*)，利用二次函 数的性质解决问题.解：(1 1 )由n2-5n 4：0，解得1：n：4，:n N*n = 2或3，数列有两项是负数;i 519an= n2_5n +4 = n _ J_，可知对称轴I 2丿4公式)I Sn = 1an二、Sn- Snn乏2

4、重要公式(求通项(2)用心爱心专心2n，N , n=2或3时，an有最小值，为a2= -2.义域为正整数这一约束条件.例 2 2 在数列 中，1 =10 1匸 ，求an.1 +nan小结：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,用函数的有关知识解决问题时，要考虑定用心爱心专心3索问题的方法在解决数列问题中常用到.例 4 4 已知数列:a/f的通项公式4口3耳二cn，且a2,a43隶，求a10.n22d32c11丄2所以ann ,解:由题意得22c =_解得4则4cd：L43d = 24n2解:原式可化为1 1n5所以an 11111III,111J1-=1 J2-=n - 3.,1a2a1aa3

5、aa2anani_31相加得1 1=1 2 3 |(n -1),所以an -2- 2 .ana1n -n 2小结：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列史，常用迭加、迭代、迭乘，还应注意变形式是否是等差（或等比）数列，注意观察由递推公式写出的数列的前几项的特征，以便猜想归纳数列的通项公式.例 3 3 有一数列曲,a,an1纽，写出这个数列的前 4 4 项，并根据前 4 4 项观察1+an规律，写出该数列的一个通项公式.2a2a解：由q = a及递推公式an 1，有a21 +an182a1 a4a8a2a21 a4a1 a2i . 2a 1 3a1 a2a3 =1 3a1 as1.4a1 3a

6、8a1 7a观察规律：a；a形式，其中x与n的关系可由心，2,3,4得出x”，而y比x小所以an2na1 (2n -1)a小结：从特殊的事例，通过分析、猜想、归纳、抽象总结出一般规律，再进行证明，这种探分析：将递推1 1,用心爱心专心4例 5 5 已知:an的前n项和Sn满足Iog2（1 Sn）二n 1，求数列的通项公式.分析：这是一个已知数列的前n项和求通项公式的问题，应先解对数方程求&，然后用解：由Iog2(1 Sn) = n 1，得1 Sn=2n，所以Sn=2n 1-1,印，得q =3,n 1nn n n又an=Sn-Snj=(2-1)-(2 -1) = 2 2 -2 =2, 例

7、 6 6 已知数列 牯的前n项和为n2+pn，数列bn的前n项和为3n22n，若ao =ob求p的值.解：对于:a,an= Sn-Sn=(n2pn) -(n -1)2p(n -1) =2n - 1 p,所以a1o=19 p,对于、bn,bn = 5 - Sn /=(3n-2n)- 3( n -1)-2(n -1)=6n - 5，所以Do = 55,又a二。，即19 p =55，所以p =36.课后练习:1 1.数列：aj中，a1,对于所有的n 2,nN*都有印a?曰3山6 = n2，则a? 二311512 2.数列 *、an匚中，a1- 1,a - 3,a - an 4,( n - 3)，则a

8、 -()and55123.3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）27a10二1013所以aA 61162592516用心爱心专心5n2近似地满足 & = (21n-n2-5),(n二1,2，川,12)，按此预测，在本年度内，需求量超90过 1 1 . 5 5 万件的月份是()A5 5、6 6 月D8 8、9 9 月4.4.若数列 GnGn 前 8 8 项的值各异，遍数列前 8 8 项值的数列是AD：a6k 1匚5 5设an =n n2+10n +11，则数列(an从首项到第 _项的和最大.()D12126 6设an?是正项数列，其前n项和为S

9、n，并且对-nN*,a.与 2 2 的等差中项等于Sn与 2 2 的等比中项，写出此数列的前 3 3 项_ 、_、_ .7 7.已知an二nf2000，且共有 100100 项，则此数列中最大项为第叽 最小项n- .2001为第_ 项.& &根据下列 5 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有 _ 个点.(1(1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)9.9.已知正项数列a中，Sn表示前n项和，且2= an1，求a.10.10. 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：二an对于-nN都成立，则下列数列中，能取且an 8Ca4 k 1A1010B1111C1010 或 1111用心爱心专心6(1 1)3,5,9,17,33,；(2 2)上,10,；(3 3)3 15 35 63 992, -6,12, -20,30, -42,.111