圆知识点总结及归纳

1、第一讲圆的方程（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）标准方程222(xa)+(yb)=r(r>0)圆心：（a,b），半径：r一般方程22x+y+Dx+Ey+F=022(D2+E24F>0)圆心：（-号,E）,半径：吉/d2+E24F1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程（xa）2+（yb）2=r2展开并整理得x2+y22ax2by+a2+b2r2=0,取D22222=2a,E=2b,F=a2+b2r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0.（2）将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通过配方后得到的方程为：D2E2D2土E4F（x+2）

2、+（y+2）=4 当D2+E24F>0时，该方程表示以（D2,）为圆心,D2+E24F为半径的圆;22DE一DE 当D+e4F=0时，方程只有实数解x=2,y=2，即只表示一个点（一2,?）；当D2+E24F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1,没有xy的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（二）点与圆的位置关系点M(xo,yo)与圆(xa)2+(yb)2=r2的位置关系:(1) 若M(xo,y°)在圆外，贝V(xoa)2+(y°b)2>

3、r2.(2) 若M(xo,y"在圆上，贝(xea)J(yob)=r2(3) 若M(xo,yo)在圆内，贝V(xoa)2+(yob)2<r2.（三）直线与圆的位置关系方法方法（四）圆与圆的位置关系1外离2外切3相交4内切5内含(五) 圆的参数方程(六) 温馨提示1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:22(1) B=O;(2)A=C工0(3)D2+E24AF>O.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算.(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2) 圆心在任一弦的中垂线上.(3) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.3、中点坐标公

4、式：已知平面直角坐标系中的两点A(xi,yi),B(X2,y2)，点M(x,y)是线段AB的中点，则x=点，则x=X1x22yiy2、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法222，半径是，半径是x，ai亠iy，bmm=0的圆心是【例2】点(1,1)在圆(xa)2+(y+a)2=4内，贝V实数a的取值范围是()A.(1,1)B.(0,1)C.(_8,1)U(1,+)D.(1,+)【例3】圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.22x2+(y2)2=122B.x2+(y+2)21C.(x1)2+(y3)2=122D.x2+(y3)21【例4】圆(x+2)+y5关于原点P(0,0

5、)对称的圆的方程为()A.(x2)2+y2522B.x2+(y2)25C.22(x+2)2+(y+2)2522D.x2+(y+2)25【变式1】已知圆的方程为x-1x-2y-2y4=0，则圆心坐标为2o【变式2】已知圆C与圆(x1)+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+y-72=1B.(x2)2+(y1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x-22+(y-1)2=1【变式4】已知ABC的顶点坐标分别是A-1,5,B5,5,C6,-2，求ABC外接圆的方程方法总

6、结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r的方程组.2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.考点二、有关圆的一般方程的求法【例1若方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是()“1A.4vmv1“1A.4vmv1B.mv4或m>1C.mv寸D.m>1【例2】将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0【例3】圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为.【变式1已知点P是圆C:x2y24xay-0上任意一点，

7、P点关于直线2xy0的对称点也在圆C上，则实数a=【变式2】已知一个圆经过点A3,1、B-1,3，且圆心在3x-y-2=0上，求圆的方程【变式3】平面直角坐标系中有A0,1,B2,1,C3,4,D-1,2四点，这四点能否在同一个圆上?为什么？【变式4】如果三角形三个顶点分别是0(0,0),A(0,15)，B(8,0),贝陀的内切圆方程为方法总结:1 利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D,E,F的方程组.2 熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()2222Ax2+y2=32Bx2

8、+y2=16C.(x1)2+y2=16Dx2+(y1)2=16【例2】方程y=725一x2表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆【例3】在ABC中，若点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是()A.x2y2=3B.x2y2二42222C.xy=9y=0D.xy=9x=0方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常1【例4】已知一曲线是与两个定点0(0,0),A(3,0)距离的比为空的点的轨迹求这个曲线的方程，并画出曲线.【变式1】方程|x1=Jl_(y_1$所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆

9、【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2+y2=32Bx2+y2=16C.(x1)2+y2=16Dx2+(y1)2=16【变式3】如右图，过点M(6,0)作圆C:x2+y26x4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹.【变式4】如图，已知点A(1,0)与点B(1,0),C是圆诃才一Rx2+y2=1上的动点，连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|，求的交点P的轨迹方程.采用以下方法：(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简.(2) 定义法：根据直线、圆等定义列方程.(

10、3) 几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.考点四：与圆有关的最值问题【例1】已知圆x2+y2+2x4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则ab的取值范围是22y2【例2】已知x,y满足x2+y2=1,则一的最小值为.x1【例3】已知点M是直线3x+4y2=0上的动点，点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点，贝V|MN|的最小值是()9413A.5B-1C.5D.亏【例4】已知实数x,y满足(x2)2+(y+1)2=1则2xy的最大值为，最小值为【变式1】P(x,y)在圆C:(x1)2+(y1)2=1上移动，则x2+y2的最小值为.【变式2】由直线y=x+2上的点P向圆C:(x4)2+(y+2)2=1弓I切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()A(1,1)B(0,2)C.(2,0)D.(1,3)【变式3】已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2+y22x=0上任意一点，则ABC面积的最小值是.【变式4】已知圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在x+y2=0上.(1) 求圆M的方程；(2) 设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用