(完整版)二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦

1、1二次函数图像及性质知识总结二次函数概念一般地，形如yax义域是全体实数，图像是abxc(a,b,c是常数，a0)的函数，叫做二次函数。定抛物线解析式.、一2b、c为0时yax2b为0时yaxc.l、ri-rL21b、c不为0时yaxbxca0 开口向上.向上向上a0 开口向下向下向下对称轴y 轴y 轴bx2a图顶点坐标0,00,cb4acb22a4aa0 时 y有最小值X=0.时y最小值等于0X=0,时丫最小值等于c2当x爵时。y有最小值.像a0 时 y有取大值X=0.时y最大值等于0X=0,时Y最大值等于c2当x爵时，y有最大值0.的 性质a0 时开口向上x0 时，y 随x的增大而增大；x

2、0 时，y 随x的增大而减小；x0 时，y 有取小值 0.当x孑时，y 随x的增大而减小；当x；时，y 随x的增大而增大a0 时开口向下x0 时，y 随x的增大而减小；x0 时，y 随x的增大而增大；x0 时，y 有最大值 0当x孑时，y 随x的增大而增大；当x；时，y 随x的增大而减小图 像画法利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的父点x,0,X2,0(若与x轴没他点，贝U取两组关于对称轴对称的点).

3、圆草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与 y 轴的交点.解 析式 的表 示及 图像 平移221.一般式：yaxbxc2.顶点式：ya(xh)k3.两根式：ya(xxi)(xx?)2.、一一、.，2.平移将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k；在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”1yax2bxc沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，yax2bxc变成yax2bxcm(或yax2成cm)2二次函数y=ax2及其图象一、填空题1.形如的函数叫做二次函数，其中是目变量，a,b,c是且丰0.2.函数y=

4、x2的图象叫做，对称轴是，顶点是.3.抛物线y=ax2的顶点是，对称轴是.当a0时，抛物线的开口向;当av0时，抛物线的开口向.4.当a0时，在抛物线y=ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而，而在对称轴的右侧，y随x的增大而;函数y当x=时的值最.5.当av0时，在抛物线y=ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而，而在对称轴的右侧，y随x的增大而;函数y当x=时的值最.6.写出卜列二次函数的a,b,c.(i)y3xx2a=,b=,c=.(2)y=x2a=,b=,c=.(3)y1x25x10a=,b=,c=.2(4)y126-xa,b=,c=.7.抛物线3y=ax2,1a|越大则抛物线的开口就,I

5、a|越小则抛物线的开口就8.二次函数y=ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.rDr/(1) y=2x2如图()；(2) y1x2如图()；2(3) y=x2如图()；(4) y1x2如图()；3(5) yx2如图()；9(6) y1x2如图().9329.已知函数y-x,不圆图象，回答下列各题.2(1)开口方向;(2)对称轴;(3)顶点坐标;(4)当x0时，y随x的增大而;(5)当x时，y=0;(6)当x时，函数y的最值是310.画出y=2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值.11.在下列函数中y=2x2；y=2x+1;y=x;y=x2,回答：(1)

6、的图象是直线，的图象是抛物线.(2)函数y随着x的增大而增大.函数y随着x的增大而减小.(3)函数的图象关于y轴对称.函数的图象关于原点对称.(4)函数有最大值为.函数有最小值为.12.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数).(1)若它是二次函数，则系数应满足条件.(2)若它是一次函数，则系数应满足条件.(3)若它是正比例函数，贝U系数应满足条件.213.已知函数y=(m2-3m)xmm的图象是抛物线，则函数的解析式为,抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，开口.214.已知函数y=mxm+(m2)x.(1)若它是二次函数，则m=,函数的解析式是象限.(2)若它是一次函数，则m=,函数的

7、解析式是象限.17.在二次函数y=3x2;y2x2;y4x2中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表33示应该为()A.B.C.D.18.对于抛物线y=ax2,下列说法中正确的是()A.a越大，抛物线开口越大B.a越小，抛物线开口越大C.|a|越大，抛物线开口越大D.|a|越小，抛物线开口越大19.下列说法中错误的是()A.在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0B.在函数y=2x2中，当x0时y随x的增大而增大C.抛物线y=2x2,y=x2,y1x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=x2的开口最2,其图象是一条,位于第,其图象是一条,位于第15.已知函数y=mxmm,则当m=时

8、它的图象是抛物线；当m=时，抛物线的开口向上；当m=二、选择题16.下列函数中属于一次函数的是A.y=x(x+1)时抛物线的开口向下.()，属于反比例函数的是(B.xy=1)，属于二次函数的是()C.y=2x22(x+1)2D.yJ3x214大D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点三、解答题一2C 一 C20.函数y=(m-3)x为二次函数.(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象.21.抛物线y=ax2与直线y=2x3交于点A(1,b).(1)求a,b的值；(2)求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交

9、点B,C的坐标(B点在C点右侧);(3)求OBC的面积.22.已知抛物线y=ax2经过点A(2,1).(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C,使ABC的面积等于OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标;若不存在，请说明理由.5I.y=ax2+bx+c(a乒0),x,常数，a.2.抛物线，y轴，(0,0).3.(0,0),y轴，上，下.4.减小，增大，x=0,小.5.增大，减小，x=0,大.6.(1)1,J3,0.(2),0,0,1_1cC(3),5,10,(4)-,0,6.237.越小，越大.8.(1)D,(2

10、)C,(3)A,(4)B,(5)F,(6)E.9.(1)向下，(2)y轴.(3)(0,0).(4)减小.(5)=0(6)=0,大，0.10.略.II.(1)、；、.(2)；.(3)、；.(4)，0;，0.12. (1)a乒0,(2)a=0且b丰0,(3)a=c=0且b乒0.13. y=4x2;(0,0);x=0;向上.14. (1)2；y=2x2；抛物线；一、二，(2) 0;y=2x;直线；二、四.15. -2或1;1;2.16. C、B、A.17.C.18.D.19.C.20.(1)m=4,y=x2；(2)m=1,y=4x2.21.(1)a=1,b=1;(2)B(W22).C(&2)

11、;(3) S8BC=22.22.(1)y1x2;(2)B(2,1);(3)S8AB=2;4121121设C点的坐标为(m,m),则一4|m1|2.则碍mT6或mv2.4242.C点的坐标为(J6,3),(而3),(J2,),(V2,1).22226二次函数y=a(xh)2+k及其图象y=ax2的顶点坐标为，对称轴为.y=ax2+c的顶点坐标为，对称轴为.y=a(xm)2的顶点坐标为，对称轴为.12.(m-)xmm是二次函数，贝Um=.23.抛物线y=2x2的顶点，坐标为，对称轴是.当x时，y随x增大而减小；当x时，y随x增大而增大；当x=时，y有最值是4.抛物线y=2x2的开口方向是,它的形状

12、与y=2x2的形状对称轴是.5.抛物线y=2x2+3的顶点坐标为，对称轴为.当x时，y随x的增大而减小；当x=时，y有最值是，它可以由抛物线y=2x2向平移个单位得至上6.抛物线y=3(x-2)2的开口方向是，顶点坐标为随x的增大而增大；当x=时，y有最值是平移个单位得到.二、选择题8.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是三、解答题一、填空题1.已知a丰0,(1)抛物线(2)抛物线(3)抛物线2.若函数y7.要得到抛物线A.向 上 平移B.向下平移C.向右平移y(x4)2，可将抛物线y-x334个单位4个单位4个单位4个单位2(当x时，yy=3x2向,它的顶点坐标是A.y=2x2与y

13、=3x2B.C.y=2x2与y=x2+2D.9.顶点为(一5,0),且开口方向、形状与函数yA.C.1(x313(x25)5)21x2y=x2与y=x22-x2的图象相同的抛物线是(312x313(x2与y2x25)210.在同一坐标系中画出函数yi3,y223和V31x2的图象，并说明2yi,y2的图象与函7数y-x2的图象的关系.28yi=2x2,V2=2(x2)2与V3=2(x+2)2的图象，并说明y2,y3的图象与填空题12.二次函数y=a(xh)2+k(a丰0)的顶点坐标是，对称轴是，当x=时，y有最值;当a0时，若x时，y随x增大而减小.13.填表.解析式开口方向顶点坐标对称轴y=

14、(x-2)2-3y=(x+3)2+2y1(x5)252152y3(x刃1y=3(x-2)2y=3x2+21214.抛物线y(x3)1有取点，其坐标是.当x=时，y的取值是2;当x时，y随x增大而增大.15.将抛物线y1x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为.3选择题11.在同一坐标系中，画出函数yi=2x2的图象的关系.916.一抛物线和抛物线y=2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(一1,3),则该抛物线的解10析式为()A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2+3C.y=(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+317.要得到y=-2(x+2)2-

15、3的图象， 需将抛物线y=2x2作如下平移()A.向右平移2个单位，再向上平移3个单位B.向右平移2个单位，再向下平移3个单位C.向左平移2个单位，再向上平移3个单位D.向左平移2个单位，再向下平移3个单位解答题18.将下列函数配成y=a(x-h)2+k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值.(1)y=x2+6x+10(2)y=-2x2-5x+7(4)y=-3x2+6x2(6)y=(x-2)(2x+1)19.把二次函数y=a(xh)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数12一八y(x1)21的图象.2(1)试确定a,h,k的值；(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开

16、口方向、对称轴和顶点坐标.(3)y=3x2+2x(5)y=100-5x2111.(1)(0,0),y轴；(2)(0,c),y轴；(3)(m,0),直线x=m.2.m=13.(0,0),y轴，xv0,x0,0,小，0.4.向下，相同，(0,0),y轴.5.(0,3),y轴，xv0,0,小，3,上，3.6.向上，(2,0),直线x=2,x2,2,小，0,右，2.7.C.8.D.9.C.一，一12,10.图略，y，y2的图象是y-x的图象分别向上和向下平移3个单位.211.图略，y2,y3的图象是把y的图象分别向右和向左平移2个单位.12. (h,k),直线x=h;h,k,x0,y=0,yv0；13

17、(8)当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？(9)当y取何值时，一4vxv0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.14填空题13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a乒0).(1)若抛物线的顶点是原点，贝U(2)若抛物线经过原点，则(3)若抛物线的顶点在y轴上，则;(4)若抛物线的顶点在x轴上，贝U.14.抛物线y=ax2+bx必过点.15.若二次函数y=mx23x+2mm2的图象经过原点，则m=，这个函数的解析式是.16.若抛物线y=x24x+c的顶点在x轴上，贝Uc的值是.17.若二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,贝Ua=.18.函数y=x24x+3的图象的顶点及

18、它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为平方单位.19.抛物线y=ax2+bx(a0,b0)的图象经过第象限.选择题A.a0,c0,b24acv0B.a0,cv0,b24ac0C.av0,c0,b24acv0D.av0,cv0,b24ac022.A.B.C.D.a0,bv0,b0,bv0,已知二次函数y=c0c0cv0cv0ax2+bx+c的图象如右图所示，贝U(20.抛物线y=ax2+bx+c(a乒0)的图象如下图所示，那么()1523.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，贝U()16A.b0,c0,=0B.bv0,c0,=0C.bv0,cv0,=0D.b0,c0,024.

19、二次函数y=mx2+2mx-(3m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是()A.m0B.m3C.mv0D.0vmv325.在同一坐标系内，函数y=kx2和y=kx2(k乒0)的图象大致如图()解答题27.已知抛物线y=x2-3kx+2k+4.(1) k为何值时，抛物线关于y轴对称;(2) k为何值时，抛物线经过原点.一.123,28.圆出yxx的图象，并求:26.函数y1axuabb,y2(abv0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是(21722i3(1)顶点坐标与对称轴方程；(2) x取何值时，y随x增大而减小？x取何值时，y随x增大而增大？(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值

20、是多少(4) x取何值时，y0,yv0,y=0?(5)当y取何值时，一2xy2；yi=y2；yivy2.30.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分；图象过点A(3,0),对称轴为x=i,个结论：b24ac;2a+b=0;ab+c=0:5avb.其中正确的是序号)=ax2+给出四_.(填4953；,(；,0)、(10)(0,5)X-,x8243.(-1,4),(一3,0)、(1,0),(0,3).4.y=(x-2)2+1,低,(2,1).5.2,7,xA2,x2/7.6.土2.7.右，3,上，4.8.D.9.B.10.B.11.C.12. (1)y=2(x+1)28;(2)开口向上，

21、直线x=1,顶点(一1,8);(3)与x轴交点(一3,0)(1,0),与y轴交点(0,6);(4)图略；(5)将抛物线y=x2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y=2x2+4x6的图象;(6) xv1;(7)当xv3或x1时，y0;当x=3或x=1时，y=0;当一3vxv1时，yv0;(8) x=1时，y最小值=8;(9) 81,xv1；x=1,y最大=2;4一1vxv3时，y0;xv1或x3时yv0;x=1或x=3时，y=0;55y2.229. (1)y=x2+2x+3,V2=3x+1.(2)当一2vxv1时，y1y2.2当x=-2或x=1时，y=y2.3当xv2或x1时yvy2.30

22、.二次函数的图像和性质习题精选1.二次函数yax2的图像开口向,对称轴是,顶点坐标是,图像有最点，x时，y随x的增大而增大，x时，y随x的增大而减小。x2,y3x2的图像，下列说法中不正确的是（B.对称轴相同C.图像形状相同D.最低点相同3.两条抛物线yx2与yx2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A.顶点相同B.对称轴相同C.开口方向相反D.都有最小值4.在抛物线yx2上，当yV0时，x的取值范围应为（）A.x0B.xv0C.x丰0D.x0C.两条抛物线各自关于y轴对称D.两条抛物线没有公共点6.抛物线y=bx2+3的对称轴是,顶点是。7.抛物线y=一（x2）24的开口向，顶点坐标,对

23、称轴,x时，y随x的增大而增大，x时，y随x的增大而减小。8.抛物线y2（x1）23的顶点坐标是（）A.（1,3）B.（1,3）C.（1,3）D.（1,3）9.已知抛物线的顶点为（1,2）,且通过（1,10）,则这条抛物线的表达式为（）22C.y=3(x1)2D.y=3(x1)2、一122.关于y-x,yA.顶点相同5.对于抛物线yx2与y2x下列命题中错误的是（A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称22A.y=3(x1)-2B.y=3(x1)+210.二次函数yax2的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为()22A.y=a(x2)+3B.y=a(x2)-3

24、22C.y=a(x2)+3D.y=a(x2)311.抛物线yx24x4的顶点坐标是()A.(2,0)B.(2,-2)C.(2,-8)D.(-2,-8)12.对抛物线y=2(x2)2-3与y=-2(x2)2+4的说法不正确的是()A.抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反13.函数y=ax2+c与y=ax+c(a丰0)在同一坐标系内的图像是图中的()cn14.化yx24x3为y=x24x3为ya(xh)2k的形式是,图像的开口向,顶点是,对称轴是O15.抛物线y=x24x1的顶点是,对称轴是。16.函数y=1x2+2x5的图像的对称轴是()2A.直线x=2B.直线a=2C.直线y=2D.直线x=417.二次函数y=x32x1图像的顶点在（）A.