线性代数A模拟卷

1、,011654321A654321A1054221B1.设设2.设设4维向量维向量=(1,2,0,-3)T, =(2,-1,5,0)T,则则与与的的内积内积( (,)=)= , , 夹角夹角 = . .3.3.设矩阵设矩阵4 4. . 1 1,2 2,3 3,4 4均为均为3 3维向量，则向量组维向量，则向量组1 1,2 2,3 3,4 4必线性必线性 关关. .线性代数线性代数A模拟试卷一模拟试卷一一、（一、（15分）填空题：分）填空题：则则|A|= , A*= ,A-1= .初等矩阵初等矩阵P满足：满足：AP=B,则则P= . 2R x222142,3,1 5xxxxx21,x x中的基中

2、的基到基到基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 . .5.332211332211332211zczczcybybybxaxaxaD123123123123123123aaaxxxDbbbyyyccczzz332213322133221332213322133221zczczybybyxaxaxzczccybybbxaxaaD321321321321321321321321321cczbbyaaxczcbybaxazccybbxaaD1.设设3阶行列式阶行列式(A) (B) (C) .二、（二、（15分）选择题：分）选择题：，则（，则（ ）.2.设矩阵设矩阵A的秩的秩R(A)=r,则（则（ ）.(A)A

3、中只有一个中只有一个r阶子式不为零，其余的阶子式不为零，其余的r阶子式全为零；阶子式全为零；(B) A中存在一个中存在一个r阶子式不为零，其余的阶子式不为零，其余的r+1阶子式（若有）全为零；阶子式（若有）全为零；(C) A中所有的中所有的r阶子式均不为零，而高阶子式全为零阶子式均不为零，而高阶子式全为零.23213213211aaxxxaxaxxxxax4.4.设设 向量组向量组1 1,2 2, ,，s s线性相关，则线性相关，则（ ）.(A)(A) 1 1一定可由一定可由2 2,3 3, ,，s s线性表示；线性表示；(B)(B) 1 1一定不可由一定不可由2 2,3 3, ,，s s线性

4、表示；线性表示；(C) (C) 其中至少有一个向量可由其余其中至少有一个向量可由其余s-1s-1个向量线性表示个向量线性表示. .3. 设线性方程组设线性方程组有唯一解，则（有唯一解，则（ ）.(A)a=1;(B)a=-2;(C)a1且且a-2.5.n阶方阵阶方阵A与对角阵相似，则与对角阵相似，则（ ）.(A)A有有n个不同的特征值；个不同的特征值；(B) A有有n个相同的特征值；个相同的特征值；(C) A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.四、四、（16分）设向量组分）设向量组1 1=(1,2,3,4)=(1,2,3,4)T T, , 2 2=(2,3,4,5)=(2,3,4,5

5、)T T, , 3 3=(3,4,5,6)=(3,4,5,6)T T, , 4 4=(4,5,6,7)=(4,5,6,7)T T, ,求由求由1, 2, 3, 4的生成的的生成的向量空间向量空间L的维数的维数及一组基，及一组基，并求其余向量在这组基下的坐标并求其余向量在这组基下的坐标. .123123123(2)2212(5)4224(5)1xxxxxxxxx 六、（六、（18分）设二次型分）设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3.1.写出写出f的矩阵；的矩阵；2.求求A的特征值与特征向量；的特征值与特征向量；3.用正交变换用正交变换X=QY将将f化为标准形，并写出正交矩阵化为标

6、准形，并写出正交矩阵Q.三、（三、（14分）设分）设n维向量维向量T=(1/2,0,0,1/2),又又A=E-T, B=E+2T,其中其中E为为n阶单位矩阵，求阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出并写出A-1与与B-1的具体形式的具体形式.五、（五、（14分）分）为何值时为何值时,下列下列线性方程组有解线性方程组有解?若有解若有解,求出全部解求出全部解.七、（七、（8分）证明：若为分）证明：若为A正交矩阵，则正交矩阵，则A的伴随矩阵的伴随矩阵A*也为正交矩阵也为正交矩阵.000000112301AOOAHOBOCOO1.在在4阶行列式阶行列式detaij中，含有因子中，含有因子a11a3

7、2的项有：的项有： .3.3.设设A,B,CA,B,C为可逆矩阵，分块矩阵为可逆矩阵，分块矩阵4.4. 用矩阵形式表示二次型用矩阵形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,f= .A模拟试卷二模拟试卷二一、（一、（15分）填空题：分）填空题：2. 矩阵矩阵, 则则H-1= .的秩的秩= .5.R4的子空间的子空间V=(x1,x2,x3,x4)T|x1+x2+x3+x4=0的维数的维数= ,一组基为一组基为 .12/333/2123/12/11391)23(3)32(12312111010101010103)2(33)2()2(2132321321xbaaxxbxaxx

8、xx1.设设=(1,2,3)=(1,2,3)T T, =(1,1/2,1/3)T,A=T T,则则A10=（ ）.;(C) 2.设设线性方程组线性方程组( (A)aA)a=b0;(B) a0=b0;(B) a0且且ab;(C)aab;(C)a=b=0.=b=0.二、（二、（15分）选择题：分）选择题：（A）310; (B) 有无穷多组解，则（有无穷多组解，则（ ）.3131abA,32;32;32,3000200013. 向量组向量组1 1,2 2, ,，s s线性无关的充要条件为（线性无关的充要条件为（ ）. .(A) (A) 1 1不能由不能由2 2,3 3, ,，s s线性表示；线性表示

9、；(B)(B)1 1,2 2, ,，s s的秩小于的秩小于s s；(C) (C) 1 1,2 2, ,，s s的秩等于的秩等于s. s. 为正交矩阵，则（为正交矩阵，则（ ）. .b=(B) a=b=(B) a=b=5.5.设设3 3阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵(A)A-1有特征值有特征值1，2，-3；(B) A+E有特征值有特征值2,3,-2；(C) A2有特征向量有特征向量1,2,-3 4.设设(A)a=(C) a=b=0.相似，则（相似，则（ ）.0001001302151021A2263485326452432143214321xxxxxxxxxxxx120210002三、三、（

10、18分）设分）设矩阵矩阵, ,试求试求1.|A|;2.A1.|A|;2.A-1-1;3.|A;3.|A4 4|.|.五、五、（16分）设向量组分）设向量组1 1=(1,2,3,4)=(1,2,3,4)T T, , 2 2=(-1,1,-1,0)=(-1,1,-1,0)T T, ,3 3=(2,-1,3,1)=(2,-1,3,1)T T, , 4 4=(0,3,2,4)=(0,3,2,4)T T, ,求求L=L(L=L(1,2,3,4) )的维数的维数dim Ldim L及及L L的一组基的一组基, ,并写出其余向量在这组基下的坐标并写出其余向量在这组基下的坐标. .1.求求A的特征值与特征向量

11、；的特征值与特征向量；2.求一个正交矩阵求一个正交矩阵Q和和对角阵对角阵,使得使得Q Q-1-1AQ=AQ=.四、（四、（16分）求非齐次线性方程组分）求非齐次线性方程组的通解的通解.六、（六、（20分）设对称矩阵分）设对称矩阵A=,111011321A,011111121B5222112321321321cxbxaxxxxxxx1.设设n阶方阵阶方阵A的行列式的行列式|A|=2,则则A的伴随阵的行列式的伴随阵的行列式|A*|= .，3. 3. 设设1 1=(2,0,-1)=(2,0,-1)T T, , 2 2=(1,0,0)=(1,0,0)T T为线性方程组为线性方程组4.4. 向量组向量组

12、1 1=(1,2,-3)=(1,2,-3)T T, , 2 2=(-2,1, 0)=(-2,1, 0)T T, , 3 3=(0,5,-6)=(0,5,-6)T T, ,线性线性 关关. .A模拟试卷三模拟试卷三一、（一、（15分）填空题：分）填空题：2.设矩阵设矩阵矩阵矩阵X满足：满足： AX=B,则则X= .的两个解向量，则方程的通解为的两个解向量，则方程的通解为 .5. 设设n阶方阵阶方阵A与与B相似，相似，A有特征值有特征值1，2，-3,则则 B-1+E有特征值有特征值 .3.设设 为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A的的特征值，则（特征值，则（ ）. .(A)1/(A)1/为为A-1的的特征

13、值；特征值；(B) (B) 2 2为为A2的的特征值；特征值；( (C)(C)() ) 为为(A)的的特征值特征值, ,其中其中(x(x) ) 为为x x的多项式的多项式. . .abbbabbba5.5.设设1 1=(1,-2,5)=(1,-2,5)T T, , 2 2=(-2,4,-10)=(-2,4,-10)T T, ,则（则（ ）. .(A)(A)(1 1,2 2)=-60)=-60；(B) (B) 1 1 与与2 2正交；正交；(C) (C) 1 1,2 2线性相关线性相关. .二、（二、（15分）多项选择题：分）多项选择题：1.设设A,B均为均为n阶可逆方阵阶可逆方阵,则（则（ ）

14、.(A)齐次线性方程组齐次线性方程组ABX=0只有零解只有零解; (B)(A+B)-1=A-1+B-1; (C) A的特征值全不为零的特征值全不为零.2.设设A,B均为均为n阶矩阵则（阶矩阵则（ ）.(A)(AB)T=ATBT;(B)|AB|=|A|B|;(C)|2A|=2|A|.4.n阶行列式阶行列式的值为（的值为（ ）.(A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n+nb(a-b)n-1；(C)a+(n-1)b(a-b)n-1.0235222412432143214321xxxxxxxxxxxx4234321321321xbxxxbxxxxax三、三、（10分）求非齐次线性方程组分）求非齐次线性方程组五、五、（15分）问分）问a,b为何值时，为何值时，线性方程组线性方程组六、（六、（20分）设二次型分）设二次型f=x12-2x22+x32+4x2x3,1.写出二次型写出二次型f的的矩阵矩阵A;A;七、证明题：七、证明题：1.1.（7 7分）分）设设A,B均为均为n阶正交矩阵，试证阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵也是正交矩阵.2.（8分）设向量组分）设向量组1,2,，s线性无关，又线性无关，又1=2+3+s ，2=1+3+s ，3=1+2+4+s ， ，s=1+2+s-1 ，证明向量组，证明向量组1, 2,，s线性无关线性无关 的通解的通解