分期纯保费与毛保费

1、第四章第四章 分期纯保费与毛保费分期纯保费与毛保费一、保费的构成一、保费的构成纯 保 费（ 将 来 保 单 受 益 的 精 算 现 值 ）附 加 费 用（ 与 保 单 相 关 的 费 用 的 精 算 现 值 ）毛 保 费（ 购 买 费 用 ）保费的分类按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费 常见险种的趸缴纯保费纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）两全保险趸缴纯保费（死亡受

2、益死亡即刻支付，生存受益期末支付）1:,xxxmm nx nAAAA1:,xxxxmm nnx nAaaaa: x nA 第一节第一节 全连续型寿险的纯保费全连续型寿险的纯保费 一、精算等价原理一、精算等价原理例：某保险公司计划发行一种人寿保单，已知例：某保险公司计划发行一种人寿保单，已知0岁的人取整余命岁的人取整余命K的的概率函数为：概率函数为：3 , 2 , 1 , 0,410 KqK 该保险公司在被保险人死亡的年末支付该保险公司在被保险人死亡的年末支付1元保险金，保费在被保元保险金，保费在被保险费活着的每年初时支付，试根据以下原则分别决定保险公司对险费活着的每年初时支付，试根据以下原则分

3、别决定保险公司对0岁的人应收的年保费岁的人应收的年保费P： 原则原则1 ：P使得保单签发时亏损现值的期望为使得保单签发时亏损现值的期望为0； 原则原则2：P为使得亏损为正的概率不超过为使得亏损为正的概率不超过14的最低额。的最低额。以上两种情形均假定年利率为以上两种情形均假定年利率为5 解：解：在保单签发时保险人的亏损现值为：在保单签发时保险人的亏损现值为：1.1ka.1.v kP （1）根据原则）根据原则1，P应满足：应满足：0).a.(v0|1.1k30k qPkk0|301.0|301.qaqvPkkkkkk 3719.0 jP.ja.v dp j)vdp(1增增加加而而递递减减随随着着

4、 j时时成成立立满满足足当当原原则则0aP.vP22.2 所以只有当所以只有当k0时才使亏损为正时才使亏损为正4646.0 p 注：注：上例中的原则上例中的原则1即称为精算等价原理。即称为精算等价原理。纯保费厘定原则纯保费厘定原则平衡原则：平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。保险人的潜在亏损均值为零。L=保险金给付现值保险金给付现值-纯保费现值纯保费现值E（L）=0E（保险金给付现值）（保险金给付现值）=E（纯保费现值）（纯保费现值） 二、二、 各种寿险的年缴纯保费各种寿险的年缴纯保费1、完全连续年缴净均衡保费的厘定（以终身人寿保险为例）、完全连续年缴净均衡保费的厘定（以终身人寿保险为例）条件

5、：条件：（x）死亡即刻给付）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）：则则保保险险人人的的亏亏损损现现值值为为，生生在在时时刻刻，若若被被保保险险人人的的死死亡亡发发对对任任何何连连续续支支付付的的保保费费tP tPtl a.vt ttv1a PvPt)1( 若若t0为使得为使得L(t0)=0的时刻，则被保险人在的时刻，则被保险人在t0前死亡会导致损失，在前死亡会导致损失，在t0后死亡会产生收益（负损失）后死亡会产生收益（负损失） 下考察亏损随机变量：下考察

6、亏损随机变量： TPTlL a.vT 由精算等价原理可知：由精算等价原理可知：0)( LE0. xxaPA 故纯保费为：故纯保费为：xxxaAAP )( L的方差：的方差： 22)(LELELVar )(2LE )a.v(TTPVar )1.v(T TvPVar)1.(vT pVar2T)1).(v( pVar222)1).( pAAxx222)()(xxxaAALVar 例：已知利息力为例：已知利息力为0.06，死亡力为，死亡力为0.04，求，求)()2()()1(LVarAPx 解：解：xxxaAAP )(dtpvAtxxttx .0dteetxdttttx .00dteetdtt 004

7、. 0006. 0.04. 0dteett04. 0006. 0.04. 0 dtebtb 01 . 0lim04. 0btbe01 . 0| )1 . 01(lim04. 0 4 . 0 dtpvaxttx.0 btbe01 . 0| )1 . 01(lim 10 04. 0104 . 0 222)()(xxxaAALVar xA 2dteetxdttttx .002dteett04. 0012. 0.04. 0 btbe016. 0| )16. 01(lim04. 0 25.0 22)1006. 0()4 . 0(25. 0)( LVar25.0 结论：结论：当死力为常数时，有如下结果：当

8、死力为常数时，有如下结果： )( 1xxxAPAa量量式式连连续续年年金金现现值值随随机机变变均均衡衡纯纯保保费费为为全全连连续续型型现现函函数数，分分别别表表示示给给付付函函数数和和折折、其其中中，时时亏亏损损的的随随机机变变量量为为：一一般般的的，保保险险人人在在签签单单YYPZYPvbTT,Pvb. TT 由精算等价原理由精算等价原理：0).( YPvbETT)().(YEvbEPTT 延期延期n年的终身生存年金的年缴均衡纯保费：年的终身生存年金的年缴均衡纯保费：Tb nTanTnT, 00, TvznTTTzb . nTvanTnnT,., 00, TaYT).(|TTxnzbEa n

9、xnxaA .1:nxaYE:)( )().(YEvbEPTT nxnxnxaaA:. 常见险种的完全连续净均衡保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx nx nP AAa：1:()xxx mmmx mPaAaa()hx nx nx hP AAa：例例3：完全连续：完全连续 n年期两全保险的保险人亏损随机变量为年期两全保险的保险人亏损随机变量为L，给出，给出L的方差表达式

10、。的方差表达式。 解：解：)(LVar)(YPvbVarTT )1( ZPZVar)1( PPZVar nTvnTvZnT,)1( PZVar2)1)( PZVar22:2)1()( PAAnxnx0.05.100,0.057.d0.064,A0.19,A25)(,100001 C25225损损额额为为正正的的概概率率等等于于总总亏亏份份这这种种相相互互独独立立保保单单的的使使得得态态分分布布近近似似决决定定保保费费用用正正岁岁。并并且且投投保保年年龄龄为为人人亏亏损损随随机机变变量量，其其中中表表示示保保单单签签发发时时的的保保险险年年缴缴保保费费表表示示保保单单的的用用元元的的全全离离散散

11、型型终终身身寿寿险险：保保额额为为例例 L 解解：1、每个保单的亏损为：、每个保单的亏损为：1.11000)( KcKcavL2、期望值与方差为：、期望值与方差为：dvdcKc 11000dAdLEccc 251000)()(1000)(12 KccvVardLVar)(1000)(12 KccvVardLVarddLEccc 100019.0)()(10002252522AAdc 210000279.0dc 3、总亏损为：、总亏损为： 1001)(jcjL4、总亏损的期望值与方差为：、总亏损的期望值与方差为： )(100cLESE )(100cLVarSVar 05.0)0( SPr所以由正

12、态近似可得：所以由正态近似可得： 645.10 SVarSE43.158 C 三、三、 半连续型寿险的纯保费半连续型寿险的纯保费条件条件（x）死亡即刻给付）死亡即刻给付1单位赔偿金，而被保单位赔偿金，而被保险人从保单生效起按年期初缴费。险人从保单生效起按年期初缴费。)()1 ()() 3()( 0)(0)()2()()(12221xxxxxxxxkxtAAdPLVaraAAPaAPALEaAPvTlL ）（常见险种的半连续净均衡保费总结险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身人寿保险h年缴费n年两全保险n年生存保险m年递延终身生存保险()xxxP AAa11()x nx n

13、x nP AAa：()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx nx nP AAa：)()(:1:mxxmxmxmxmxmxxmNNNDaaAaP ()hx nx nx hP AAa： 四、四、 利用换算函数计算年缴纯保费利用换算函数计算年缴纯保费1、终身寿险、终身寿险条件：条件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1单位的终身人寿保险，被保险人从单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年在期初交付保费。保单生效起按年在期初交付保费。xxxaAP. xxxxNDDM. xxxNMP 条件：条件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1单位的终身人寿保险，被保险人从单

14、位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起在保单生效起在h年内按年在期初交付保费。年内按年在期初交付保费。hxxxxhNNMP 条件：条件：（x）死亡即刻给付）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）xxxaAAP )(xxxNMAP )( 例例1：李华在：李华在40岁时投保了保险金额为岁时投保了保险金额为20000元的终身寿险，元的终身寿险，假设假设i=6%,保险金在死亡年末给付，根据附表计算：保险金在死亡年末给付，根据附表计算：（1）保险费在整个生存期缴付的

15、年缴纯保费。）保险费在整个生存期缴付的年缴纯保费。（2）保险费在）保险费在10年内缴清的年缴纯保费。年内缴清的年缴纯保费。 解解：40.404020000aAP 404020000NM 881345120000 19.189 hxxxxhNNMP 504040401020000NNMP 27.695386881345120000 27.370 例例2：李华在：李华在40岁时投保了终身寿险，保险契约规定，若岁时投保了终身寿险，保险契约规定，若他在投保后的第一年内死亡，给付他在投保后的第一年内死亡，给付5000元保险金，以后每多活元保险金，以后每

16、多活一年后死亡，保险金增加一年后死亡，保险金增加1000元，增加到元，增加到20000元时，保险金元时，保险金不再变动。保险费在他有生之年缴付，并规定投保前不再变动。保险费在他有生之年缴付，并规定投保前5年每年缴年每年缴费的保险费是以后各年保险费的一半，试用换算函数表示前五费的保险费是以后各年保险费的一半，试用换算函数表示前五年每年所交保险费。年每年所交保险费。 解解：1、求保险金的现值、求保险金的现值40|15115:404016000)(10004000AIAA 16000)15(100040001555555404040MMRRMD 2、设前五年每年纯保费为、设前五年每年纯保费为P，下求

17、保险费的现值，下求保险费的现值40.| 55:40.2aPaP )(454040NNDP 3、根据精算等价原理、根据精算等价原理16000)15(100040001555555404040MMRRMD )(454040NNDP 16000)15(10004000155555540404540MMRRMNNP 例例3：考虑：考虑(x)购买的缴费期为购买的缴费期为15年的保额为年的保额为1单位的终身寿单位的终身寿险，设第二个险，设第二个5年的年保费为第一个五年的年保费的年的年保费为第一个五年的年保费的2倍，最后倍，最后5年的年保费较第二个年的年保费较第二个5年的年保费多年的年保费多10个单位。用换

18、算函数表个单位。用换算函数表示初始年保费。示初始年保费。 解解：1、求保险金的现值、求保险金的现值hxxxxhNNMP 1515 xxxxNNMP2、设初始纯保费为、设初始纯保费为P，下求保险费的现值，下求保险费的现值xxxxxEaPEaPaP105:10.55:5.5:.)102().2( 3、根据精算等价原理、根据精算等价原理xxxxxEaPEaPaP105:10.55:5.5:.)102().2( 15 xxxNNMxnxxnxDNNa :.xnxxnxxnDMMAE 1:2、定期寿险、定期寿险条件：条件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1单位的单位的n年定期人寿保险，被保险年定期人寿保

19、险，被保险人从保单生效起按年在期初交付保费。人从保单生效起按年在期初交付保费。nxxnxxnxNNMMP 1:条件：条件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1单位的单位的n年定期人寿保险，被保险年定期人寿保险，被保险人从保单生效起在人从保单生效起在h年内按年在期初交付保费。年内按年在期初交付保费。hxxnxxnxhNNMMP 1:条件：条件：（x）死亡即刻给付）死亡即刻给付1单位的单位的n年定期人寿保险，被保险年定期人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。人从保单生效起按年连续交付保费。hxxnxxnxNNMMAP )(1: 例例4：设每一年龄内的死亡服从均匀分布，利率：设每一年龄内的死

20、亡服从均匀分布，利率i=0.06,试根试根 据附录计算据附录计算)(1000140:25 AP 解解：nxnxnxaAAP:1:1:)(1000 40:25140:2511000 AA140:25140:2511000AiA 140:25A256525DMM 27. 2 3、生存保险的年缴纯保费、生存保险的年缴纯保费条件：条件：（x）岁的人投保）岁的人投保n年定期生存保险，契约规定以活到年定期生存保险，契约规定以活到n年作为保险金的给付条件，保险金额为年作为保险金的给付条件，保险金额为1元元,保险金在年末给付，保险金在年末给付，保费在保费在n年内缴清，并在年初支付。年内缴清，并在年初支付。nx

21、xnxnxNNDP 1:nxnxnxaAP:.1:1: 条件：条件：（x）岁的人投保）岁的人投保n年生存保险，契约规定以活到年生存保险，契约规定以活到n年作年作为保险金的给付条件，保险金额为为保险金的给付条件，保险金额为1元元,在年末给付，保费在在年末给付，保费在h（n）年内缴清，年初支付。）年内缴清，年初支付。hxxnxnxhNNDP 1:条件：条件：（x）岁的人投保延期）岁的人投保延期m年的年的n年定期生存保险，保险金年定期生存保险，保险金额为额为1元元,在年初给付，而保险费限期在年初给付，而保险费限期h年缴清（年缴清（hm）。）。hxxnmxmxnmhNNNNaP )(.|条件：条件：（

22、x）岁的人投保延期）岁的人投保延期m年的年的n年定期生存保险，保险金年定期生存保险，保险金额为额为1元元,在年初给付，而保险费限期在年初给付，而保险费限期h年缴清（年缴清（hm）。）。mxxnmxmxnmhNNNNaP 11|)( 例例4：某：某45岁的人投保了定期岁的人投保了定期15年的生存保险，如果在保期年的生存保险，如果在保期内每年年初交纳费用内每年年初交纳费用3000元，求其保险金额（元，求其保险金额（i=0.06) 解解：设保险金额为设保险金额为X元元15:.115:453000.xaAX 6060453000DNNX 92.80118 例例5：某：某30岁的人投保了从他岁的人投保了

23、从他60岁开始每年末得到能得到的岁开始每年末得到能得到的5000元的生存保险，若要求保费在元的生存保险，若要求保费在60岁前交清，求其每年需交岁前交清，求其每年需交费的纯保费（费的纯保费（i=0.06) 解解：设保险费为设保险费为X元元303030:30.5000.aaP 6030615000NNN 37.30571050.274376735.2791045000 39.572 例例6：某人在：某人在20岁时投保了岁时投保了40年的定期寿险；若投保后，在年的定期寿险；若投保后，在20年内死亡，给付保险金为年内死亡，给付保险金为15000元。从元。从40岁开始起死亡给付岁开始起死亡给付逐年增加逐

24、年增加5000元，保险金在死亡年末给付。求出限期元，保险金在死亡年末给付。求出限期15年缴清年缴清的年交纯保费。（的年交纯保费。（i=0.06) 解解：1、求保险金的现值、求保险金的现值2020120:4040:20.)(500015000EIAA 2、设初始纯保费为、设初始纯保费为P，下求保险费的现值，下求保险费的现值15:20.aP 3、根据精算等价原理、根据精算等价原理15:20.2020120:4040:20.)(500015000aPEIAA 35206060406020)20(5000)(15000NNMRRMMP 88.148 P条件：条件：（x）岁的人投保延期）岁的人投保延期m

25、年的终身生存保险，保险金额为年的终身生存保险，保险金额为1元元,在年首给付。在年首给付。mxxmxxmNNNaP )(.|条件：条件：（x）岁的人投保延期）岁的人投保延期m年的终身生存保险，保险金额为年的终身生存保险，保险金额为1元元,在年末给付。在年末给付。mxxmxxmNNNaP 1|)(条件：条件：（x）岁的人投保延期）岁的人投保延期m年的终身生存保险，保险金额为年的终身生存保险，保险金额为1元元,在年初给付，保险费限期在年初给付，保险费限期h年缴清。年缴清。hxxmxxmhNNNaP )(.| 例例7：某人在：某人在30岁时投保了岁时投保了60岁开始的终身生存年金，年金岁开始的终身生存

26、年金，年金的支付额为每年初的支付额为每年初24000元，保费的交付期限为元，保费的交付期限为15年，求其每年，求其每年需交费的纯保费（年需交费的纯保费（i=0.06) 解解：)(2400030.|3015aP 153030303024000 NNN82.3943 4、两全保险的年缴纯保费、两全保险的年缴纯保费条件：条件：（x）岁的人投保）岁的人投保n年定期的两全保险，保险金额为年定期的两全保险，保险金额为1元元,在年末给付，保险费限期在年末给付，保险费限期h年缴清。年缴清。hxxnxnxxnxhNNDMMP : 例例8：某：某40岁的人投保岁的人投保30年定期两全保险，保险金额为年定期两全保险

27、，保险金额为30000元，保费在投保后元，保费在投保后10年内缴清，求年缴纯保费（年内缴清，求年缴纯保费（i=0.06) 解解：30:401030000P 104040304030404030000 NNDMM67.862 五、五、 每年交纳数次的纯保费每年交纳数次的纯保费 注注1：如果人寿保险的各险种的保险金不变，仅年缴纯保费变：如果人寿保险的各险种的保险金不变，仅年缴纯保费变成等额的成等额的m次分期缴款付清，则称这样的保费缴付方式为次分期缴款付清，则称这样的保费缴付方式为一年缴付一年缴付m次的纯保费。次的纯保费。 符号定义：符号定义： 1、死亡年末给付死亡年末给付1元的终身寿险，每年元的终

28、身寿险，每年m次分期缴付的年纯保费次分期缴付的年纯保费 mxP 2、死亡立即给付的终身寿险，每年死亡立即给付的终身寿险，每年m次分期缴付的年纯保费次分期缴付的年纯保费 )(xmxAP 的的公公式式：求求例例mn:x1P 解解： 1、求亏损现值、求亏损现值 mnxmnxKaPv:.:11 2、精算等价原理、精算等价原理 0)1(:.:1 mnxmnxKaPvE 0:.: mnxmnxnxaPA mnxnxmnxaAP:.: 例例2：对于（：对于（50）的人死亡年末给付）的人死亡年末给付1万元的万元的20年期两全保险。年期两全保险。计算按半年分期缴费的净均衡年保费，年利率计算按半年分期缴费的净均衡

29、年保费，年利率6%。 解解： mnxnxmnxaAP:.: 220:50.20:50220:501000010000aAP 20:50A502050205050DDMM )2(20:50.a 50212050)2(2/150DNN 50250215021DNN 70270217021DNN 505025022DNaN 707027022DNaN 222222 ,2diiidiida 19.32510000220:50 P 例例3：某人：某人40岁投保岁投保20年限期两全保险，保险金额为年限期两全保险，保险金额为25000元，契约规定保险费限投保元，契约规定保险费限投保10年内缴清，同时预收年内

30、缴清，同时预收如侠附加保险费。如侠附加保险费。 1）单独附加的承保费按第一年总保险费的）单独附加的承保费按第一年总保险费的30计算。计算。 2）契约成立后的保险保险维持费也按年总保险费的）契约成立后的保险保险维持费也按年总保险费的18计算。计算。 3）另外按保险金的）另外按保险金的2%的比例收取每年的安全风险费。的比例收取每年的安全风险费。 求出每年的总保险费是多少？求出每年的总保险费是多少？ 解解：1、毛保费、毛保费G的精算现值的精算现值10:40.aG2、保险金的精算现值、保险金的精算现值20:401025000 P3、附加保费的精算现值、附加保费的精算现值20:401010:40.10:

31、40.02. 01 . 018. 03 . 0PaGaGG 10:40.aG20:401025000 P 20:401010:40.10:40.02. 01 . 018. 03 . 0PaGaGG 69.1690 G例例3：对：对25岁购买的保险金额为岁购买的保险金额为10万元的万元的40年期两全保险年期两全保险保单，该保单的第一年费用为保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的元加上毛保费的25，续年的费用为续年的费用为25元加上毛保费的元加上毛保费的10。发生死亡给付时。发生死亡给付时的理赔费用为的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。已知元，生存给付时不发生理赔费用。已知 ，

32、求毛保费。，求毛保费。%6,0811675. 0,114592. 0140:2540:25 iAA 解解：1、毛保费、毛保费G的精算现值的精算现值40:25.aG2、保险金的精算现值、保险金的精算现值140:25140:25100000)100100000(AA 3、附加保费的精算现值、附加保费的精算现值39:25)1 . 025(25. 0100aGG 40:25.aG140:25140:25100000)100100000(AA 39:25)1 . 025(25. 0100aGG iAia40:2540:25.1)1( 140:2540:25140:25AAA 45.856 G 三、三、

33、保单费用与保单费保单费用与保单费毛保费可分为三部分：毛保费可分为三部分：第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保费用等费用等第二部分：跟保费数额有关的费用。如代理第二部分：跟保费数额有关的费用。如代理人佣金、保险费税金等人佣金、保险费税金等第三部分：有一部分附加费用只与保单数目第三部分：有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为用称为保单费用保单费用，如准备新保单、建立会计，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。记录、邮寄保费通知的费用等。 注：保险实务一般规定：注：保险实务一般

34、规定： 人寿保险的费率一般是指每千元保额的保费；生存年金的费率人寿保险的费率一般是指每千元保额的保费；生存年金的费率一般是以每月一般是以每月1元收入计算的。元收入计算的。毛保费构成公式毛保费构成公式G(b)：保险金额为：保险金额为b元的毛保费元的毛保费a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保费是：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保费是它的主要部分它的主要部分c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。( )(1)G bfabc费率函数费率函数费率函数的定义 ：)

35、(bR( ) (1)/( )11/( ) 1( )( )G bfabcabcac bG bbffac bR bfG bb R bfccfaabcabR 1,1,)(其中其中确定单位保单费用的方法确定单位保单费用的方法 一、一、 精确费率公式精确费率公式fccfaa 1,1abc .fcfab 11fcab 1 bG 二、带状费率公式根据保险面额不同，分成若干“bands”(区间带)如果 ，近似总保费等于真实总保费。如果 ，近似总保费高于真实总保费。如果 ，近似总保费低于真实总保费。 ( )( )11bandsiiacbGbbR bbff bibbibbibb三、近似费率公式( )( )11appacbGbbR bbff b如果 ，近似总保费等于真实总保费。如果 ，近似总保费高于真实总保费。如果 ，近似总保费低于真实总保费。 bbb