微积分学基本定理

1、16.3 6.3 微积分学基本定理微积分学基本定理 由6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 牛顿莱布尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法.一一. 积分上限函数积分上限函数设(x)在a ,b上连续, , ,xa b 区间a, x上方的曲边梯形的面积为(x)在区间a, x上的定积分( ).xaf x dx2为了区别积分变量与积分上限, 特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数, 并记为(x),即( )( )xaxf t dt注注1 1 ( )0,( )( ).baabf x dx定

2、理定理5 5 若(x)在a, b上连续, 则在a, b上( )( )xaxf t dt可导, 且( )( )( ).xaxf t dtf x证证 设x、x+x a, b, 则有(x)=(x + x)(x)( )( )( )xxxxxaaxf t dtf t dtf t dt由积分中值定理得(x)=() x(在x与x + x之间),当 x 0时, 必有 x , 从而3lim( )( )xff x而( )( ),( )( )af abf b , ,( ),xa bx 故有可导注注2 2 对于变上限的复合函数有以下两个推论对于变上限的复合函数有以下两个推论0( )( )limxxxx ( )( )(

3、 )xaxf x dxf x且推论推论1 1 若(x)在a, b上连续, (x)在a, b上可导, 则( )( ) ( )( )xadf t dtfxxdx(被积函数代积分上限且积分上限对x求导)( ) ( ) ( ),( ),xaf t dtYu ux变上限函数可看成复合而成证( )( )xaddYf t dtdxdx则 ( )( )fxxdY dudu dx( )( )f ux4推论推论2 2 若(x)在a, b上连续, 12( ),( )xx21( )2211( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx2211( )( )( )( ) ( )( )( )xxxx

4、ccf t dtf t dtf t dt因例例7 计算下列各题20(1)cosxdt dtdx220coscosxdt dtxdx解证证在a, b上可导, 则21( )2211( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx3(2)xtade dtda3 xtade dtda解33()ataxde dteda 则5221(3)sin xxdt dtdx221sinxxdt dtdx解解2220020()limxtxxte dttedt解222sin2 sin(1)xxx2220202limxtxxxe dt exe22002limxtxxe dtxe22202lim2xx

5、xxeexex2220020() (4)limxtxxte dttedt2222sinsin(1)(1)xxx202lim212xx6例例8 8 设(t)是正值连续函数, ( )( ),aaf xxtt dt且xttxxttxtx证 ( )( )( )( )( )( )( )xaaxfxt dtxxxxxxtt dtxx曲线在a, a上是上凹的.x a, a(a0).证曲线y =(x)在 a, a上是上凹的. ( )() ( )() ( )xaaxf xxtt dttxt dt( )( )xxaaxt dttt dt( )( )aaxxtt dtxt dt( )( )xaaxt dttt dt

6、( )( )( )2 ( )0fxxxx7定理定理6 6 (原函数存在定理)( )( )xaxf t dt注注3 3 由定理由定理5 5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数知积分上限的函数是被积函数的一个原函数. .若(x)在a, b上连续, 则 的一个原函数.是(x)在a, b上注注4 4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, , 又揭示了又揭示了定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系, ,下面利用此定理来推导通过原函数下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式来计算定积分的公式. .8二二. 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定理定理7 7

7、(微积分学基本定理) 若(x)在a, b上连续, 而F(x)是(x)在a, b上的一个原函数, 则( )( )( )( )babf x dxF bF aF xaC =(a)F ( a)= F(a),( )( )xaxf t dt( )( )( )( )babf x dxF bF aF xa证证 因F(x)与均为(x)的原函数, 所以有于是 (x)= F(x)F ( a) 令x=b, 则上式有(b) = F(b)F(a), 故(x) = F(x) + C( )( )0,aaaf t dt由得9注注5 5 上式就是牛顿上式就是牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. .由牛顿莱布尼兹公式知: 要求(x)在a

8、, b上的定积分( ),baf x dx只须先求出(x)在a, b上的一个原函数F(x),再再计算F(x)在a , b上的改变量F(b) F(a)即可.注注6 6 牛顿莱布尼兹公式当然也可( )( )babf x dxf x dxa 它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法, 而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.这样记.10例例9 9 计算下列定积分3(1)bax dx131 (2)dxx1311ln3dxxx解434babxx dxa解441()4baln1ln3ln3 30(3)x xt dx30) 0 , 0, atxtx xt dx 当时 由得309()92x xt d

9、xt 此定积分的被积函数含参数t并带绝对值. 而 t 的取值又无限制,它既可在0, 3之内, 也可在0, 3之外, 故应分以下三种情况讨论:11)03 , ,txxtbtxtxtxt当时 由得3300()()ttx xt dxx tx dxx xt dx) 3 , 0,ctxt 当时 由得3300 ()x xt dxx tx dx992t330990219 90 3 32993 2ttx xt dxttttt故319932tt122(),baIxdx ab令则) 2 , 2,aabxb当时 由得 (4)2baxdx)2 ,2 2,babxx当时 由在两侧异号 得 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分. 当x2=0时, 得 x = 2.1(2)()(4)2baIxdxbaab22(2)(2)baIx dxxdx224222abab 因此时的区间a, b位置没定, 故它可能在被积函数的零点的两侧, 也可能在零点之间, 亦可能包含零点.13) 2, 2,cabx当时 由得(2)(2)(2)2babaIxdxb221()(4)2242