概率论与数理统计习题及答案第二章

1、精选优质文档-倾情为你奉上习题2-21. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0p1). 定义随机变量写出随机变量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.解 由离散型随机变量的分布律的性质知，所以.所求概率为 PX1| X =.3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若, 求.解 注意px=k=,由题设故. 从而4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概

2、率为, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.X=3表示取出的3个数以3为最大值，PX=3=;X=4表示取出的3个数以4为最大值，PX=4=;X=5表示取出的3个数以5为最大值，

3、PX=5=.X的分布律是X3 4 5P 习题2-31. 设X的分布律为X-1 0 1P0.15 0.20 0.65求分布函数F(x), 并计算概率PX0, PX2, P-2X1.解 (1) F(x)= (2) PX0=PX=-1=0.15; (3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x1=PX=-1+PX =0=0.35.2. 设随机变量X的分布函数为F(x) = A+Barctanx -x+.试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1内的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2) 3. 设随机变量X的分布函数为F(

4、x)=求PX-1, P0.3 X0.7, P0X2.解 PX, P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0X2=F(2)-F(0)=1.5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数x; (2) 求X取负值的概率p.解 (1) 由条件可知, 当时, ;当时, ;当时, F(1)=PX1=P(S)=1.所以 易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为,取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=. 因此 .于是, 对于, 有对于1, 有 从而(2) X取负值

5、的概率习题2-41. 选择题(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C) 1. (D) .解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.解 因为, 所以,即, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D). (4) 设随机变量, , , 则( ).(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.(C) 只

6、对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有.因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).(A) 1 2. (C) 1 2. 解 答案是(A).(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).2.

7、 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k?解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为由题意可知.于是 .3. 设随机变量X有概率密度要使(其中a0)成立, 应当怎样选择数?解 由条件变形,得到,可知, 于是, 因此.4. 设连续型随机变量X的分布函数为求: (1) X的概率密度; (2).解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,可得 (2) .5. 设随机变量X的概率密度为f(x) 求PX与P2.解 ;.6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).解 (1) 由概率密度的性质可得,于是 ；(2) 由公

8、式可得当x0时, ;当1时, ;当2时, ;当x2时, .所以 7. 设随机变量X的概率密度为对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式,可得.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.解 随机变量X的概率密度为若方程有实根, 则 0, 于是2. 故方程有实根的概率为P2=.9. 设随机变量. (1) 计算, , , ； (2) 确定c使得(3) 设d满足, 问d至多为多少？解 (1) 由Paxb=P公式, 得到P2X5=,P-4X10=,=+=1+=0.6977,=1=0.5 .(2) 若,得1,所以

9、由=0推得于是c=3.(3) 即1, 也就是,因分布函数是一个不减函数, 故解得 .10. 设随机变量, 若, 求.解 因为所以. 由条件可知,于是, 从而.所以 .习题2-51. 选择题(1) 设X的分布函数为F(x), 则的分布函数为( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设令, 则( ).(A). (B). (C). (D).解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z所服从的分布及概率密度.解 若随机变量, 则X的线性函数也服从正态分布, 即 这里, 所以Z. 概率密度为.3. 已知随机变量X的分布律

10、为X-10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y2X的分布律；(2) 求Y3X2分布律.解 (1)2X-5-1123P0.250.130.20.050.37(2) 3X2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X的概率密度为且Y2X, 试求Y的概率密度.解 先求Y的分布函数:= =1-.于是可得Y的概率密度为 =即 5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.解 由题意可知随机变量X的概率密度为因为对于0y4, X.于是随机变量的概率密度函数为即 总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件

11、样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.(1) 恰好有3件次品的概率是PX=3=.(2) 至多有3件次品的概率是.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则XB(5,0.1),PX=k=,k=0,1,5.(1) 所求的概率是PX=2=;(2) 所求的概率是PX1=1;(3) 所求的概率是 PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954;(4) 所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.3. 设随机变量X的概率密度为且已知, 求常数k, . 解 由概率密度的性质可知得到k=1. 由已知条件, 得.4. 某产品的某一质量指标, 若要求X0.8, 问允许最大是多少?解 由X=0.8, 得到0