抗震结构第三章

1、13.3.结构地震反应分析与抗震验算结构地震反应分析与抗震验算 本章要点本章要点 掌握：结构地震反应分析；结构抗震设计掌握：结构地震反应分析；结构抗震设计的基本要求；振型分解法；底部剪力法的基本要求；振型分解法；底部剪力法 理解：地震反应分析的基本概念和原理；理解：地震反应分析的基本概念和原理；建筑结构抗震验算的原理建筑结构抗震验算的原理 了解：各种方法的适用条件和特点了解：各种方法的适用条件和特点2. .概述概述. .基本概念基本概念（）地震作用：（）地震作用：（）结构的地震作用效应：地震作用在结构中所产生的内力变形（）结构的地震作用效应：地震作用在结构中所产生的内力变形（）结构的地震反应：

2、地震引起的结构振动（）结构的地震反应：地震引起的结构振动. .地震作用的计算方法地震作用的计算方法地震作用和结构抗震验算地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。杂的精细方法。（）（）底部剪力法：不

3、超过底部剪力法：不超过40m40m的规则结构的规则结构（）（）振型分解反应谱法：振型分解反应谱法：一般的规则结构，质量和刚度分布明显不对称一般的规则结构，质量和刚度分布明显不对称结构结构（）（）时程分析法时程分析法: :特别不规则、甲类和超过规定范围特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑3.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 .计算简图计算简图 单自由度弹性体系：单自由度弹性体系： 将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆支承于地面形成单质点体系，当该体系只作的弹性直杆支承于地面形成单质点体系，当该体系只作单

4、向振动时，就形成了一个单自由度体系。如等高单层单向振动时，就形成了一个单自由度体系。如等高单层厂房、水塔等厂房、水塔等 单质点弹性体系计算简图单质点弹性体系计算简图 （a）单层厂房及简化体系；（）单层厂房及简化体系；（b）水塔及简化体系）水塔及简化体系4.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 . .运动方程运动方程 根据根据达朗贝尔原理达朗贝尔原理，物体在运动中的任一瞬时，作用，物体在运动中的任一瞬时，作用在物体上的在物体上的外力与惯性力相互平衡外力与惯性力相互平衡，故，故 上式还可简化为上式还可简化为)()()(txtxtXg质点位移质点位移质点加速度质点加速度)()

5、()(txtxtXg 惯性力惯性力)()(gxmxmtI 弹性恢复力弹性恢复力kxtS)(阻尼力阻尼力xctR)(运动方程运动方程gxmkxxcxm )(tx)(txgmm)(gxxm kxxcgxxxx 225.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 式中式中 体系的圆频率；体系的圆频率；体系的阻尼比体系的阻尼比 上式是一个常系数的上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。二阶非齐次微分方程。它的解它的解包含两部分：一是对应于齐次微分方程的包含两部分：一是对应于齐次微分方程的通解通解，另一个，另一个是是特解特解。前者表示自由振动，后者表示强迫振动。前者表示自由振动，后者表示

6、强迫振动。 .自由振动自由振动 （）自由振动方程（）自由振动方程单自由度体系自由振动曲线单自由度体系自由振动曲线mcmk2,2022xxx 1时时)sincos()(000txxtxetxt216.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析有阻尼单自由度弹性体系的圆频率有阻尼单自由度弹性体系的圆频率,阻尼越大，自振频阻尼越大，自振频率减小。率减小。 比较上图中的各条曲线可知，无阻尼体系（比较上图中的各条曲线可知，无阻尼体系（）自）自由振动时的振幅始终不变，而有阻尼体系自由振动的曲线由振动时的振幅始终不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰减的波动曲线，即振幅随时间的增加

7、而减则是一条逐渐衰减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。 （）（）自振周期与自振频率自振周期与自振频率 自振周期：自振周期： 体系的频率：体系的频率： 体系的圆频率：体系的圆频率： 在实际结构中，阻尼比在实际结构中，阻尼比的数值一般较小，的数值一般较小，其值大约在其值大约在0.010.1之间之间。因此有阻尼频率与无阻尼频率。因此有阻尼频率与无阻尼频率相差不大，相差不大，在实际计算中可近似地取在实际计算中可近似地取 由上式可得单自由度体系自振周期的计算公式为由上式可得单自由度体系自振周期的计算公式为/2TTf/

8、1fT2/2kmT/27.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析由上式可见由上式可见，结构的自结构的自振周期与其质量和刚度的大小有振周期与其质量和刚度的大小有关。质量越大，则其周期就越长，而刚度越大，则其周期关。质量越大，则其周期就越长，而刚度越大，则其周期就越短。就越短。 自振周期是结构的一种自振周期是结构的一种固有属固有属性，也是结构本身一个性，也是结构本身一个很重要的动力特性。很重要的动力特性。 . .强迫振动强迫振动 （）瞬时冲量及其引起的自由振动（）瞬时冲量及其引起的自由振动 如图，荷载与作用时间如图，荷载与作用时间t t 的乘积，即的乘积，即 t t 称为冲量

9、。当作用时间为瞬时称为冲量。当作用时间为瞬时dtdt 时，则称时，则称PdtPdt为瞬时冲量。为瞬时冲量。 根据根据动量定律，冲量等于动量的增量动量定律，冲量等于动量的增量， 故有：故有： 若体系处于静止状态，则初速度为，故若体系处于静止状态，则初速度为，故 体系在瞬时冲量作用下获得的速度体系在瞬时冲量作用下获得的速度为为：瞬时冲量及其引起的自由振动0mvmvPdtmPdtv/8.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零。这样可认为在又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零。这样可认为在瞬时荷载作用后的瞬间，体系的位移仍为零。也就

10、是说，原来静止的瞬时荷载作用后的瞬间，体系的位移仍为零。也就是说，原来静止的体系在体系在瞬时冲量的影响下将以初速度瞬时冲量的影响下将以初速度作自由振动作自由振动。根据自由。根据自由振动的方程式的解，并令其中振动的方程式的解，并令其中 ，则可得：，则可得：其位移时程曲线如上图所示。其位移时程曲线如上图所示。（）杜哈默积分（）杜哈默积分方程的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，它可以从上述瞬时方程的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，它可以从上述瞬时冲量的概念出发来进行推导。冲量的概念出发来进行推导。可将看作随时间变化的可将看作随时间变化的m=1的的“干扰力干扰力”，并认为是由，并认为是由无穷多个

11、连续作用的微分脉冲无穷多个连续作用的微分脉冲所组成，所组成，mPdtv/mPdt /mPdtxx/)0(, 0)0(tmPdtetxtsin)(gxxxx 22)(txg 9.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它在在t=d时开始作用，作用时间为时开始作用，作用时间为d，则，则冲量冲量大小为大小为动量增量动量增量为为 从动量定理，得从动量定理，得由通解式可求得当由通解式可求得当d时，作用时，作用一个微分脉冲的位移反应为一个微分脉冲的位移反应为地震作用下的质点位移分析地震作用下的质点位移分析将将所有微分脉冲

12、作用后产生的自由振动叠加所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应，得总位移反应上式为杜哈默积分，它与通解之和就是微分方程的全解。即上式为杜哈默积分，它与通解之和就是微分方程的全解。即dtxg)( )(xmdtxg)( dtxxg)()( dtxg)( dtxedxgt)( sin)()()( ttttexdxtx0)(g0d)( sin)(1)()( 10.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 由由DuhamelDuhamel积分可得零初始条件下质点积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移相对于地面的位移为为ttttextxxtxetx0)(gd)( sin)

13、(1sin)0()0(cos)0()( tttextx0)(gd)( sin)(1)( max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位移反应质点相对于地面的速度为质点相对于地面的速度为ttgttdtextexdtdxtx0)(0)(g)( sin)(d)( cos)()( 质点相对于质点相对于地面地面的最大速度反应为的最大速度反应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 11.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 质点的绝对加速度为质点的绝对加速度为xxxxg22 tdtgdttdtextex0)(220d)(g)(sin)(2

14、d)(cos)(2 tttex0d)(gd2d)(sin)( 质点相对于地面的最大加速度反应为质点相对于地面的最大加速度反应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 12.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 五、地震反应谱五、地震反应谱：主要反映地面运动的特性主要反映地面运动的特性max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大相对位移最大相对速度max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 最大加速度max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大反应之间的关系dvaSSS2在阻尼比、地面运

15、动确定后，最大反应只是结构周期的函数在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。称为该反应的地震反应谱。地震动的工程特性分析地震动的工程特性分析地震动反应谱地震动反应谱定义：定义：具有同一阻具有同一阻尼比的一系列单自尼比的一系列单自由度体系在同一地由度体系在同一地震动输入下的反应震动输入下的反应的绝对最大值与单的绝对最大值与单自由度体系自振周自由度体系自振周期的关系，期的关系，即为这即为这一地震动的反应谱一地震动的反应谱2个参数

16、：个参数：周期、阻尼比周期、阻尼比3个谱量：个谱量：加速度、速度、加速度、速度、位移反应谱位移反应谱024681 01 21 41 61 82 0-0 .1 5-0 .1 0-0 .0 50 .0 00 .0 50 .1 00 .1 5024681 01 21 41 61 82 0- 0 .1 5- 0 .1 0- 0 .0 50 .0 00 .0 50 .1 00 .1 50.010.1110110100T (sec)Sa (T)(gal)14.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析位移反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(

17、smax0)(gd)(sin)(1ttdtexS 15相对速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS .单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析16绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS .单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析17相对位移反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点地震反应谱的特点1.阻尼

18、比对反应谱影响很大阻尼比对反应谱影响很大2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。对于位移反应谱，幅值随周期增大。.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析地震动的工程特性分析地震动的工程特性分析地震动反应谱地震动反应谱 地震动反应谱的重要性地震动反应谱的重要性 反映了地震

19、动的频谱特性反映了地震动的频谱特性 直接给出了不同结构的最大反应直接给出了不同结构的最大反应 结构抗震设计规范中普遍采用的规定结构抗震设计规范中普遍采用的规定地震动的工程特性分析地震动的工程特性分析地震动反应谱地震动反应谱 地震动反应谱与地震动峰值的关系地震动反应谱与地震动峰值的关系 加速度反应谱（极）高频处的值加速度反应谱（极）高频处的值趋近趋近地震动峰值地震动峰值加速度加速度 加速度反应谱中频段的值加速度反应谱中频段的值与与地震动峰值速度有关地震动峰值速度有关 加速度反应谱低频段的值加速度反应谱低频段的值与与地震动峰值位移有关地震动峰值位移有关0.110.1 T(sec)Sa(T)(Gal

20、)20不同场地条件对反应谱的影响不同场地条件对反应谱的影响将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱 地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力地震作用转化为最大的等效侧向力。gSa/周期（s)岩石坚硬场地厚的无粘性土层软土层结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。.单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析21.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及

21、其反应谱 3.3.13.3.1水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式 根据运动方程，可求得作用于单自由度弹性体系质点上的根据运动方程，可求得作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为：惯性力为： 上式中阻尼力相对于弹性恢复力来说是一个可以略去的微量，上式中阻尼力相对于弹性恢复力来说是一个可以略去的微量，故：故： 这样，在地震作用下，质点在任一时刻的这样，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。时刻的瞬时惯性力成正比。 因此，可认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然因此，可认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是真实作用于质点

22、上的力，但惯性力对结构体系的惯性力并不是真实作用于质点上的力，但惯性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用效果相当，所以作用和地震对结构体系的作用效果相当，所以对于单自由度体对于单自由度体系，把系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力， 用它的用它的最大值对结构进行抗震验算最大值对结构进行抗震验算，就可以使抗震设计这一动，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算静力计算问题。问题。)()()(txckxtxtxmg kxtxtxmg)()( 22.单自由度弹性体系的水平地震作用及

23、其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为agmStxtxmtFFmaxmax)()()( GkGgtxtxSmgggamaxmax)()( mgG -集中于质点处的重力荷载代表值；g-重力加速度gtxkgmax)( -地震系数max)(txSga -动力系数k-水平地震影响系数23.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 . . .标准反应谱标准反应谱 水平地震作用：水平地震作用： . .地震系数地震系数k k：表征地面运动强烈程度：表征地面运动强烈程度 它表示地

24、面运动的它表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比最大加速度与重力加速度之比。一般地，。一般地，地面运动加速度愈大，则地震烈度愈高，故地震系数与地地面运动加速度愈大，则地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间存在着一定的对应关系。震烈度之间存在着一定的对应关系。 根据统计分析，根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数将增加一倍。烈度每增加一度，地震系数将增加一倍。 . .动力系数动力系数：GkGgtxtxSmgmSFggaamaxmax)()( gtxkgmax)( max)(txSga 24.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱它表示单质点最大绝对加速

25、度与地面最大加速度的比值，表它表示单质点最大绝对加速度与地面最大加速度的比值，表示由于动力效应，示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大了多少倍了多少倍。从上式可知，动力系数与地面运动加速度，结构自振周期以及阻尼比从上式可知，动力系数与地面运动加速度，结构自振周期以及阻尼比有关。有关。与的关系曲线称为与的关系曲线称为谱曲线谱曲线，它实际上就是相对于地面加速度，它实际上就是相对于地面加速度的加速度反应谱，两者在形状上完全一样。的加速度反应谱，两者在形状上完全一样。.地震影响系数地震影响系数：当基本烈度确定，地震系数为常数，当基本烈度确定，地

26、震系数为常数，仅随仅随变化变化建筑结构的建筑结构的地震影响系数地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。和结构自振周期以及阻尼比确定。max0)(2gmaxd)(2sin)(12ttTgtTexxT kgSa25.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱. .标准反应谱标准反应谱由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度，每次地震的由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度，每次地震的地面加速度记录也很不一致，因此需要地面加速度记录也很不一致，因此需要根据大量的强震记录计算根据大量的强震

27、记录计算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出最有代表，然后统计求出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱曲线。标准反应谱曲线。各种因素对反应谱的影响各种因素对反应谱的影响（a a）场地条件对）场地条件对谱曲线的影响；（谱曲线的影响；（b b）同等烈度下震中距对加速度谱曲线的影响）同等烈度下震中距对加速度谱曲线的影响26.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱根据不同地面运动记录的统计分析可以看出，根据不同地面运动记录的统计分析可以看出，场地土的特性、场

28、地土的特性、震级以及震中距等都对反应谱曲线震级以及震中距等都对反应谱曲线有比较明显的影响。有比较明显的影响。结构的自振周期与场地的自振周期接近时，结构的地震反应结构的自振周期与场地的自振周期接近时，结构的地震反应最大。最大。因此，在进行结构的抗震设计时，应使结构的自振周期远因此，在进行结构的抗震设计时，应使结构的自振周期远离场地的卓越周期，以避免发生类共振现象。离场地的卓越周期，以避免发生类共振现象。一般地，当烈度基本相同时，一般地，当烈度基本相同时，震中距远时加速度反应谱的峰震中距远时加速度反应谱的峰点偏于较长的周期，近时则偏于较短的周期点偏于较长的周期，近时则偏于较短的周期。因此，在离大地

29、震。因此，在离大地震震中较远的地方，震中较远的地方，高柔结构因其周期较长所受到的地震破坏高柔结构因其周期较长所受到的地震破坏，将，将比同等烈度下较小或中等地震的震中区所受到的破坏严重，比同等烈度下较小或中等地震的震中区所受到的破坏严重，而刚而刚性结构的地震破坏情况则相反性结构的地震破坏情况则相反。. . .设计反应谱设计反应谱为了便于计算，为了便于计算，抗震规范抗震规范采用相对于重力加速度的单质采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即点绝对最大加速度，即与体系自振周期之间的关系作为设计与体系自振周期之间的关系作为设计用反应谱。用反应谱。27.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由

30、度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 )(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT -地震影响系数；max-地震影响系数最 大值； 地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影响烈度 括号数字分别对应于设计基本加速度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和和0.30g地区的地震影响系数地区的地震影响系数T-结构周期；28gT-特征周期；)(sT01 . 0gT

31、gT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三组0.75 0.55 0.400.30第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组 场地类别-曲线下降段的衰减指数；1-直线下降段的斜率调整系数；2-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。55 . 005. 09 . 08/ )05. 0(02. 017 . 106. 005. 012.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱29解：解：（1）求结构

32、体系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2）求水平地震影响系数查表确定max16. 0max地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影响烈度例：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计

33、地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。遇地震时的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5m.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱30查表确定gT3 . 0gT地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三组0.75 0.55 0.400.30第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组 场地类别例：单层单跨框架。

34、屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多。试求该结构多遇地震时的水平地震作用遇地震时的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5m解：解： （1）求结构体系的自振周期s336. 0T（2）求水平地震影响系数16. 0maxggTTT5max2)(TTg)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45.

35、 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱31解：例：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 ,阻尼比为阻尼比为0.05

36、。试求该结构多。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。遇地震时的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1）求结构体系的自振周期kN/m24960Kt4 .71ms336. 0T（2）求水平地震影响系数16. 0maxh=5m3 . 0gT144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3）计算结构水平地震作用kN8 .100700144. 0GF.单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱32.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法 .计算简图计算简图 多自由度弹性体系多自由度弹性体系：

37、对于多层或高层工业与民用建筑等，：对于多层或高层工业与民用建筑等，则应简化为多质点体系来计算，这样才能比较真实地反映则应简化为多质点体系来计算，这样才能比较真实地反映其动力性能。其动力性能。 按按质量集中法质量集中法将将i和和i+1层之间的结构重力荷载和楼面活层之间的结构重力荷载和楼面活荷载集中于楼面标高处，由无重量的弹性直杆支撑于地面荷载集中于楼面标高处，由无重量的弹性直杆支撑于地面上，这样就将多层或高层结构简化为了多质点弹性体系。上，这样就将多层或高层结构简化为了多质点弹性体系。 对于一个多质点对于一个多质点 体系，当体系只有单体系，当体系只有单 向振动时，则有多少向振动时，则有多少 个质

38、点就有多少个自个质点就有多少个自 由度。由度。ii+1m1m2mimn333.4.2 多自由度弹性体系动力分析回顾多自由度弹性体系动力分析回顾1.自由振动分析自由振动分析 0ykym 运动方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 设方程的特解为)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-频率方程频率方程-振型方程振型方程.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法34解:

39、例.求图示体系的频率、振型. 已知:.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX 618. 111X 618. 012X11.61810.618 1X 2X.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法35按振型振动时的运动规律按振型振动时的运动规律m1)(1tym2)

40、(2ty)sin()()sin()(2211iiiiiitXtytXty按按i振型振动时，质点的位移为振型振动时，质点的位移为质点的加速度为)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 质点上的惯性力为)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 质点上的惯性力与位移同频同步。11X21X211iiXm222iiXm 振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。起的静位移。.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的

41、振型分解法362.振型的正交性振型的正交性i振型 NiiiiXXXX21i振型上的惯性力振型上的惯性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121 iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型 NiiiiXXXX21i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作的虚功振型上作的虚功jiijiiijXXmXXmW22221121 iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振型j振型.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法37j振型上的惯性力 jjNiiNiiiiXmXmXmX

42、m222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作振型上作的虚功的虚功 iTjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型j振型上的惯性力在振型上的惯性力在i振型上作的虚功振型上作的虚功 jTijjiXmXW2 iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虚功互等定理由虚功互等定理 0)(22iTjijXmX 0iTjXmX.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法381m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型jj

43、Xm121jjXm222NjjNXm2振型对质量正交性的物理意义振型对质量正交性的物理意义 02iTjiijXmXWi振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作振型上作的虚功等于的虚功等于0振型对刚度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX由虚功互等定理由虚功互等定理 0iTjXmX 0)(22iTjijXmXijjiWW .多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法39振型对质量正交性的物理意义振型对质量正交性的物理意义 02iTjiijXmXWi振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作振型上作的虚功等于的虚功等于0振

44、型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0iTjXkX振型对刚度正交性的物理意义振型对刚度正交性的物理意义 iXkP 0iTjTjXkXPX i振型上的弹性力在振型上的弹性力在j振型上作的振型上作的虚功等于虚功等于01m2mjX1NmjX2NjXi振型j振型iX11P2PNPiX2NiX.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法40振型正交性的应用振型正交性的应用1.检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。例例:试验证振型的正确性试验证振型的正确性 mmm22.对耦联运动微分方程组作解对耦联运动微

45、分方程组作解 耦运算等等耦运算等等. 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 0200123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法41（1）能量法计算基本周期）能量法计算基本周期3.自振频率和振型的实用计算方法自振频率和振型的实用计算方法)sin()(iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN设体系按设体系按i振型作自由振动。振

46、型作自由振动。速度为)cos()(iiiitXty 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法不需要计算自振不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。周期外，其余均需计算自振周期。计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。t时刻的位移为.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法42（1）能量法计算基本周期）能量法计算基本周期)sin()(

47、iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN设体系按i振型作自由振动。速度为)cos()(iiiitXtyt时刻的位移为动能动能为为)(21)(21)(21)(2222211tymtymtymtTNNi)()(21tymtyT)(cos2122iiiiTitXmX势能为势能为 )(sin21)(2iiiTiitXkXtU.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法43（1）能量法计算基本周期)sin()(iiitXty1mNm)(1ty)(2ty)(tyN设体系按i振型作自由振动。速度为)cos()(iiiitXtyt时刻的位移为动能为)(cos2

48、1)(22iiiiTiitXmXtT势能为 )(sin21)(2iiiTiitXkXtU最大动能为最大动能为2max21iiTiiXmXT iTiiXkXU21max最大势能为最大势能为由能量守恒，有由能量守恒，有maxmaxiiUT iTiiTiiXmXXkX2 通常将重力作为荷载所引通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频起的位移代入上式求基本频率的近似值。率的近似值。.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法441mNm1G1u2GnGnu2uniiiiniiumguGU11max221niiiumT121max)(21maxmaxUTnii

49、niiiiumumg1212111/2T2m/s8.9gniiniiiiuGuGT11212.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法45解解:例例.已知已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求结构的基本周期。2kG21kG11G2G2u1u（1）计算各层层间剪力kNV7003004001kNV3002（2）计算各楼层处的水平位移mkVu049.014280/700/111mkVkVu077.010720/300049.0/22112（3）计算基本周期niiniiiiuGuGT11212s508.0077.03

50、00049.0400077.0300049.0400222.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法46（2）等效质量法（折算质量法）等效质量法（折算质量法）1mNm1xnxeqMmx将多质点体系用单质点体系代替。多质点体系的最大动能为niiixmT121max1)(21单质点体系的最大动能为21max2)(21meqxMTmax2max1TTmx-体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；212mniieqxxmMieqM11eqMT21-单位水平力作用下顶点位移。.多自由度弹性体系地震反应分析

51、的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法47212mniieqxxmMieqMT21解:例.已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求结构的基本周期。2kG21kG12x1xkNF1eqM2xmkFx5111000.714280/1/10720/11000.7/5212kFkFxmxxm521033.16212mniieqxxmMit11.38)1033.168 .9)1033.16(300)107(400252525（eqMT21s496.01033.1611.3825m51033.16能量法的结果为T1=0.508s.多自由度弹性体系地

52、震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法48（3）顶点位移法）顶点位移法对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。体系按弯曲振动时体系按弯曲振动时抗震墙结构可视为弯曲型杆。EIm无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为02244tymxyEI悬臂杆的特解为tTxXtxyiii2sin)(),(振型基本周期为EImlT/78.121qTu重力作为水平荷载所引起的位移为EIqluT8/4gmq TuT6.11TuglEIm48.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法49体系按剪切振动时体系按剪切振动时框架结构可近似视为

53、剪切型杆。无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为02222tymxyGA悬臂杆的特解为tTxXtxyiii2sin)(),(振型基本周期为GAmlT/41GAmqTu重力作为水平荷载所引起的位移为GAqluT2/2gmq TuT8.11xlixXi2)12(sin)(GAmilTi/124TuglGAm22.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法50体系按剪弯振动时框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。基本周期为TuT7.11.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法51（4）自振周期的经验公式）自振周期的经验公式

54、根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期（2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期31/35.022.0BHTH-房屋总高度；B-所考虑方向房屋总宽度。321/00069.033.0BHT（3）高度低于50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期31/038.004.0BHT（4）高度低于35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期35.21/0015.029.0BHT.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法52 在实测统计基础上，再忽略

55、房屋宽度和层高的影响等，有下列更粗略的公式（1）钢筋混凝土框架结构（2）钢筋混凝土框架-抗震墙或钢筋混凝土框架-筒体结构NT)10.008.0(1N-结构总层数。NT)08.006.0(1（3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构NT)05.004.0(1（4）钢-钢筋混凝土混合结构NT)08.006.0(1（5）高层钢结构NT)12.008.0(1.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法53矩阵迭代法（矩阵迭代法（StodolaStodola法）法）（5） 结构振型的计算结构振型的计算有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。柔度法建立的振型方程 Xm

56、X2令 mD-动力矩阵 XDX 21-标准特征值问题刚度法建立的振型方程 XmXk2-广义特征值问题迭代式为 nnXmX21.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法54例: 用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型.假设第一振型解: 39.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106 1111312110 xxxXmMNk/1952mMNk/2451mMNk/983tm2701tm2702tm1803（1）求柔度矩阵（2）求第一振型第一次迭代近似值000. 1740. 0415. 0104 .7070111

57、18000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216211312111xxx nnXmX21.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法55第一次迭代近似值000. 1740. 0415. 0104 .707011118000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216211312111xxx第二次迭代近似值000. 1682. 0347. 0107 .5781000. 1740. 0415. 018

58、000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216221312111xxx第三次迭代近似值000. 1670. 0336. 0105 .5562000. 1682. 0347. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216231312111xxx第四次迭代近似值000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1670. 0336. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 9

59、08. 408. 408. 408. 4106216241312111xxx.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法56第四次迭代近似值000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1670. 0336. 018000027000027039.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106216241312111xxx 000. 1667. 0334. 01312111xxxx XmX2000. 1667. 0334. 0100 .5521000. 1667. 0334. 062162110

60、0 .55211rad/s46.13100 .5521161.多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法57例: 用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型.解: 39.1918. 908. 418. 918. 908. 408. 408. 408. 4106mMNk/1952mMNk/2451mMNk/983tm2701tm2702tm1803（1）求柔度矩阵（2）求第一振型 000. 1667. 0334. 01312111xxxxrad/s46.13100 .5521161（3）求第二振型23222162223222118000027000027039