第七章离散时间系统的时域分析2

1、1第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析7.1引言引言7.6卷积（卷积和）卷积（卷积和）7.5离散时间系统的单位样值响应离散时间系统的单位样值响应7.4常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解7.3离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型7.2离散时间信号离散时间信号序列序列本章要点本章要点作业作业27.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，基本形式：线性差分方程，基本形式：)() 1() 1()(110NnyaNnyanyanyaNN)()()()(Mnxb1

2、Mxb1nxbnxbN1N10MrrNkkrnxbknya00)()(或写成或写成 在差分方程中，各序列的序号自在差分方程中，各序列的序号自n以递减方以递减方式给出，称为后向式给出，称为后向(或右移序或右移序)差分方程。差分方程。34、变换域法（、变换域法（Z变换法）变换法）逐次代入求解，逐次代入求解， 概念清楚，概念清楚， 比较简便比较简便,适用于计算机，不易得出通式解答。适用于计算机，不易得出通式解答。1、迭代法、迭代法2、时域经典法、时域经典法、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同，零状零输入响应求解与齐次通解方法相同，零状态响应求解可

3、利用卷积和法求解态响应求解可利用卷积和法求解求解常系数线性差分方程的方法求解常系数线性差分方程的方法全响应齐次解全响应齐次解 特解特解自由响应自由响应 强迫响应强迫响应4一、时域经典解法一、时域经典解法1、齐次解、齐次解一般差分方程对应的齐次方程的形式为：一般差分方程对应的齐次方程的形式为：一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次解的形式为的齐次解的形式为Can 的项组合而成。的项组合而成。00NkknkCa消去常数消去常数C，并逐项除以，并逐项除以Can-N 。0)() 1() 1()(110NnyaNnyanyanyaNN500NkknkCa011

4、100NNNNNkkNkaaaaa 上式为齐次方程的特征方程，其根上式为齐次方程的特征方程，其根 称为方程的特征根。称为方程的特征根。N,21消去常数消去常数C，并逐项除以，并逐项除以Can-N 得到：得到：6非重根时的齐次解非重根时的齐次解NknkknNNnnCCCC02211k 次重根时的齐次解次重根时的齐次解kinikinkkkknCCnCnCnC11112211)(01110NNNNaaaaN,21特征根：特征根：7共轭根时的齐次解共轭根时的齐次解02, 1jejbannjbaCjbaCny)()()(21有一个有一个 k 重复根时的齐次解重复根时的齐次解012211012211sin

5、)(cos)()(nDnDnDnDnCnCnCnCnynkkkknkkkk0201sincosnCnCnn01110NNNNaaaaN,21特征根：特征根：80)(6) 1(5) 2(nynyny初始条件为初始条件为 y(0)=2和和 y(1)=3，求方程的齐次解。，求方程的齐次解。例例.系统的差分方程系统的差分方程特征根为特征根为. 3, 221nnhCCny) 3()2()(21于是于是由初始条件由初始条件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齐次解故齐次解nnhny3)2( 3)(0) 3)(2(652解：特征方程为解：特征方程为92、特解、特解 特解

6、得求法：将激励特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。的形式有关。（1）自由项为）自由项为nk 的多项式的多项式1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1是是k重特征根：重特征根：)()(2110kkkkpDnDnDnny10（2）自由项为）自由项为na 不是特征根，则特解不是特征根，则特解anpDany)( 是特征单根，则特解是特征单根，则特解anpaDnDny)()(21 是是 k 重特征根，则特解重特征根，则特解ankkkpaDnDnDny)()(1221111(3

7、)(3)自由项为正弦自由项为正弦 或余弦或余弦 表达式表达式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn(4)自由项为正弦自由项为正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je12例例7-9： 求下示差分方程的求下示差分方程的完全解完全解) 1()() 1(2)(nxnxnyny其中激励函数其中激励函数 ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程解：特征方程：022齐次通解齐次通解：nc)2(将将 代入方程右端，得代入方程右端，得:)(

8、nx设特解为设特解为 形式，代入方程得形式，代入方程得 21DnD12) 1() 1()(22nnnnxnx1312) 1( 22211nDnDDnD比较两边系数得比较两边系数得:12323121DDD解得解得完全解为完全解为:9132)2()(ncnyn代入边界条件代入边界条件 ，求，求1) 1(yc91) 1(32)2(1nc98c得得9132)2(98)(nnyn91,3221DD) 1()() 1(2)(nxnxnyny14经典法不足之处经典法不足之处: :若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若差分方程右边

9、激励项较复杂，则难以处理。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。响应的物理概念。15二、离散系统的零输入响应和零状态响应二、离散系统的零输入响应和零状态响应系统的完全响应（差分方程的完全解）可表系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。特解）之和。)()(1nDCnyNknkk根据边界条件及激励的不同，完全响应也根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和

10、。可分为零输入响应和零状态响应之和。)()()(nynynyzszi16)()()(nynynyzszi 当起始状态当起始状态y(-1)=y(-2)= =y(-N) =0时，由系统的激励时，由系统的激励x(n)所产生的响应。它是自所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。由响应的另外部分加上强迫响应。)(nyzs 当激励当激励x(n)=0时，由系统的起始状态时，由系统的起始状态y(-1), y(-2), y(-N)所产生的响应。它是齐所产生的响应。它是齐次解的形式，它是自由响应的一部分。次解的形式，它是自由响应的一部分。)(nyzi171 Nnkkpky nCyn 强 迫 响 应自 由

11、 响 应11 NNnnzikkzskkpkkCCyn 零输入响应零状态响应()kzikzskCCC181、零输入响应、零输入响应 输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初始储能引起的响应。由初始储能引起的响应。注意注意： 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件；状态引起的初始条件； 初始条件为初始条件为 M 个任意时刻的响应值，故零个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀输入响应的表达式不再加写后缀 n0。19例：求例：求离散时间系统的零输入响应离散时间系统的零输入响应) 1(3)()2

12、(2) 1(2)(nxnxnynyny解：齐次方程为解：齐次方程为0)2(2) 1(2)(nynyny特征方程为特征方程为 0222特征根为特征根为42412121jjejej，3) 1 (, 1)0(ziziyy已已知知初初始始条条件件4sin4cos)2()(21ncncnynzi204sin4cos)2()(21ncncnynzi代入初始条件代入初始条件1)0(1 cyzi321212) 1 (21ccyzi2121cc，解解得得4sin24cos)2()(nnnynzi例：求离散时间系统的零输入响应例：求离散时间系统的零输入响应) 1(3)()2(2) 1(2)(nxnxnynyny3

13、) 1 (, 1)0(ziziyy已已知知初初始始条条件件21例：求例：求离散时间系统的零输入响应离散时间系统的零输入响应) 1(3)()2(6) 1(5)(nxnxnynyny解：齐次方程为解：齐次方程为0)2(6) 1(5)(nynyny特征方程为特征方程为 0652特征根为特征根为3221，4) 1 (, 1)0(ziziyy已已知知初初始始条条件件nnziccny32)(2122代入初始条件代入初始条件432)1(21ccyzi1)0(21ccyzi2121cc，解得)3(22)(nnziny例：求离散时间系统的零输入响应例：求离散时间系统的零输入响应) 1(3)()2(6) 1(5)

14、(nxnxnynyny4) 1 (, 1)0(ziziyy已已知知初初始始条条件件nnziccny32)(21232、零状态响应、零状态响应 零状态响应可以直接求解非齐次差分方程得零状态响应可以直接求解非齐次差分方程得到。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激到。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件，确定待定系数。励引起的初始条件，确定待定系数。若激励在若激励在 n= 0时接系统，根据系统的因果性，时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为零状态条件为y(-1)=y(-2)=. . . y(-N)=0离散时间系统计算零状态响应也常用离散时间系统计算零状态响应也常用卷积卷积分分析法。

15、析法。24)()()(nynynyzszi0| )(0nzsny000| )(| )(| )(nzsnzinnynyny00| )(| )(nzinnyny000| )(| )(| )(nzsnzinnynyny25边界条件不一定由边界条件不一定由 这一组数字给出。对于因果系统，常给定这一组数字给出。对于因果系统，常给定 为边界条件。为边界条件。 如果已知如果已知 欲求欲求 可用迭代求出。可用迭代求出。) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy)(,),3(),2(),1(Nyyyy) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy)(,),3(),2(),1(Nyyyy26例例: 已知描述系

16、统的一阶差分方程为已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件）边界条件 ，求，求（2）边界条件）边界条件 ，求，求 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y , zizsynyny n和。解解: (1)起始时系统处于零状态，所以，起始时系统处于零状态，所以， 0ziyn 3121DD,32D12 ( )23nzsy nynC齐次解为齐次解为 , 设特解为设特解为D, 1( )2nC由由y-1=0可求出可求出,31C所以所以: 1 12 ( )(0)3 23nzsy nynn 27解：解： 先求零状态响应，此即为（先求零状态响应，此即为（1）的结果）的结果1

17、 12 ( )(0)3 23nzsynn 再求零输入响应，令再求零输入响应，令: 1 ( )2nziziynC由由y-1=1可求出可求出:12ziC 所以，所以，1 1 ( )2 2nziyn 11 1 23y ny nu n（2）边界条件）边界条件 ，求，求 11y , zizsynyny n和。 完全响应完全响应11112()()22323112()(0 )623z iz snnnynynynn11112()()22323112()(0)623zizsnnnynynynn11112()()22323112()(0 )623z iz snnnynynynn28506y，则由原差分方程可迭代出

18、，则由原差分方程可迭代出y-1。 如果在求如果在求 时给出的边界条件是时给出的边界条件是y0, 则则需要用迭代法求出需要用迭代法求出y-1。在本例。在本例(2)中，若已知中，若已知 ziyn11 1 23y ny nu n110 123yy151 12021363yy29三、离散时间系统的转移算子：三、离散时间系统的转移算子：a. E算子算子 又称超前算子，它表示将序列向前又称超前算子，它表示将序列向前（向左）移一位的运算。（向左）移一位的运算。)2()() 1()(2nynyEnynEy一一位位的的运运算算。序序列列向向后后（向向右右）移移又又称称迟迟后后算算子子，表表示示将将 b、算算子子

19、E E1 1)2111y(ny(n)E)y(ny(n)E30c、利用算子符号解差分方程、利用算子符号解差分方程)()(nuanaEEn)()(tuetappat317.5离散时间系统的单位样值响应离散时间系统的单位样值响应1、迭代法、迭代法 例例:已知已知 yn-1/3yn-1=xn, 试求其单位样试求其单位样值响应值响应 hn。)()(ttx系统系统连续系统：连续系统：( )( )zsyth t一、一、h(n)的求法：的求法：nnx系统系统离散系统：离散系统：nhnyzs32对于因果系统，对于因果系统， h-1=0 , x-1=-1=0210100113111013311212()33111

20、()33nhhhhhhh nh nn1,01 330,0nnnhnunn yn - 1/3 yn-1 = xnhn - 1/3hn-1 =n- 齐次解的形式齐次解的形式210100113111013311212()33111()33nhhhhhhhnhnn1, 0 1330 ,0nnnhnunn 3313即即 1 ( )3nh nC2、将输入转化为初始条件、将输入转化为初始条件yn - 1/3 yn-1 = xnhn - 1/3hn-1= n即即由由 h-1=0 通过上述差分方程可迭代出通过上述差分方程可迭代出h0=1,将将 h0=1作为边界条件作为边界条件031特征方程为特征方程为由由h0=

21、1可求出可求出 C = 11 ( ) 3nh nu n34例例7-14：系统差分方程式为系统差分方程式为 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系统的单位样值响应。求系统的单位样值响应。利用线性时不变特性，利用线性时不变特性，解：解： 5 1 6 2 3 2h nh nh nnn 1 20hh n1 h n3 2n13 2h n11 3 2h nh nh n这样，这样，35 求齐次解，写出特征方程求齐次解，写出特征方程0652齐次解为齐次解为1232nnCC111 5 16 2 h nh nh nn11 1 20hh2, 321由由 迭代出迭代出11 1 2 0hh 10 1

22、h111 (32) nnh nu n将将 作为边界条件，可求出作为边界条件，可求出:11 1 0,0 1hh 2, 321CC（1）先求）先求1 h n36（2）系统的单位样值响应为）系统的单位样值响应为11 3 2h nh nh n111 (32) nnh nu n1111(32) 3(32) 2nnnnu nu n1111(32) 123(32) 2nnnnnnu nu n1 5 1(2 32) 2nnnnu n37二、根据单位样值响应分析系统的因果性二、根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性和稳定性因果性：输入变化不领先于输出变化因果性：输入变化不领先于输出变化必要条件必要条件稳定性：

23、输入有界则输出必定有界稳定性：输入有界则输出必定有界充分条件充分条件0)(0nhnnnh)(0)(limnhn38例：已知某系统的例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？ )()(nuanhn因果因果系统系统)(|)(nuanhnnn有界有界稳定稳定发散发散不稳定不稳定0)()(0)(0nuanhnunnaaaaan111111139因果系统和非因果系统因果系统和非因果系统 对于差分方程来说，激励的最高对于差分方程来说，激励的最高序号不能大于响应函数的最高序号，序号不能大于响应函数的最高序号，否则系统为非因果系统。否则系统为非因果系统。)(3

24、)3()(2) 1(2)2(nxnxnynyny)(3)3()(2) 1(2)2(nxnxnynyny)0(3)3()0(2) 1 (2)2(xxyyy407.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和）mmmnhmxmnmxnyzs一、一、 推导求零状态响应的离散线性卷积公式推导求零状态响应的离散线性卷积公式 mx nx mnm设设 nh n则则nmh nm x mnmx m h nm即即: zsmynx m h nm x nh nnx411、交换律、结合律和分配律、交换律、结合律和分配律12122121 mmx nx nx m x nmx m x nmx nx n1）交换律）交换律 my nx m h

25、 nm x nh n省略下标，简写为：省略下标，简写为：二、二、 离散线性卷积的性质离散线性卷积的性质422)结合律结合律 123123 x nx nx nx nx nx n x n y n12 h nh n级联：级联： x n1 h n2 h n y n*1nhnx*)*(21nhnhnx43并联：并联： x n y n1 h n2 h n x n y n12 h nh n*1nhnx*2nhnx3)分配律分配律 1231213 x nx nx nx nx nx nx n*21nhnxnhnx)(*21nhnhnx442、移位性质、移位性质12112212 y nx nx nx n nx n

26、 ny n nn若则3、其它性质、其它性质00 x nn nx n n x nnx n nmmx nu nx mu n mx m45三三 离散线性卷积的计算离散线性卷积的计算 my nx m h nm图解法图解法反褶、平移、相乘、求和四个步骤反褶、平移、相乘、求和四个步骤h-m、 hn-m、xm hn-m、 mx mhn m46 n mmmy nx mh n mu mu m N au n mhn或hmxn或xmn或mn或m例例7-15：某系统某系统 hn=an un, 0a1 xn=un-un-N, 求求yn=xn hn471)当当n0时，时，hn-m和和xm相乘为零。相乘为零。yn=02)当

27、当 时时01nNN-1(1)1001 1nnnn mnmnmmay naaaaa483）当）当 时时 ， nN111001 1NNNn mnmnmmay naaaaamnhn-mN-11 249nyn(1)1111 11nNnnaay nau nu nNau nNaa(1)(1)111 11nNnnnaaaau nau n Naa50设线性时不变系统的单位样值响应设线性时不变系统的单位样值响应 h(n) 的非零区间为：的非零区间为：而输入而输入 x(n) 的非零区间为：的非零区间为：10NnN32NnN则响应则响应 y(n) 的非零区间为：的非零区间为：3120NNnNN51例例1：求求 y

28、nx nh n h nn321120 x nn31120解法一：列表法解法一：列表法 1 1 1 1 x m 3 2 1hm01 33y 11 2 1 35y 21 1 1 21 36y 31 1 1 2 1 36y 41 1 1 23y 51 11y 60y 3 2 11hm 3 2 12hm 3 2 13hm 3 2 14hm 3 2 15hm 3 2 16hm52 h nn321120 x nn31120解法二：解法二：不进位乘法乘法不进位乘法乘法1 2 3 4 3 2 11 2 3 42 4 6 83 6 9 123 8 14 20 11 44 ,11,20,14, 8 , 3ny53

29、本章内容1.离散信号的基本运算离散信号的基本运算 相加相加 相乘相乘 移位移位 折叠折叠 差分差分 求和求和2.常用的离散信号及其表示方法常用的离散信号及其表示方法 单位样值序列、单位阶跃序列单位样值序列、单位阶跃序列 3.离散系统的差分方程、离散系统的模拟离散系统的差分方程、离散系统的模拟4.常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 经典法求解齐次差分方程经典法求解齐次差分方程 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应54本章内容5.离散系统的单位样值响应离散系统的单位样值响应 单位函数响应：直接法单位函数响应：直接法 间接法间接法6.卷积和卷积和 图解法图解法 不进位乘法解析法

30、不进位乘法解析法55教学要求教学要求 1.理解离散信号的表示方法和运算理解离散信号的表示方法和运算 2.掌握典型离散信号掌握典型离散信号(n)和和u(n)。 3.了解离散时间系统数学模型的建立。了解离散时间系统数学模型的建立。 4.掌握离散系统的时域分析法掌握离散系统的时域分析法(经典法、迭代法经典法、迭代法及卷积和及卷积和)。 5. 掌握离散系统的零输入响应和零状态响应得掌握离散系统的零输入响应和零状态响应得求解求解。(边界条件的转换边界条件的转换)56教学要求教学要求 6. 掌握离散时间系统的单位样值响应；掌握利掌握离散时间系统的单位样值响应；掌握利用用h(n)判断系统稳定性与因果性。判断

31、系统稳定性与因果性。 7. 掌握离散卷积和的定义，时限序列卷和的不掌握离散卷积和的定义，时限序列卷和的不进位乘法；了解图解法求卷积和。进位乘法；了解图解法求卷积和。57本章习题：本章习题：7-1， 7-2， 7-5， 7-9，7-12， 7-15，7-16，7-18，7-28， 7-31，7-32 例例7-9 例例7-1358作业 7-1 （2）（）（4）（）（6） 7-2（2）（）（3）7-1659例例 描述离散时间系统的差分方程为描述离散时间系统的差分方程为，)()(8) 1(12)2(6) 3(nxnynynyny解：特征方程为解：特征方程为0)2(8126323nzinCnCCny)2)()(232123) 3(2)2(1) 1 ()()(yyynunx，初初始始条条件件为为激激励励在差分方程中，令在差分方程中，令