函数的概念及基本特性

1、 1.1 函数的概念及基本特性函数的概念及基本特性一、概念1.1.区间区间(interval): :是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记记作作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.定义定义1.1),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.bxax bxax 称为半闭半开区间称为半闭半开区

2、间,称为半开半闭区间称为半开半闭区间,),ba记作记作,(ba记作记作定义定义1.2 1.2 邻域邻域(neighborhood): :且是两个实数与设, a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU记记作作xa a a . 0),(0 axxaU,. 0邻域的称为点数集 aaxx 点点 的去心的去心 邻域邻域a xa a a 把开区间把开区间),( aa称为称为a 的左的左邻域，邻域，把开区间把开区间),(aa 称为称为a 的右的右邻域，邻域，因变量因变量自变量自变量.),(ffDxxfyyZZ)(xfy 2、

3、函数的概念及其表示法D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df ，即，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：定义 3 . 1 设设D为一个非空数集，如果按照某种对应规则为一个非空数集，如果按照某种对应规则f，对于任意一个对于任意一个 ，都存在唯一的实数，都存在唯一的实数y与之与之对应，则称对应规则对应，则称对应规则f为定义在数集为定义在数集D上的一个函数上的一个函数，Dx常用函数的表示法有三种：图示法，表格法和公常用函数的表示法有三种：图示法，表格法和公式法式法3.分段函数分段函数在实际应用中经常遇到这样的函数：在定义域的各个不相交的子集

4、（多为子区间）上，函数分别用不同的解析表达式表示，这类函数成为分段函数(1) 绝对值函数绝对值函数00 xxxxxy (2) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷（狄利克雷（Direchlet）函数）函数(4) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线xxxx 1显然显然:4. 函数的定义域的求法函数的定义域的求法设设 的定

5、义域为的定义域为 ，按照函数的定义，按照函数的定义， 中的点中的点x应是使应是使 有意义的实数集合，有意义的实数集合，而对于实际问题中的函数，其定义域应结合问而对于实际问题中的函数，其定义域应结合问题的实际意义确定。题的实际意义确定。)(xfy fD)(xfy fD1函数的单调性函数的单调性(monotonicity):,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;I上上是是单单调调增增加加的的),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI()fx则则称称函函数数在在区区

6、间间四、函数的几种特性)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 2函数的有界性函数的有界性(bounded):.)(否否则则称称为为无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf3函数的奇偶性函数的奇偶性(parity):偶函数偶函数有对于轴对称关于设,DxyD则则,)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD 则则),()(xfxf .)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函数的周期性函数的周期性(periodicity):2l 2l23l 23l（通常说周期函数的周期是指（通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为