第8章_概率论基本概念_习题答案

1、第八章第八章 概率论基本概念概率论基本概念习习 题题1. 试将下列事件用试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。间的运算关系表出。（1）A 出现，出现，B、C不出现：不出现：CBA（2）A 、B、C都出现：都出现：ABC（3）A 、B、C至少一个出现：至少一个出现：CBA（4）A 、B、C都不出现：都不出现：（5）不多于一个事件出现：）不多于一个事件出现：（6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现（7）A、B、C中至少二个出现：中至少二个出现：CBACBACBACBACBACBAACBCAB3. 化简下列各式：化简下列各式：（1）)()(CB

2、BA解：原式解：原式 BACCASBACBCABBSACBCABBACBCBBACABCBBA )()()(（2）)()(BABA解：原式解：原式 ABAABAABABBABBAAA （3）)()()(BABABA解：原式解：原式ABABAABAA )(4. 一套书分一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好按照按照1234顺序排列的概率是多少？顺序排列的概率是多少？解：解：241144 AP5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立个同样大小的正立方体，混合后从中任取一块，问取得有两面

3、涂上颜色的小立方方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色的小立方体的概率是多少？体的概率是多少？解：有两面涂上颜色的小立方体共有解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个个444. 094127112 CCP6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字个带不同数字0,1,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则可的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下，能打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下，能打开锁的概率。打开锁的概率。解：号码盘所有可能的组合为解：号码盘所有可能

4、的组合为101010种，其中只有一种可种，其中只有一种可以开锁，以开锁，%1 . 01013 P7. 有有50件产品，其中件产品，其中4件不合格，从中随机抽取件不合格，从中随机抽取3件，求至少一件，求至少一件不合格的概率。件不合格的概率。解：解：%5 .221-1350346 CCPP（所有都合格）（所有都合格）（至少一件不合格）（至少一件不合格）8. 一个纸盒中混放着一个纸盒中混放着60只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产的各占一半。现随机地从中抽取的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生只，求其中恰有一只是甲厂生产的概率。产的概率。解：解：%

5、1 .38360130230 CCCP9. 设有设有0,1,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数个不同的数字的概率是多少？字的概率是多少？解：抽取结果的可能组合为解：抽取结果的可能组合为 1010101010 ，抽取到，抽取到5个个不同数字的可能组合为不同数字的可能组合为 ，因此因此%25. 0105510 CP510C10. 电报的密码由电报的密码由0,1,9十个数字可重复任意十个数字可重复任意4个数字组成，试个数字组成，试求密码最右边的一个数是

6、偶数的概率。求密码最右边的一个数是偶数的概率。解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均等的，都是等的，都是 50% 。11. 设事件设事件 A、B、AB的概率分别为的概率分别为p、q、r，求：，求：rABPBAP 1)()(rqABBPBASPBAP )()()(rpBASPBASPBAP 1)()()(rqpBAPBAPBAP 1)(1)()(12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在样中有一个操作失效，该控制

7、系统便失灵。设雷达在100小时内小时内操作正常的概率为操作正常的概率为0.9，而计算机在操作，而计算机在操作100小时内失效的概率小时内失效的概率为为0.12，试求在，试求在100小时内控制系统失灵的概率。小时内控制系统失灵的概率。解：解：%8 .20)12. 01(9 . 01)100()100(1)100(1)100( 小小时时内内计计算算机机正正常常小小时时内内雷雷达达正正常常小小时时内内系系统统正正常常小小时时内内系系统统失失效效PPPP13. 设设 ， ，求：，求：4 . 0)()( BPAP28. 0)( ABP3 . 04 . 028. 04 . 0)()()()()|( BPA

8、BBPBPBAPBAP2 . 04 . 0128. 04 . 0)()()()()|( BPABAPBPBAPBAP2 . 04 . 0128. 04 . 0)()()()()|( APABBPAPBAPABP解：解：14. 设事件设事件 A,B,C 满足满足 ， ， ， 求事件求事件A,B,C至少有一至少有一个发生的概率。个发生的概率。解：解：41)()()( CPBPAP0)()( CBPABP81)( ACP625. 081341)()()()()()(1)(1),( ACPCPBPAPCBAPCBAPCBAPCBAP至少一个发生至少一个发生16. 设有设有M只晶体管，其中有只晶体管，其

9、中有m只废品，从中任取只废品，从中任取2只，求所取只，求所取晶体管有晶体管有1只正品的条件下，另只正品的条件下，另1只是废品的概率。只是废品的概率。解：令解：令 A=(取到取到1只正品只正品)，B=(取到取到1只废品只废品)12)()()(2)()(2)(22)1(2)1()(-1)()()|()(2222221122211 mMmmMmMmMmMmmMmMmMmmmMMmMmmmMMmmMCCCCCCCCCAPABPABPPmMmmMMmMmmM另另一一只只是是废废品品有有一一只只正正品品的的条条件件下下，17. 某种电子元件，使用到某种电子元件，使用到2000小时还能正常工作的概率是小时还

10、能正常工作的概率是0.94，使用到，使用到3000小时还能正常工作的概率是小时还能正常工作的概率是0.87，求已经工，求已经工作了作了2000小时的元件工作到小时的元件工作到3000小时的概率。小时的概率。解：令解：令 A=(使用到使用到2000小时小时)，B=(使用到使用到3000小时小时)， 则则 9255. 094. 087. 0)()()|( APABPABP18. 五管收音机，每只电子管的寿命达到五管收音机，每只电子管的寿命达到2000小时的概率为小时的概率为0.9，问收音机的寿命达到问收音机的寿命达到2000小时的概率为多少。（假设只要有一小时的概率为多少。（假设只要有一只电子管烧

11、坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此只电子管烧坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此独立的。）独立的。）解：解：59. 09 . 05 P20. 设元件设元件 停止工作的概率均为停止工作的概率均为0.3，且，且各元件停止工作与否是相互独立的，求系统各元件停止工作与否是相互独立的，求系统S停止工作的概率。停止工作的概率。 3)1()3()S(停止工作停止工作支路支路条支路均停止工作条支路均停止工作停止工作停止工作系统系统PPP 654321,EEEEEE1E2E3E4E5E6E解：解：51. 07 . 07 . 01)()(1)1(21 正常工作正常工作正常工作正常工作停止工作停止

12、工作支路支路EPEPP1327. 051. 0)S(3 停停止止工工作作系系统统P21. 制造某种零件可以采取两种工艺，制造某种零件可以采取两种工艺，(1)三道工序，每道工序三道工序，每道工序出废品的概率分别为出废品的概率分别为0.2，0.1，0.1；(2)两道工序，每道工序出两道工序，每道工序出废品的概率分别为废品的概率分别为0.2，0.15 。问哪种工艺的废品率低？（两种。问哪种工艺的废品率低？（两种工艺中，每道工序是彼此独立的。）工艺中，每道工序是彼此独立的。）解：工艺解：工艺(1)的废品率为的废品率为352. 0)1 . 01)(1 . 01)(2 . 01(1)(1)(1 三道工序均

13、不出废品三道工序均不出废品废品废品PP工艺工艺(2)的废品率为的废品率为32. 0)51 . 01)(2 . 01(1)(1)(2 两道工序均不出废品两道工序均不出废品废品废品PP显然，工艺显然，工艺(2)的废品率低。的废品率低。23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35%和和40%，而废品率分别为，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中，。从生产的螺丝钉中，任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。解：令解：令 分别表示甲乙丙三机床，分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，表示废品，

14、根据根据 Bayes 公式：公式：321,AAA3623. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 005. 025. 0)|()()|()()|()()|()()|()(332211111 ABPAPABPAPABPAPABPAPBAPP 该该废废品品是是甲甲机机床床生生产产24. 播种时用的一等小麦种子中，混有播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、的二等种子、1.5%的的三等种子、三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有50颗以上的麦粒的概率分别是颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05

15、，求这批种，求这批种子结穗含有子结穗含有50颗麦粒以上的概率。颗麦粒以上的概率。解：令解：令 分别表示一二三四等种子，分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含表示结穗含有有50颗麦粒以上，根据全概率公式：颗麦粒以上，根据全概率公式：4321,AAAA4825. 005. 001. 01 . 0015. 015. 002. 05 . 0)01. 0015. 002. 01()|()()()50(41 iiiABPAPBPP颗颗麦麦粒粒以以上上这这批批种种子子结结穗穗含含有有24. 三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地，三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地，飞机缺少无线电

16、导航设备时就达不到目的地，这种设备装置在飞机缺少无线电导航设备时就达不到目的地，这种设备装置在主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中目标的概率为目标的概率为0.4，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮阵地，每机被击落的概率为阵地，每机被击落的概率为0.2 。求敌军阵地被击中的概率。求敌军阵地被击中的概率。解：解：)(-1)(敌军阵地没有被击中敌军阵地没有被击中敌军阵地被击中敌军阵地被击中PP 分析得下图：分析得下图：敌敌军军阵阵地地没没有有被被击击中中主机被高主机被高射炮击落射炮击落

17、主机没有主机没有被击落被击落只有主机到达目只有主机到达目的地，没有击中的地，没有击中目标目标主机和僚机主机和僚机1到到达目的，都没有达目的，都没有击中目标击中目标主机和僚机主机和僚机2到到达目的，都没有达目的，都没有击中目标击中目标主机和两架僚机主机和两架僚机到达目的地，都到达目的地，都没有击中目标。没有击中目标。2 . 0 P8 . 0 P0.0240.60.22 . 0 P0.05760.60.60.28 . 0 P0.05760.60.60.28 . 0 P0.138240.60.60.60.88 . 0 P421952. 0)13824. 00576. 00576. 0024. 0(0

18、.80.2)( 敌敌军军阵阵地地没没有有被被击击中中P578. 0421952. 01)(-1)( 敌军阵地没有被击中敌军阵地没有被击中敌军阵地被击中敌军阵地被击中PP26. 设有设有5个袋子，有两个内装有个袋子，有两个内装有2个白球个白球1个黑球，一个内装个黑球，一个内装10个黑球，另外两个内装个黑球，另外两个内装3个白球个白球1个黑球。现任选一个袋子，由个黑球。现任选一个袋子，由其中任取其中任取1个球，求取得白球的概率。个球，求取得白球的概率。解：用解：用 表示选到第表示选到第 i 个袋子，个袋子，B 表示取得白球。表示取得白球。 由全概率公式，由全概率公式，iA567. 00)|()()

19、(43514351513251325151 iiiABPAPBP27. 罐中装有罐中装有 n 个黑球个黑球 r 个红球，随机取出个红球，随机取出1个球观察颜色，将个球观察颜色，将球放回后，另外再装入球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出罐中取出1球，求下列诸事件的概率。球，求下列诸事件的概率。解：设解：设 A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，则，则 =“第一次取得红球第一次取得红球” 设设B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，则，则 =“第二次取得红球第二次取得红球”rnnAP )(AB（2）第二次取出黑球。）第二次取出黑球。解：根

20、据全概率公式，解：根据全概率公式，rnncrnnrnrcrncnrnnABPAPABPAPBP )|()()|()()(（1）第一次取出黑球。）第一次取出黑球。27. 罐中装有罐中装有 n 个黑球个黑球 r 个红球，随机取出个红球，随机取出1个球观察颜色，将个球观察颜色，将球放回后，另外再装入球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出罐中取出1球，求下列诸事件的概率。球，求下列诸事件的概率。解：设解：设 A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，则，则 =“第一次取得红球第一次取得红球” 设设B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，则，则 =“

21、第二次取得红球第二次取得红球”crnrABP )|(AB（3）第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球。）第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球。27. 罐中装有罐中装有 n 个黑球个黑球 r 个红球，随机取出个红球，随机取出1个球观察颜色，将个球观察颜色，将球放回后，另外再装入球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出罐中取出1球，求下列诸事件的概率。球，求下列诸事件的概率。解：设解：设 A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，则，则 =“第一次取得红球第一次取得红球” 设设B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，则，则 =“第二次取得红球第

22、二次取得红球”crnrcrncnrnncrnnrnrcrnnrnrABPAPABPAPABPAPBAP )|()()|()()|()()|(AB（4）第二次取出黑球的条件下，第一次取出红球。）第二次取出黑球的条件下，第一次取出红球。 根据根据Bayes公式，公式，28. 某台仪器由三个部件某台仪器由三个部件 组成，每个部件损坏的概组成，每个部件损坏的概率分别为率分别为0.1，0.3，0.2，若至少有两个部件损坏，则仪器停止，若至少有两个部件损坏，则仪器停止工作（设各部件损坏是相互独立的），求工作（设各部件损坏是相互独立的），求(1) 仪器停止工作的概率；仪器停止工作的概率；解：设解：设 表示部

23、件正常工作，表示部件正常工作， 表示部件损坏；表示部件损坏；令令3214321332123211,EEEAEEEAEEEAEEEA 321,EEE321,EEE321,EEE则则006. 02 . 03 . 01 . 0)(,054. 02 . 03 . 09 . 0)(014. 02 . 07 . 01 . 0)(,024. 08 . 03 . 01 . 0)(4321 APAPAPAP设设 B=“仪器停止工作仪器停止工作”，由全概率公式得，由全概率公式得098. 01006. 01054. 01014. 01024. 0)|()()(41 iiiABPAPBP28. 某台仪器由三个部件某台

24、仪器由三个部件 组成，每个部件损坏的概组成，每个部件损坏的概率分别为率分别为0.1，0.3，0.2，若至少有两个部件损坏，则仪器停止，若至少有两个部件损坏，则仪器停止工作（设各部件损坏是相互独立的），求工作（设各部件损坏是相互独立的），求(2) 仅由仅由 损坏引起仪器停止工作的概率；损坏引起仪器停止工作的概率；解：设解：设 表示部件正常工作，表示部件正常工作， 表示部件损坏；表示部件损坏；令令3214321332123211,EEEAEEEAEEEAEEEA 321,EEE321,EEE321,EEE由由Bayes公式，公式，551. 0098. 01054. 0)|()()|()()|(41

25、333 iiiABPAPABPAPBAP32,EE30. 苗圃中有苗圃中有20%的幼苗因病死亡，现随机抽取四株，求（的幼苗因病死亡，现随机抽取四株，求（1）四株均死亡的概率；（四株均死亡的概率；（2）两株死亡、两株成活的概率。）两株死亡、两株成活的概率。解：这四株幼苗的死亡数量是一个解：这四株幼苗的死亡数量是一个 的贝努利概的贝努利概型，所以型，所以（1）（2）2 . 0, 4 pn0016. 0)2 . 01(2 . 0)(44444 CP 四四株株都都死死亡亡1536. 0)2 . 01(2 . 0)(24224 CP 两两株株死死亡亡31. 灯泡寿命达到灯泡寿命达到2000小时的概率为小时的概率为0.95，收音机里有五只灯，收音机里有五只灯泡，求经过泡，求经过2