概率统计习题

1、精选ppt 2.2 1 X随机变量的数学期望设离散型随机变量 的分布列为XP-2 0 20.4 0.3 0.3()(35)()( 2)0.400.320.30.2, (35)3 ( 2)5 0.43 05 0.3325 0.34.4.2.E XEXE XEXX 试求和。解 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数 的 分布列为XP0 1 2 3 4 50.10 0.33 0.31 0.13 0.09 0.04 试求顾客在商店平均购买服装件数。精选ppt()1 0.3320.313 0.1340.0950.041.93. E XX 解 某地区一个月内发生重大交通事故数 服从如

2、下分布XP0 1 2 3 4 5 60.301 0.362 0.216 0.087 0.026 0.006 0.002 ()1 0.36220.2163 0.08740.02650.006 +60.0021.201. 20(). E XXXE XX 试求该地区发生重大交通事故的月平均数。解一海运货船的甲板上放着个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了，若从中随机抽取8桶，记 为8桶中被污染的桶数，试求 的分布列，并求解因为01255158(),0,1,2,208kkP Xkk 的可能取值为 ， ， ， ，且,5.4.精选ppt将计算结果列表为XP0 1 2 3 4 50.0511 0

3、.2554 0.3973 0.2384 0.0542 0.0036( )1 0.2554 2 0.3973 3 0.2384 4 0.0542 5 0.00362.5. E X 由此得用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1，2，2，5，10(g);(乙)1，2，3，4，10(g);(丙)1，1，2，5，10(g),称重时只能使用一组砝码。问：当物品质量为1g，2g，10g的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最, ,X Y Z少？ 解 分别用表示用甲，乙，丙三组砝码称重时所用的砝码数. （1） 用甲组砝码称重时，1个砝码可称4种物品(1,2,3,4,

4、10(g);2个砝码可称4种物品(3,4,6,7(g);3个砝码可称2种物品(8,9(g).所以的分布列为精选pptXP1 2 34/10 4/10 2/10()1 4/1024/103 2/101.8. (2)E XY 因此平均所用砝码数为：用乙组砝码称重时，1个砝码可称5种物品(1,2,3,4,10(g);2个砝码可称3种物品(5,6,7(g);3个砝码可称2种物品(8,9(g).所以 的分布列为YP 1 2 35/10 3/10 2/10()1 5/1023/1032/101.7.(3)E XZ 因此平均所用砝码数为：用丙组砝码称重时，1个砝码可称4种物品(1,2,5,10(g);2个砝

5、码可称3种物品(3,6,7(g);3个砝码可称2种物品(4,8(g);4个砝码可称1种物品(9(g).所以 的分布列为精选pptZP 1 2 3 44/10 3/10 2/10 1/10( )1 4/102 3/103 2/104 1/102.0.1,2,iE ZAii 因此平均所用砝码数为：所以用乙组砝码称重时，所用的平均砝码数最少。6. 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品.装仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.解 记 为“第次取出的是合格品”,1121233.8288(

6、0)(), (1)(),10109452181(2)().109845XP XP AP XP A AP XP A A A随机变量 为“取到合格品之前，已取出的不合格品数”，则精选ppt,812 ()12,45459 7.E Xaap 上述三个概率组成一个分布列 其数学期望为对一批产品进行检查，如查到第 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格。设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是 问每批产品平均要查多少件？解 设每批1XqpX 要查 件，记，则 的分布列为XP2211 2 3 1 aaaaapqpq pqpq p q1111()(

7、)()1aaakakaakkqqE Xkqpaqpqaqpaqq所以精选ppt120.020.0201(1)(1)()1 (1) 8.0.02,0,( )0 0,( )0.02aaaattaqqqqqpaqpqTetp ttE Ttedtte 某厂推土机发生故障后的维修时间 是一个随机变量(单位：h)，其密度函数为 ，试求平均维修时间。解 0.020.020.0200031500.0250h. 9.4(1) ,01,( )0 ,|tttedteXxxp t 故其平均维修时间为某新产品在未来市场上的占有率 是仅在区间(0,1)上取值的随机变量，它的密度函数为 ，其他精选ppt11323400()

8、.41 ()4 (1)(412124)243.55 10.(25).,0, ( )0 0.xE XE Xxx dxxxxx dxEXexp tx 试求平均市场占有率。解 这里平均市场占有率就是设随机变量的密度函数如下，试求，01(1)2 ()=1,(25)7. 11. ().,0,21 ( ),01,211,1,2xxxE Xxe dxEXXE XexF xxex 解因为所以设随机变量 的分布函数如下，试求精选ppt1(1)0211113 ()1.242212. () 10 11 12 13 xxE Xxe dxxedxXX 某工程队完成某项工程的时间单位：月是一个随机变量，它的分布列为 0.

9、4 0.3 0.2 0.1(1)50(13),:()PYXX试求该工程队完成此项工程的平均月数；(2)设该工程队所获利润为单位为万元。试求工程队的平均利润；(3)若该工程队调整安排，完成该工程时间单位：月的分布为XP10 11 12 0.5 0.4 0.1 (1) ()100.411 0.3120.213 0.111,E X 则其平均利润可增加多少？解该工程队完成此项工程平均需11个月.精选ppt111(2) ( )50(13)65050()650550100.100.(3)()100.511 0.4120.110.6,( )50(13)65050 10.612012010020().13.1

10、cos,0( )22E YEXE XE XE YEXXxp x该工程队所获平均利润为万元调整安排后，所以平均利润为，由此得平均利润可增加万元设随机变量 的概率密度函数为2,0,4/3/3()cossin1sin(/6)10.50.5./322xXYYXxxpP XdxY /3其他，对 独立重复观察 次， 表示观察值大于的次数，求的数学期望。解：因为事件“观察值大于 /3”可用表示，从而1/32而 的分布列为精选ppt4422444024 ()0.5 0.5,0,1,2,3,4.4 ()0.5800.5800.55.14. 3, ( )8kkkP YkkkE YkkXxp x 所以设随机变量 的

11、密度函数为2222201102,0,1133 ().8415.()().()()kkxXEx dxXxXE XP XkE XkP Xk其他，试求的数学期望。1解设 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明 证：由于存在，所以该级数绝对收敛，从而有精选ppt1111110 ()()() ()().16.( ), ()1( )kkkiikiE XkP XkP XkP XkP XiXF xE XF x dx 设连续随机变量 的分布函数为且数学期望存在，证明000000000( ).()( )( )( ). ( )( )( )( ), ( )yxF x dxE Xxp x dxxp x d

12、xxp x dxxp x dxdy p x dxp x dxdyF y dyxp x dx 证：将第一个积分改写为二重积分，然后改变积分次序，得第二个积分可改写为二重积分，然后改变积分次序，可得0000( )( )1( ),xydy p x dxp x dx dyF y dy这两个积分之和恰好是所要求证明的等式。精选ppt11117. ,1,231 (1)1, (2 )(),1,2, kkkkkpqpXXXkkP XP Xkp qpqpqk 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为 乙胜的概率为比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.解：设 为决定胜负所需的局数， 可取 ， ，等正整数值，事件“表示到第局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以,1111 (21)2,1,2,12 ( )()1()2()1112 .12 1/4(01),(1)1/4, ( )1 1/4kkkkkkkP Xkp q kpqE XP XkpqpqpqpqpqpqppppE X ,利用15题提供的公式，可得又因为对任意的总有故3,精选ppt0031/20,1,11 ()arcsin , 11,21,1.().1611()1( )( )(12pXxF XxxxE XE XF x dx