函数定义域值域求法总结

1、(9)函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：(1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于00(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1(5) y=tanx 中乂*卜冗+九/2； y=cotx 中 xwk九等等。(6 ) x0 中 x 0二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：(1)直接法(2)图象法(数形结合)函数单调性法(4)配方法(5)换元法(包括三角换元)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法复合函数法(10)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了

2、高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：11 f(x): f (x) v3x 2； f(x) xx 1 x 22 x1 一、解：: x-2=0 ,即x=2时，分式无息义，x 2而x 2时，分式有意义，这个函数的定义域是 x|x 2x 2: 3x+2<0,即x<-时，根式J3x 2无意义，(332而3x 2 0,即x 上时，根式J3x 2才有意义,3(62这个函数的止义域是x| x - .3当x 1 0且2 x 0,即x1且x 2时，根式4rx1和分式同时2 x要使函数有意义，必须:x23x4 0x4或 x1x120x 3且 x1有意义,这个函数的定义域是x

3、| x定义域为： x| x 或3 x 1或x 4另解：要使函数有意义，必须:2要使函数有意义，必须:例2求下列函数的定义域:x 0x 11x -2 f (x). 1 4 x21 f(x)x2 3x 41.函数的定乂域为：x|x R且x 0, 1, - 2 f(x) 111T x f(x)(x 1)0要使函数有意义，必须:定义域为：x|x1或1 x 03 y Jx 2要使函数有意义，必须:x 2 3 03x 7 0x R7 x -3解：要使函数有意义，必须:4 x2 1即x< 或x> - 33:定义域为：x|xfI函数f(x) VV4 x2 1的定义域为:3, 3例3若函数y . a

4、x2 ax 的定义域是 aR,求实数a的取值范围，解：.定义域是R, ax2ax0包成立,例6已知已知f(x)的定义域为1,1,求f(x 2)的定义域aa 0等价于 2 /160 a 2a 4a - 0a11例4若函数yf(x)的定义域为?1 , 1,求函数y f (x 1) f(x,)的定义域.44解：要使函数有意义，必须：函数y f (x -) f (x 1)的定义域为：x| - x -4444例5已知f(x)的定义域为1,1,求f(2x 1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1, 1内取值，则法则作用在2x1上必也要 求2x1在1,1内取值，即一102x101,解出x的取值范围就 是复合

5、函数的定义域；或者从位置上思考 f(2x 1)中2x-1与f(x)中 的x位置相同，范围也应一样，.-1<2x-1<1,解出x的取值范围就 是复合函数的定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)解：f(x)的定义域为1, 1,答案：10x201x2< 1-1<x<1练习：设f(x)的定义域是?3, V2,求函数f(2)的定义域.解：要使函数有意义，必须： 3 Jx 2 J2 得： 1无 2 2Vx >0 A 0 /x 2 20 x 6 472 函数fQ仅2)的定域义为：x|0 x 6 4，2例7已知f(2x 1)的定

6、义域为0,1,求f(x)的定义域因为2x- 1是R上的单调递增函数，因此由2x-1, x 0,1求得的值域1, 1是f(x)的定义域。5已知f(3x 1)的定义域为1, 2),求f(2x+1)的定义域。-,2)2(提示：定义域是自变量x的取值范围)练习：已知f(x 2)的定义域为 1,1,求f(x)的定义域-1<2x-1< 1,解之 0&x&1,若y f x的定义域是0,2 ,则函数f x 1 f 2x 1的定义域是 .f(2x 1)的定义域为0 , 1A. 1,11D. 02解：-1 x 1, -3 3x 3, -1 3x+2 5,即-15, 值域是-1 , 5已

7、知函数f x3的定义域为A,1 x函数y f f的定义域为B ,则略A. AUBAI B BD. A B3)当 x>0, y= (.，x 1 '22、求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)值域是(2 2, + ).1)=- x一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数y k(kx0)的定义域为x|x 0,值域为y|y 0;1.函数y x -的图像为:x二次函数在区间上的值域(最值):二次函数f (x) ax2bx c(a 0)的定义域为R,22、当a>0时，值域为y|y (4ac b)；当a<0时,值域为y|y 幽J. 4a4a例2 求下列函数

8、的最大值、最小值与值域:例1 求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1)0 f(x)2 (1 x 3)3xD y x 1 (记住图像)x yx24x 1 ;；yx24x1,x 3,4 yx24x 1,x0,1; y x24x1,x0,5;解：: y x2 4x 1 (x 2)2 3, .顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.抛物线的开口向上，函数的定义域 R,若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b.y32若x0 a,b,则“*0)是函数的最小值(a>0)时或最大1 I-2 -1-O 1 2 3 4 5 <x 值(a<0)时，-2-3再比较f(a

9、), f (b)的大小决定函数的最大(小)值.若x° a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a), f(b)的；x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y -3 .二.顶点横坐标2 3,4,当 x=3 时，y= -2 ; x=4 时，y=1;.二在3,4上，ymin =-2 , ymax = 1 ；值域为-2 , 1.二,顶点横坐标2 0,1,当x=0时，y=1; x=1时,y=-2,在0,1上，Ymin =-2 , ymax = 1；值域为-2 , 1.大小即可决定函数的最大(小)值 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值;顶点横坐标2 0

10、,5,当x=0时，y=1; x=2时，y=-3, x=5时，y=6,当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.在0,1上，ymin =-3 , ymax=6；值域为-3 , 6.练习：1、求函数y=3+V(23x)的值域注：对于二次函数f(x) ax2 bx c(a 0),解：由算术平方根的性质，知，(2-3x) >0,若定义域为R时，2故 3+M(2-3x) >30当a>0时，则当x B时，其最小值丫刀.(4ac b；2a4a2.函数的值域为 3,.当a<0时，则当x 上时，其最大值ymax (4ac b2).max2a4a2、求函数

11、y x2 2x 5 , x 0,5的值域解：(换元法)设t,则y t2 2t 1(t 0)解： 对称轴x 10,5例3 求函数y=4x V 1-3x(x < 1/3)的值域。解：法一：(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -Vl-3x ,(x <1/3),易知它们在 定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x -V 1-3x在定义域为x0 1/3上也为增函数，而且 y<f(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为 y|y 04/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的 区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点

12、的函数值，进而可确 定函数的值域。练习：求函数y=3+V4-x的值域。(答案：yy >3)法二：换元法(下题讲)例4 求函数y x 2J1 x的值域点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想 方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=Vx-1 - x的值域。(答案：y|y0 3/4例5(选)求函数y v'x 3 v'5 x的值域解：(平方法)函数定义域为：x 3,5例6(选不要求)求函数y x J1 x2的值域解：(三角换元法)1x1设x cos 0,小结：(1)若题目中含有a 1,则可设

13、(2)若题目中含有a2 b2 1则可设 a cos ,b sin,其中0(3)若题目中含有Ji x2 ,则可设x cos ,其中0(4)若题目中含有工一x2 ,则可设x tan ,其中一 一22（5 ） 若题目中含有(x 0, y0,r 0), 则可练习：y xx 1的值域呢?x. r cos2, y.r sin 2（三种方法均可）其中°，a例8 求函数y 9x3x2 (x0,1的值域的值域解法一：（图象法）可化为2x1对称轴t2 ；1x 33原函数可化为i 1,33 时，ymaxy0观察得值域y 4解：（换元法）2x(x1)2表示实数a,b在数轴上的距离 可得。t3 (t1)解法二

14、：（零点法）画数轴利用a b3由指数函数的单调性知，原函数的值域为13,-1解法三：（选）0（不等式法）例10求函数y 2x （x 0）的值域值域x 1 (x 3) (x 1)x 1 (x 1) 4同样可得x 14解：（图象法）如图，值域为0,1例11 求函数y 2-的值域解法一：（逆求法）解出x,x y观察得 原函数值域为yy 11 y练习：y=£(ye(-i , i)解法二：（分离常数法）由丫/1工1 ,可得值域yy 1例13函数yx2 1-一的值域x 1小结：已知分式函数yax（c 0）,如果在其自然定义域（代数式自身对 cx d解法一:变量的要求）内，值域为 y ya ;如果

15、是条件定义域（对自变量有 c（逆求法）1附加条件），采用部分分式法将原函数化为h ad b c- (ad bc), cx d解法二：（换元法）设x2用复合函数法来求值域。解法三:（判别式法）原函数可化为(y 1)x2一 ，一，3x 一例12 求函数y 的值域311) y1时不成立2) y1时， 04(yi)(y1) 01解法一：（逆求法）3x201 y原函数的值域为0,1综合1）、2）值域y|1小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。解法二：（换元法）设3x 13x 1 13x111 1x311t解法四：（三角换元法）例14 求函数y设 x tan原函数的值域为y| 11

16、解法一：(判别式法)原式可化为x2 (2 y)x 2 y 02解法二：(不等式法)原函数可化为 y一1 x 1 2 ( x 1)x 1x 1当且仅当x 0时取等号，故值域为2,一 、 x2 2x 2，一例17 (选) 求函数y -2x上(2 x 2)的值域x 11解：(换兀法)令x 1 t ,则原函数可化为y t 1(1 t 3)000t小结：已知分式函数y ax： bx c (a2 d2 0),如果在其自然定义域内可 dx2 ex f采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为(选)y二三(或y二)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式 一次式一次式法

17、求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y x - (x 0)的单调性去解。 x练习：解法一：(判别式法)化为 2yx2 4 yx (3y 5) 0 51) y 0时，不成立2) y 0时，0得综合1)、2)值域y|0 y 5 5解法二：(复合函数法)令2x2 4x 3 t,则y 5 t0 y 5所以，值域y |0 y 51例15函数y x - 1的值域 x解法一：(判别式法)原式可化为 x2 (1 y)x 1 01解法二：(不等式法)1)当x 0时，x 1 2 y 3 x112) x 0时，x ( x) 2 y 1x( x)综合1) 2)知，原函数值域为，1 3,一

18、 、，一， X2 2 x 2，一例16 (选)求函数y -一数二(x 1)的值域x 121一一1、y x2 f 9(x 0)；x;函数y 2 J4x x2的值域是y| 0 y 2解：: x 0, y x23 9 (x I)2 xx11 , .y 11.4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.另外，此题利用基本不等式解更简捷:y x212 9 2 9 11 (或利用对勾 x解法1:将函数化为分段函数形式:函数图像法）2x 1(x1)y 3( 1 x 2),2x 1(x 2)画出它的图象（下y；2x 4x 30<y 5.图），由图象可知，函数的值域是y|y 3.解法2: :函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点易见y的最小值是3, 函数的值域是3, + . 如图-1,2的距离之和,3、求函数的值域 y x J2 x ； y 2 J4x x2解：令 u J2x 0,则 x 2 u2,原式可化为y 2 u2 u (u -)2 9, 24u 0, ；y 9, .函数的值域是(-,2.44解：令t=4x? x2 0得0 x 45、求函数y2x 4V1 x的值域则 t 0 x=1? t2代入得 y f (t) 2 (1 t2) 4t 2t2 4t 22(t1)24. t 0y 46、（选）求函数y 三的值域方法一：去分