余数性质及同余定理B级答案

1、余数性质及同余定理知识框架一、 带余除法的定义及性质1 .定义：一般地，如果a是整数，b是整数（bw0）,若有a+b=q r,也就是a=bxq+r,0<r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 0r （2）当时：我们称 a不可以被 b整除，q称为a除以b的商或不完全商 0 r 一个完美的带余除法讲解模型：如图冰书这是一堆书，共有 a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么 b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明

2、白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。2 .余数的性质 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； 余数小于除数.二、余数定理：1 .余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23, 16除以5的余数分别是 3和1,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23, 19除以5的余数分别是 3和4,所以23+19 =42除以5的余数等于3+4=7除以5的 余数为22 .余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等

3、于a,b分别除以c的余数之差。= 13,两个余数差2的余数等于5除以7= 16 23,所以1和3的余数分别是5除以16, 23例如： 2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23 , 14除以5的余数分别是3和4, 2314= 9除以5的余数等于4,两个余数差为 3+5 4 = 43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于 a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23, 16除以5的余数分别是 3和1,所以23X16除以5的余数等于3X1 = 3。当余数的 和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23, 19除以5的余数分别是 3和4,所以2

4、3X19除以5的余数等于3X4除以5的余数, 即2.nn除以m的余数也相同.m的余数相同，那么 与b乘方：如果a与除以ba一、 同余定理 定义1、在bm同余或称a和a1的自然数 m所得余数相同，就称和 b对于模 整数a和b,除以一个大于)a= b (modm模m下同余，即 同余的重要性质及举例。2、；)(a 为任意自然) 1a=a ( modm ) b= a ( modm2若 a三b ( modm )，贝1J )( modm;, b =c ( modm)贝U a=c3若 a= b ( modm)( modm) a= b ( modm),贝U ac=bc 4若 modm)；modm),贝 1 a

5、c=bd (5若 a= b (modm), c=d ( modm) (modm)贝 U an= bm (6若 a= b> 性质6常被称为同余的可乘性，同余的可传递性，性质4、53其中性质 <> 常被称为同余的可开方性常被称为)a= b (modm, modm)且(cm) =1则可除性注意：一般地同余没有，但是：如果：ac=bc (整数分类：3、用2来将整数分类，分为两类： 1(奇数)；，7, 9, 1, 35(偶数)6, 8, 0, 2, 4来将整数分类，分为三类： 2用3除余数是0)，9, 12,(被330, 6 )(被3除 余数是1, 14, 710, 13 除余数是2)

6、 31411852,(被 的情况下，可将整数分成 六类，分别是：6在模3.0 ( mod6) : 0, 1 ( mod6) : 1, 2 (mod6) : 2, 3 (mod6) : 3, 4 ( mod6) : 4, 5 ( mod6) : 5,6, 12, 18, 24,7, 13, 19, 25,8, 14, 20, 26,9, 15, 21, 27,10, 16, 22, 29,11, 17, 23, 29,重难点除的余数相同。9除的余数和这个自然数所有数字之和被9 一个自然数被同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和恒方法.

7、例题精讲,那么，这个两位奇数是多少？，余数是 491】一个两位奇数除1477【例这个两位专数帚&被1477K9=14器 整除，且必须大于工所以这样的商住号数只 肃S】.22.求出符合条件的所有的两位数.2024除以一个两位数，余数是 巩【固】I 20Z4- Zl = zona I 2002 = 2mTk11x13 1 那幺符合条件的所有的两住数有 I LI 114.22,91 1 因为“余数小于除虹*师以舍去1 I I 3,14,22.2« ,答奖只有77,91.415,则被除数是 两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于】【例2因为被除歌我去8后是除敷的4倍

8、r所以根提和信问题可知，除敷为413 - 4TT) - 4 + I > = 79 , 所以，林除职为“,求933被除数、除数、商、余数的和是40,余数是16.一个自然数去除另一个自然数，商为 固【巩】 用 个自然数各是多少？这2本题为带余除法定义式的基本题型.根据题意设两个自然数分别为方上 可以得到x = 40 v + I 6fx = 856,，解方程纽得 ,即这两个自然数分别是看5d21.JC- y+ 40+ 16 - 933- 2的整数倍，每人的岁数都3】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3例【,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁是一个质数，四人岁数之和是100?

9、从任青三人岁数之和是3的信数. 100除以3余L就知呻个岁般都是M + I型的数*又是质4t只 # 1, 13, 1/ 3Jf 3九43,就容易看出：虱43岁，母箝岁，兄”岁，抹7岁.【巩固】有三所学校，高中 A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是 人.1三所学校的高中生分别是：4枝742人 R粒7&人.rlt 722 A.如果八校茂C校沏中人数是 奇中人数的L5倍,读校总人数是奇效，而接强给出茶伴褥出其电

10、两杈也人数都是谪数，与三校 恙人数34和是偶故矛盾，回此M能是3坟的初中人数是高中人数的L5唔.三校初中的总人数 是5480-n&4 ,被3除金工732被3米除，T22被&余余2J42披三除余I.从余毅来看4】【例册2*24- I - 5 » I x 2+ 2-4 ,就新定初中人数是高中人数的2倍.M能是匚枝 所以,A杈思人数 是 742 - 742 = I4R4人）*除的余数.求被 71993 437309】方法一：先聘a” x 3仆q艮1 qqq算出以后.即 d *3侬）x pq弓=2苒9 I 2（1了自日.再求得比数祝7陵他命 做为.才法二二因为除以1的余数为孔

11、an。除涅7的全副t为 L由小图金的可来世如;（热彳* *力go降 薪以7的余数为*1，乂园为I/3除以7的余数为5,所以437 TU学制99口 J除以7的余数筝于门X I MIy15者以7晌余数T算出47 x露内> IQ 9%林7除的命撅为I方法三：利用余数刊用法，舁出心7x 30" 1993 . 26+120769 ,奇数节的戳士和与俏跌节的数七 而的差印门7:6*编一门+二*017+及-3r M4 36除F£?曾余敕为1,即 4?T>c3119x I到3被7除的余1敦为I.o 73倍被除，余数是3一巩【固】 个数被7除，余数是，该数的 I余数是3x3亍7的

12、余数，为2四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除5164 ,652245822836 5例【】若，.数和余数的和为I设除数为？L因为2X30 45K2, 5164t 65。徐以月的余数相同.所以他们两两之心金铝被力悠 除，乂因为余数是两住数，所以A 至少是两位敷，4咒236T746, 5164- 45K2-A2 , 6522 - 5164 - 135H ,因为（咒，135的- 1M ,所以人是国4的大于1。的均敌.1网的大于IQ的栉 毅竟有47和1Q4.如果4 . 1勺4.打m + II朗，余数不是两位鞅I与题章不鼾.加果$ = 91 ,经检验，余数梯是2九 除数十余数-9

13、7+23=1 2U,【巩固】一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？a5a a 2根据题意可痴，这个自然鼓去除290. 23" 糖，时，得到相同的金聂（郎为口工既然余赛枸同，我扪可以利用余数定理，可如其中任意为数的#除器这个薮肯定余0.那么这个 自然敷是290 - 2" - 57的为数t 乂是233 - L9S -"的的敷，因此就是57秒3X的小药数,因为父 和翦的公约教只方均和L而这个毁大于I,所以这个自然数是旧.【例6】 有这样一类2009位数，它们不含有数字 0,任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的 两位数都有一个约数和

14、 20相差1,这样的2009位数共有 个.I第一个数项定就能确豆第二个数，以此类推，整人数就定下来了，所以一头就9个数.【巩固】 在两位数10, 11,，98, 99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？原来的总和是被 7除余2 的两位歙是 7x2 + 2 = 18, 7x3 + 2 - 23 7*13* 2 -93 ,共12个皴。这些蚊族愚中要求事加小数/以后,邨因为顺断的因此这一手蹉便总和减少了（16*23+93 用口 -）"""*""IlK .1-5弭5102lo所以

15、，圾过改攵之后，所有欺的也是4905-5后工6 如1包4【例7】 甲、乙、丙三数分别为 603, 939, 393.某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的AA倍，AAA除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍.求等于多少?根捌为患、这三个辕除少4都有余秋，即可沈阳帝余除法的彤式聘它们表示出我： 603十八也k9加号4一式/1口393+同一蜘"5由于在一20 t气.转，要灌去余 敦口r;. 1,我们只能先把全数处理成州同的t耳荀数弱减.这样我们先把第二个丸子菠以2. 使得其隙蛾粕余数都扩大2倍,同理，第三个式子乘以4.于是我们可以得到下曲的式子： 60J + A - A（rj （9电 2卜上

16、-2科， K （393吊4）子同一2尤丁 ，4口遮,样余数就处理成相同的，放后两两相减,清去急班，焦味着能被人解除.939x 2-127S 393囚d - 603 .如8（1275.969）-51-3x17, 51的妁数有I, 3, 17, 51,其中I, 3显然不满足？检脸 门和51可扣 J7满尺，所以人等于m23,求该自然数的值.，154, 200被某自然数除所得的余数分别是60【巩固】已知ala 1a寺磁飕意可羯，自然数E，154, 201被蕉数信所得余数分别是1，Mi ti由于rxu,所以口搞敕6户打21与154同余；由于/rx/r所以61 N I“-93也与201 同金，所以除数是3

17、72L-1l -和中网州的公物款*运用班转相皤法可挣到3567,3193）= 29 .该降数为2g.经检验成立.【例8】【答案】已知n是正整数，规定， n 1 2n!29,则整数 m除以2008的余数为多少？令 2007 3 2007! m 1! 1 2!2 3!I 叩 I 只 I + 2仅 2 + ?% 34 + 2。07伙 2007=1 反(2 I) + 1)4 3KE4 1+ 4-2007 1x(200Si - 1)=2J |1+31-2!+ 413#+20081-20071-200S I- I2008能够整倏2(X)8!,所以2()0Xr_ |的余数是2007.【巩固】已知n是正整数，

18、规定， n2 n! 1 ,则整数 Q令除以2013的余数为多少?2012 2012!5 5!43Q 3! 4!c =3lx3-i-4x4+5Jx5+20121x2012= lk(2-l) + 2t«(3-l) + 3(4-l)+2012(2013-1)11-2笈 2=2!- Il-b3!-21+ 4!3!十+ 21H3!2012! I! 2k 2-20131- 62013能够整除20g,所以2013 J B的余既是21X)7. nn, k被7除余数为2, k被11为正整数，】【例9设n除余数为3,求n的最小值.2004 k 20M被7除余数为工被1L宗余敝也为露所及2”被7除余数为工

19、被II除余数为3.由于丁一？ 裱7除余工而展一秆被7除余L所以内除以3的余'班,为1:由于2' - 256-1 1除余3：工” -1四 裱II余余I1所裁解除以10的余数为乱可见k*?是3和I。的公借毂最小为口泗-胡？所 以内的衰小使为28,nn的和.n整除的所有自然数 11100试】巩【固 求不大于，且使能被4 7 3.通过逐次计算1可以求出3-救I除的余款，依次1为：3' A 3j 3：为g.为5, md为% /升L， 因而：r梗II哈的余戡5个枸成一个周期：3,轧5, 4. h 3. 9. 5.船k .”；美俶地，可 以求出71t被II除的余敝10个构成一个周期：

20、7, 5* 2, X】% % 6.如也1被II除的余敕也是I。个构成一个周期：丸7* 0，0, 4, (h & 1+56* ;这就表明.奇1个周期中，我有第3、4. 6个这三个数满足箍意 即R .现%5J3*M6能祓1I整除，所以，所有满足条件的自然数范的和为： 的3十4 + 的+13+14 + 1台+*,.# 93+94 + 96 = 13十43+ 十2号？=1480,【例10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？这个自然数去除9U. 164后所得的两个余数的和等于这个自然或去除90 dlM - 254后所

21、得的余 林I所以254和270除以这个自然赞在所等的余数理同,因此这个肖妹我是254 - "n ”4的躺翻:卜 又大于I。，这个自然数只能是17或者是X,如果这个效是N,那么它去除*ML 164. 22。后所得的余数令刈是2L州.本苻合题目条件； 将果这个教是17，邺化它去除9。，164. 220后所得的余数分别是5、11, 16,符合题目条件， 斯以这个自甑效是17.baab,求.，并且7都余 【巩固】 两1位自然数 与除以ba abb aab bo Wt咫7整除，由口Du 4AJ - Ut帖+d j=9乂的能城7整除：所以只能疗森一8-九那么ei上能为期知XL改算寸存3 2 -

22、u二时，bu - 2'J满足题目受北，ahbu 1*J - 26614课堂检测【随练1】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是 10,那么这样的自然数共有多少个?木时为一道余数与的抵个敷计累公式的小蛛合性题目.由题意所求的育黑数一支是2OOS-LO即 】算8的药数，同时还妥描足大于10这个好件，这样题F就祎化为】如3病多少个戈于10的吟数, 1998 = 2x3Jx37 彳共有(1+1 ) K (3+1 X < 1+1)= 16 个幼鼠* 莫中 b 2- 3+ 曲 9 是康 I。小 磬的约数，所以符合题目条件的自燃数共有11个.200322的和除以7的余数是与.【随练2】

23、2003技机律.用7除£ 2。限，24 » 2s，2%的余数分剂是3 % 1，3 4, 1, 2, 1,】二 的个效适3的侍数酎,丹7除的余数为I; 2的个数是彳的倍数分1rh用7除的余敷为割？的 个酰是3的信承;多2时，用7除的全数为A因为肝如-工也，所以阱以7余4,又商小 数的根除以7的金数，与何个数分别除以7所得余效的积相同，而其03除联7条1,所以加03* I余以7余I改/皿号20。好的和除以7的余数是&十1-5.Mmn被整除。的最小值为。、为非零自然数，且【随练3】20082007 7NNMZUO7除以7的金'数是5 m0沙甘除虫？的余敦是6 ,所以5里* 6*能被.7整除、曜试界i M+M最小值为斗+ Z =、家庭作业【作业1】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？除以7的张数只祀是所以商£能是Or&淌是大于了的数X府商和余数部为