2015-2016年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年安徽省合肥一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1（5分）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（2+x）的定义域为N，则M（RN）=（）Ax|2x2Bx|x2CDx|x22（5分）在ABC中，下列命题错误的是（）AAB的充要条件是sinAsinBBAB的充要条件是cosAcosBCAB的充要条件是tanAtanBDAB的充要条件是3（5分）已知数列an是等比数列，a3，a7是方程x25x+4=0的两根，则a5=（）A2B2C±2D44（5分）设D为ABC所在平面内的一点，且满足，则（）ABCD5

2、（5分）函数f（x）=sinxln（x2+1）的部分图象可能是（）ABCD6（5分）已知f（x）=sinx+cosx（0），若是周期为的偶函数，则的值是（）ABCD7（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若方程f（x）=k有两个不等的实根，则的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（2，+）D2，+）8（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A12B26C28D339（5分）已知sin2=3sin2，则=（）A2BCD10（5分）设f（x）=（x1）3+x+2，an是公差为的等差数列，且f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=18，则a1

3、=（）ABCD11（5分）已知数列an满足，且a1=4，其前n项和为Sn，则满足不等式的最小整数n是（）A5B6C7D812（5分）设f（x）=ln（ax）（0a1），过点P（a，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q，曲线C在点Q处的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最大值是（）A1BCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）已知函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，则a=14（5分）已知向量的夹角为，且，则=15（5分）设数列an满足an+1=，当首项a1=时，此数列只有10项16（5分）定义函数f（x）=xx，其中x表示不小于x的最小整数，

4、如1.3=2，2.1=2，当x（0，n（nN*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中的元素的个数为an，则=三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.）17（12分）数列an满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式18（12分）已知ABC三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（）求角B的取值范围；（）设f（x）=3sinx+4cosx，求f（B）的最大值及f（B）取得最大值时tanB的值19（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2+x（）讨论函数g（x）的极

5、值点的个数；（）若不等式2f（x）g（x）在x（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围20（12分）设Sn是数列an（nN*）的前n项和，a1=1，且Sn2=n2an+Sn12，an0，n2，nN*（1）证明：an+2an=2（nN*）；（2）若an=log3bn，求数列anbn的前n项和Tn21（12分）设f（x）=（ax）ex1（）当x0时，f（x）0，求实数a的最大值；（）设，x1=1，证明请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，AB是O的直径，弦C

6、A、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为=2cos+2sin（）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=m|x2|，mR，且f（x+2）0的解集为1，1（）求m的值；（）若a，b，cR，且=m，求证：a+2b+3c92015-2016学年安徽省合肥一中高三（上）第三

7、次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1（5分）（2015秋合肥校级月考）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（2+x）的定义域为N，则M（RN）=（）Ax|2x2Bx|x2CDx|x2【分析】根据条件求出函数的定义域，结合集合的基本运算进行求解【解答】解：要使函数f（x）有意义，则4x20得x24，得2x2，即M=（2，2），要使函数g（x）有意义，则2+x0得x2，即N=（2，+），则RN=（，2，则M（RN）=（，2），故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关键比较基础

8、2（5分）（2015秋合肥校级月考）在ABC中，下列命题错误的是（）AAB的充要条件是sinAsinBBAB的充要条件是cosAcosBCAB的充要条件是tanAtanBDAB的充要条件是【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可得答案【解答】解：对于A，在ABC中，若AB，则ab，即由正弦定理有sinAsinB，由sinAsinB即ab，可得AB，因此AB是sinAsinB的充要条件，故A正确；对于B，y=cosx在（0，）上为减函数，AB即cosAcosB，反之也成立，故B正确；对于C，若A=120°，B=45°，满足AB，但tanAtanB不成立，即充分性不

9、成立，故C错误；对于D，y=cotx在（0，）上为减函数，AB即cotAcotB，反之也成立，故D正确命题错误的是：C故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是中档题3（5分）（2015秋合肥校级月考）已知数列an是等比数列，a3，a7是方程x25x+4=0的两根，则a5=（）A2B2C±2D4【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出【解答】解：a3，a7是方程x25x+4=0的两根，a3a7=4，又a3，a5，a7是同号，根据等比数列的性质可得：a5=2，故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其

10、性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）（2015秋合肥校级月考）设D为ABC所在平面内的一点，且满足，则（）ABCD【分析】根据向量的加法法则运算即可得到答案【解答】解：由题意：D为ABC所在平面内的一点，如图：可得：，代入中可得：由消去可得：故选B【点评】本题考查向量的加法法则的基本运算，属于基础题5（5分）（2015秋沈阳期中）函数f（x）=sinxln（x2+1）的部分图象可能是（）ABCD【分析】首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决【解答】解：f（x）=sin（x）ln（x2+1）=（sinxln（x2+1）=f（x），

11、函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，sinx存在多个零点，f（x）存在多个零点，故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象故选B【点评】本题通过图象考查函数的奇偶性以及单调性，属于基础题6（5分）（2015秋合肥校级月考）已知f（x）=sinx+cosx（0），若是周期为的偶函数，则的值是（）ABCD【分析】由题意可得y=f（x+）=sin（x+）是周期为的偶函数，则+=k+，kZ，且=，由此求得的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），若 y=f（x+）=sin（x+）+=sin（x+）是周期为的偶函数，则+=k+，kZ，且=，求得=2，=，故选：A【点评】本题主要

12、考查两角和差的正弦公式，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题7（5分）（2015秋合肥校级月考）已知函数f（x）=|lgx|，若方程f（x）=k有两个不等的实根，则的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C（2，+）D2，+）【分析】不妨设0，根据函数f（x）=|lgx|，方程f（x）=k有两个不等的实根，可得01，lg=lg，可得=1再利“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：不妨设0，函数f（x）=|lgx|，方程f（x）=k有两个不等的实根，01，lg=lg，可得=1则=+2=2，的取值范围是（2，+）故选：C【点评】本题考查了函数的性质、方程的根、基本不等式的性质，考查了推理能力

13、与计算能力，属于中档题8（5分）（2012四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A12B26C28D33【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大由可得C（4，4），此时z=28故选C【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是，明确目标函数的几何意义9（5分）（2015秋合肥校级月考）已知sin2=3sin2，则=（）A2BCD【分析】将所求利用同角

14、三角函数基本关系式，积化和差公式化简，结合已知即可计算得解【解答】解：sin2=3sin2，=故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，积化和差公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10（5分）（2015秋合肥校级月考）设f（x）=（x1）3+x+2，an是公差为的等差数列，且f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=18，则a1=（）ABCD【分析】由已知函数解析式构造新函数g（x）=f（x）3，可得g（x）关于（1，0）对称把f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=18变形可得g（a1）

15、+g（a2）+g（a6）=0，即g（a3）与g（a4）关于（1，0）对称，由对称性得到a3+a4=2，再结合已知求得a1【解答】解：f（x）=（x1）3+x+2，f（x）3=（x1）3+x1，令g（x）=f（x）3，g（x）关于（1，0）对称f（a1）+f（a2）+f（a6）=18，f（a1）3+f（a2）3+f（a6）3=0，g（a1）+g（a2）+g（a6）=0，g（a3）与g（a4）关于（1，0）对称，则a3+a4=解得：故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了函数构造法，灵活性强，难度较大11（5分）（2015秋合肥校级月考）已知数列an满足，且a1=4

16、，其前n项和为Sn，则满足不等式的最小整数n是（）A5B6C7D8【分析】数列an满足，且a1=4，变形为：an+11=，a12=2利用等比数列的通项公式可得an再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an满足，且a1=4，变形为：an+11=，a12=2数列an1是等比数列，公比为，首项为3an1=，即an=1+，其前n项和为Sn=n+3×=n+22×不等式化为：，则满足不等式的最小整数n是6故选：B【点评】本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）（2015秋合肥校级月考）设f（x）=l

17、n（ax）（0a1），过点P（a，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q，曲线C在点Q处的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最大值是（）A1BCD【分析】求出切点Q的坐标，再求出函数的导数，并求出切线的斜率k，设出R点的坐标，由两点的斜率公式，写出斜率k，并求出r，求出PQRS的面积为S，再运用导数求出S的最大值即可【解答】解：PQy轴，P（a，0），Q（a，f（a）即（a，2lna），又f（x）=ln（ax）（0a1）的导数f（x）=，过Q的切线斜率k=，设R（r，0），则k=，r=a2alna，即R（a2alna，0），PR=2alna，PQR的面积为S=2a（lna）2，

18、导数S=2lna（lna+2），由S=0得a=e2，当1ae2时，S0，当0ae2时，S0，a=e2为极大值点，也为最大值点，PQR的面积的最大值为故选D【点评】本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）（2013春南京期中）已知函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，则a=1【分析】利用函数f（x）=x（ex+aex）是偶函数，得到g（x）=ex+aex为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得a【解答】解：设g（x）=ex+aex，因为函数f（x）=x（ex

19、+aex）是偶函数，所以g（x）=ex+aex为奇函数又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=1故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数f（x）过原点，则必有f（0）=0，要灵活使用奇函数的这一性质14（5分）（2015秋合肥校级月考）已知向量的夹角为，且，则=【分析】由条件进行向量数量积的运算即可求出的值，从而得出的值【解答】解：根据题意：=7；故答案为：【点评】考查向量夹角的概念，向量数量积的运算及计算公式，求而求的方法15（5分）（2015秋合肥校级月考）设数列an满足an+1=，当首项a1=时，此

20、数列只有10项【分析】把已知数列递推式变形，得到由数列an只有10项，可得a10=2依次由变形后的递推式求得首项得答案【解答】解：由an+1=，得若数列an只有10项，则a10=2，故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查计算能力，对题意的理解是解答该题的关键，是中档题16（5分）（2015秋合肥校级月考）定义函数f（x）=xx，其中x表示不小于x的最小整数，如1.3=2，2.1=2，当x（0，n（nN*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中的元素的个数为an，则=【分析】根据x的定义，f（x）=xx，依次求出数列an的前5项，再归纳出an=an1+n，利用累加法求出an，再利用裂项相

21、消法求出值【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x（0，1，所以x=1，所以xx=1，所以A1=1，a1=1；当n=2时，因为x（1，2，所以x=2，所以xx（2，4，所以A2=1，3，4，a2=3；当n=3时，因为x（2，3，所以x=3，所以xx=3x（6，9，所以A3=1，3，4，7，8，9，a3=6；当n=4时，因为x（3，4，所以x=4，所以xx=4x（12，16，所以A4=1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，a4=10；当n=5时，因为x（4，5，所以x=5，所以xx=5x（20，25，所以A5=1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，2

22、5，a5=15，由此类推：an=an1+n，所以anan1=n，即a2a1=2，a3a2=3，a4a3=4，anan1=n，以上n1个式子相加得，ana1=，解得an=，所以=，=2+=2=故答案为：【点评】本题考查了新定义、递推关系、“累加求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.）17（12分）（2014广西）数列an满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式【分析】（）将an+2=2an+1an+2变形为：an

23、+2an+1=an+1an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明bn是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1an并令n从1开始取值，依次得（n1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出an的通项公式an【解答】解：（）由an+2=2an+1an+2得，an+2an+1=an+1an+2，由bn=an+1an得，bn+1=bn+2，即bn+1bn=2，又b1=a2a1=1，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列（）由（）得，bn=1+2（n1）=2n1，由bn=an+1an得，an+1an=2n1，则a2a1=1，a3a

24、2=3，a4a3=5，anan1=2（n1）1，所以，ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2，又a1=1，所以an的通项公式an=（n1）2+1=n22n+2【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题18（12分）（2015秋合肥校级月考）已知ABC三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（）求角B的取值范围；（）设f（x）=3sinx+4cosx，求f（B）的最大值及f（B）取得最大值时tanB的值【分析】（）由等比数列的性质可求b2=ac，利用余弦定理，基本不等式可得cosB，结合B的范围即可得解

25、（）利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值得出结论【解答】解：（）因为a，b，c成等比数列，可知b2=ac，所以cosB=，所以0（）f（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+），其中sin=，cos=，所以f（B）=5sin（B+），0B，B+，可知当B+=时，f（B）max=5此时tanB=【点评】本题主要考查了等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，辅助角公式，正弦函数的最大值在解三角形中的应用，属于基础题19（12分）（2015秋合肥校级月考）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2+x（）讨论函数g（x）的极值点的个数；（）若不等式2f（x）g（x）在x（0

26、，+）上恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）求g（x）的导数g（x），利用导数判断函数g（x）的单调性，从而求出g（x）的极值点；（）不等式转化为alnxx对x（0，+）上恒成立，求出函数h（x）=lnx在（0，+）的最大值即可【解答】解：（）由g（x）=x3+ax2+x，求导g（x）=3x2+2ax+1，判别式=4a212，令=0，解得a=±；当a时，=4a2120，g（x）0，所以y=g（x）在R上单调递增，无极值，无极值点；当a或a时，0，所以g（x）=3x2+2ax+1=0有两个不等的实根x1和x2，则；从而有下表： x （，x1） x1 （x1，x2）x2（x2，+） g

27、（x）+0 0+g（x）单调递增g（x1）为极大值 单调递减g（x2）为极小值 单调递增根据表格可知此时函数g（x）有两个极值点，极大值点x1，极小值点x2（）即：2xlnx3x2+2ax+1对x（0，+）上恒成立，可得alnxx对x（0，+）上恒成立；设h（x）=lnx，则h（x）=+=令h（x）=0，得x=1或x=（舍）；当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=2，a2a的取值范围是2，+）【点评】本题考查了导数的综合应用问题，也考查了转化法语不等式的解法应用问题，是综合性题目20（12分）（2015秋合肥校级月考）设Sn是数列an（nN

28、*）的前n项和，a1=1，且Sn2=n2an+Sn12，an0，n2，nN*（1）证明：an+2an=2（nN*）；（2）若an=log3bn，求数列anbn的前n项和Tn【分析】（1）由Sn2=n2an+Sn12可得Sn+Sn1=n2，从而可得an+1+an=2n+1，从而证明；（2）由（1）可解得an=n，bn=3n，从而利用错位相减法求前n项和【解答】解：（1）证明：Sn2=n2an+Sn12，n2an=（Sn+Sn1）（SnSn1），即n2an=（Sn+Sn1）an，又an0，故Sn+Sn1=n2，故Sn+1+Sn=（n+1）2，故an+1+an=2n+1，故an+2+an+1=2n+

29、3，故an+2an=2（nN*）；（2）由题意可解得，a1=1，a2=2，故an=n，故log3bn=n，故bn=3n，故Tn=13+232+333+n3n，3Tn=132+233+334+n3n+1，故2Tn=n3n+1（3+32+33+3n）=n3n+1=n3n+13n+1+，故Tn=【点评】本题考查了学生的化简运算能力及错位相减法求前n项和的应用21（12分）（2015秋合肥校级月考）设f（x）=（ax）ex1（）当x0时，f（x）0，求实数a的最大值；（）设，x1=1，证明【分析】（）对函数求导，分类讨论n的取值，根据函数的单调性及极值情况即可判断；（）利用数学归纳法，构造函数，求导根

30、据函数的单调性，比较自变量的大小【解答】解：（）f（x）=（ax）exex=（ax1）ex，令f（x）=0解得：x=a1，当a10时，f（x）0，在x0时恒成立，f（x）在上（0，+）单调递减；f（x）f（0）=a10，即当x0时，f（x）0，成立，当a10时，函数f（x）在（0，a1）上单调递减增，在（a1，+）单调递减；x0=a10，f（x0）f（0）=a10，与x0时，f（x）0矛盾，以实数a的最大值为1；（）证明：xn+1，当n=1时，=e1，x2，显然成立，假设当n=k时，（kN*），xk+1，=g（xk+1）g（），下证g（）=，构造函数h（x）=x（g（x），则h（x）=ex（1

31、+）=（1+）0，h（x）在（0，+）是增函数，h（）0，g（），xk+1，由数学归纳法可知：对于正整数n，xn，由（1）可知：a=1时，x0，f（x）0，f（xn）=（1xn）0，xn1=xn，en+1，即xn+1xn，【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，利用构造法即数学归纳法证明不等式成立，考查转化思想，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上.选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016漳州二模）如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用