激光原理第三章

1、第三章第三章 高斯光束高斯光束一、高斯光束一、高斯光束的基本性质的基本性质二、高斯光束的传输二、高斯光束的传输三、高斯光束通过薄透镜的变换三、高斯光束通过薄透镜的变换四、高斯光束的聚焦四、高斯光束的聚焦五、高斯光束的自再现变换和五、高斯光束的自再现变换和ABCDABCD定律在光学谐振腔中的应用定律在光学谐振腔中的应用六、高斯光束的匹配六、高斯光束的匹配七、高斯光束的准直七、高斯光束的准直第一节第一节 高斯光束的基本性质高斯光束的基本性质一、波动方程的基模一、波动方程的基模(TEM(TEM0000模模) )高斯光束高斯光束在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程在标量近似下稳态传播的电磁场

2、满足的赫姆霍茨方程：0020uku这里标量这里标量u u0 0 表示相干光的场分量表示相干光的场分量, ,式中式中u u0 0与电场强度的复表示与电场强度的复表示u u之间的关系为之间的关系为: :0i tuu e可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解, ,它是在缓变振幅近似下的一个特解它是在缓变振幅近似下的一个特解, ,它可它可被表示为被表示为: :(3-1-1)(3-1-1)(3-1-2)(3-1-2)0( , , )ikzux y z e这里这里 ( x , y , z )( x , y , z ) 可看成是振幅函数可看成是振幅函数, ,一般是一个沿

3、一般是一个沿z z轴缓慢变化的复函数轴缓慢变化的复函数. .222220ikxyz设该方程的试探解设该方程的试探解: :22exp ( )()2 ( )ki P zxyq zP(z)P(z)为与光波传输有关的复相移为与光波传输有关的复相移, , q(z)q(z)是复光束参数是复光束参数, , 即复曲率半径即复曲率半径, ,表示光强距离轴表示光强距离轴距离距离r r呈高斯变化呈高斯变化, ,也表示也表示xyxy平面上的相移平面上的相移, ,将将(3-1-4)(3-1-4)代入代入(3-1-3)(3-1-3)式得：式得：(3-1-3)(3-1-3)( 3-1-4)( 3-1-4)2222()2(

4、)( )kkixyq zq z2( )( )22202( )dP zdq zkixydzdzq z(3-1-5)(3-1-5)将将x x和和y y的同次幂项合并在一起得的同次幂项合并在一起得: :222222( )( )()220( )( )( )kdq zkkdP zxyikqzdzqzq zdz欲使该式对欲使该式对 x x 和和 y y 的任何值都成立的任何值都成立, ,要求要求x x和和y y同次幂的系数之和分别等于零同次幂的系数之和分别等于零. . 结果可结果可得下列两个简单的常微分方程得下列两个简单的常微分方程: :( )1( )( )dq zdzdP zidzq z (3-1-6)

5、(3-1-6)(3-1-7)(3-1-7)由（由（3-1-63-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论）式与其他参量无关，所以先讨论它的解及其含义。它的解很简单：它的解及其含义。它的解很简单：0( )q zqz（3-1-83-1-8）场的相对振幅rZ=010.368 0图3-1-1 场在横向平面上的变化q q 0 0 是是 z = 0z = 0 处的复光束参数处的复光束参数, , 适当选择适当选择 z =0 ,z =0 ,就可消去就可消去q q 0 0 的实部的实部, ,因此因此q q 0 0为虚为虚数数, ,令令 q q 0 0 = i z = i z 0 0 上式可写为上式可写为: :0(

6、)q zziz将（将（3-1-93-1-9）式代入）式代入 （3-1-43-1-4）式）式 , , 并令并令 z=0, z=0, 得得 z=0 z=0 处基模的振幅分布处基模的振幅分布: :（3-1-93-1-9）200(0)exp()exp(0)2krzip zz（3-1-103-1-10）第一指数项是实数，当第一指数项是实数，当 时时,振幅下降到中心值振幅下降到中心值的的 ,此时的此时的 r 值定义为光斑尺寸值定义为光斑尺寸 (光斑半径光斑半径) , 用用 0 表示表示, 则：则：202rzk1 e22000002, zzzk200iq(3-1-11)(3-1-11)0.368(3-1-1

7、2)(3-1-12)如图如图3-1-1在任意在任意 z z 处处, , q q 值按值按 3-1-7 3-1-7 式变化式变化, ,下面讨论下面讨论 q q 的倒数的倒数0222200011( )zziq zzizzzzz(3-1-13)(3-1-13)将（将（3-1-133-1-13）代入（）代入（3-1-43-1-4）可得：）可得：220222200expexpexp( )2()2()kz rikzriP zzzzz在上式的第一个指数因子中，乘以在上式的第一个指数因子中，乘以 的项是一个标度的长度，并把它称为光束的的项是一个标度的长度，并把它称为光束的光斑尺寸，它是光斑尺寸，它是Z Z的函

8、数：的函数：2222000022( )()1zzzzzkzkz（3-1-143-1-14）222020( )1() zz（3-1-153-1-15）2r利用（利用（3-1-113-1-11）式，则上式可写成：）式，则上式可写成：再将（再将（3-1-143-1-14）式中的第二个指数因子中）式中的第二个指数因子中的有关项写成：的有关项写成： R ( z ) =z1( z 2 + z0 )2 = z 1 + ( ) 0 z 22（3-1-163-1-16）根据第二章第七根据第二章第七节节可以可以清清楚滴了解（楚滴了解（3-1-153-1-15）式和（）式和（3-1-163-1-16）式的物理意）式

9、的物理意义义。现现在在讨论讨论（3-1-73-1-7）式的解，把（）式的解，把（3-1-83-1-8）式代入（）式代入（3-1-73-1-7）式，表示）式，表示P P（z z）与与q q（z z）的）的关关系系0( )( )dP ziidzq zzq （3-1-173-1-17）上式关于参数上式关于参数P P的解为：的解为：20( )ln1()ziP zi现在我们利用关系式现在我们利用关系式:2 1/22220001()1() exparctan()zzzii(3-1-17)(3-1-17)0000lnlnzdzip zz qqz q则上式成为则上式成为0ln(1)zPiq（3-1-18)3-

10、1-18)将（将（3-1-123-1-12）代入（）代入（3-1-183-1-18）式，得：）式，得：求出求出 P (z)P (z) 的实部和虚部的实部和虚部: :2 1/22200( )ln1() arctan()zziP zi这样这样, ,我们感兴趣的指数项变为我们感兴趣的指数项变为: :22 1/20200201exp( )exp arctan()1() =exp arctan()( )ziP zizziz将将(3-1-20) ,(3-1-14) (3-1-20) ,(3-1-14) 代入代入(3-1-2) (3-1-2) 式式, , 并考虑到前面所作的各种定义并考虑到前面所作的各种定义

11、 , , 求得波求得波动方程的解动方程的解: :(3-1-20)(3-1-20)(3-1-19)(3-1-19)u0 ( x,y,z) = exp - 0 (z)r 2 2(z)振幅因子振幅因子 exp - i k z - arc tan ( ) z02纵向相位纵向相位 exp - i k r 22 R(z)径向相位径向相位(3-1-21)（3-1-213-1-21）式是波动方程（）式是波动方程（3-1-223-1-22）式的一个特解，叫做基模（）式的一个特解，叫做基模（TEM00TEM00）高斯光束。光束参）高斯光束。光束参数数R R（z z）表示等相面的曲率半径，）表示等相面的曲率半径，w

12、(z)w(z)表示光斑半径，表示光斑半径， 表示附加相位。由该式可见表示附加相位。由该式可见基模高斯光束的性质，包括场分布及传输特点，主要由下面三个参数决定：基模高斯光束的性质，包括场分布及传输特点，主要由下面三个参数决定：20tanzarcw 200220011zzwwzwzw)(1 )1 ()(2020zzzzwzzR200wz )(2exp)arctan(expexp,2202200zRkriwzkzizwrzwwzyxu二、基模高斯光束的性质二、基模高斯光束的性质1 1、振幅：在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。光、振幅：在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描

13、述的规律从中心向外平滑降落。光斑半径随斑半径随z z的变化规律为：的变化规律为： 200220011zzwwzwzw光斑半径随着坐标光斑半径随着坐标z z按双曲线规律变化：按双曲线规律变化： 1202202zzwzww(z)w02w020ZR=fR(f)=2fw(z)R(Z)图图3-1-2 高斯光束通过截面的轮廓高斯光束通过截面的轮廓2 2、高斯光束的相移和等相位面分布、高斯光束的相移和等相位面分布基模高斯光束的相移特性由相位因子决定基模高斯光束的相移特性由相位因子决定)arctan()(2,202wzzRrzkzyx它描述高斯光束在点它描述高斯光束在点( (r,zr,z) )处相对于原点处相

14、对于原点( (0,00,0) )处的相位滞后，其中处的相位滞后，其中 描描述几述几何相位为何相位为 描述高斯光束在空间行进描述高斯光束在空间行进距离距离z z时相对几何相移的时相对几何相移的附加相位超前，因子附加相位超前，因子 描述与径向有关的相移。描述与径向有关的相移。在近轴条件下，高斯光束的等相位面是以在近轴条件下，高斯光束的等相位面是以R R（z z）位半径的球面，由（）位半径的球面，由（3-1-163-1-16）式）式决定。由此可得等相位面的曲率半径决定。由此可得等相位面的曲率半径R R和传播距离和传播距离z z的关系曲线，如图的关系曲线，如图3-1-33-1-3所示，所示，下面对该曲

15、线进行讨论：下面对该曲线进行讨论：kz)arctan(20wz)(22zRkr(3-1-22)(3-1-22)0zR束腰处的等相位面为平面，曲率束腰处的等相位面为平面，曲率中心在无穷远处中心在无穷远处 0zz02)(zzR为最小值为最小值0zz zzR)(在远场处可将高斯光束近似为一个由在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0z=0发出，发出，半径为半径为z z的球面波的球面波z,R无穷远处等相位面为平面，无穷远处等相位面为平面，曲率中心在曲率中心在z=0z=0处处图图3-1-33-1-3 R=Z3 3、瑞利长度、瑞利长度 取取 时，这段长度内时，这段长度内, ,可近似认为高斯光束是平行的可近似

16、认为高斯光束是平行的, ,这段距离为高斯光这段距离为高斯光束的准直距离束的准直距离. .所以瑞丽长度越长，就意味着高斯光束准直范围越大，并可看所以瑞丽长度越长，就意味着高斯光束准直范围越大，并可看到，高斯光束的最小光斑到，高斯光束的最小光斑 半径越大，它的准直性越好，准直距离越长。半径越大，它的准直性越好，准直距离越长。由图（由图（3-1-33-1-3）式可知，瑞利长度的物理意义为：当）式可知，瑞利长度的物理意义为：当 时时 ，则则 ，即光斑从，即光斑从 最小半径最小半径 , ,增大到增大到 。这个范围是瑞利范围，从最小。这个范围是瑞利范围，从最小光斑处算起的这个长度叫瑞丽长度光斑处算起的这个

17、长度叫瑞丽长度 。200wz02w0z z002ww z0wRzz0z0w4 4、远场发散角、远场发散角远场发散角：远场发散角： 高斯光束振幅减小到中心最大值高斯光束振幅减小到中心最大值1/e1/e处与处与z z轴的交角。轴的交角。z包含在全角发散角范围内的功率占高斯基模光束总功率的包含在全角发散角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.586.521/0( )limezw zzfw21 /2e为全角发散角，是直径为全角发散角，是直径2 光束可能具有的最小发散角。光束可能具有的最小发散角。（3-1-23)3-1-23)0w三、高阶高斯光束三、高阶高斯光束波动方程在直角坐标下可解得横截面内的场分

18、布，它可由厄米多项式与高斯函数波动方程在直角坐标下可解得横截面内的场分布，它可由厄米多项式与高斯函数乘积描述：乘积描述： )(2exp)arctan()1 (expexp)(2)(2,220220zRkriwznmkzizwrzwyHzwxHzwwCzyxunmmnmn（3-1-24)3-1-24)式中式中 是归一化常数。当是归一化常数。当m0,n=0m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-213-1-21），式），式中中 和和 分别为分别为m m阶和阶和n n阶厄米多项式。阶厄米多项式。mnc2( )xw zmH2( )yw znH1 1、

19、垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布、垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：数的乘积决定： )(2)(2exp22zwyHzwxHzwrnm对应着不同整数对应着不同整数m m和和n n，场振幅的横向分布不同，场振幅的横向分布不同2 2、高阶模的总相移、波面的曲率半径光斑半径、高阶模的总相移、波面的曲率半径光斑半径高阶模的总相移与模阶数高阶模的总相移与模阶数m m和和n n有关，表示为有关，表示为)arctan()1 ()(2(,202wznmz

20、Rrzkzyx（3-1-25)3-1-25)u相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异. .u高阶模波面的曲率半径高阶模波面的曲率半径R(z)R(z)与模阶数与模阶数m m和和n n无关，说明在同一传播距离无关，说明在同一传播距离z z处，各阶厄米处，各阶厄米高斯光束波面的曲率半径都相同，且随高斯光束波面的曲率半径都相同，且随z z的变化规律也相同。的变化规律也相同。u高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数m m和和n n而增大。而增大。3 3、波动方程在圆柱坐标系统下

21、的场分布、波动方程在圆柱坐标系统下的场分布在圆柱坐标下，高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述：在圆柱坐标下，高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述： llzRriwzlpkzizwrzwrLzwrzwwCzrulplplplsincos)(2exp)arctan()21 (expexp)(2,22022220上式中上式中 为常数，为常数， 为缔合拉盖尔多项式，在垂直于光束的为缔合拉盖尔多项式，在垂直于光束的任意一个截面上，如果省略掉常数因子，振幅部分的表达式为：任意一个截面上，如果省略掉常数因子，振幅部分的表达式为：（3-1-26)3-1-26)lpc22(

22、)lprLw z llzwrzwrLzwrzrAlplplsincosexp2)(2,2222（3-1-27)3-1-27)arctan()21 ()(2(,202wzlpzRrzkzr在圆柱坐标系统中，高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数在圆柱坐标系统中，高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p p和和 而增大。而增大。四、高斯光束的孔径四、高斯光束的孔径根据（根据（3-1-213-1-21）式：）式： )(2exp)arctan(expexp,2202200zRriwzkzizwrzwwzyxu式（式（3-1-273-1-27）表示沿径向）表示沿径向r r和和p p个节线圈，沿辐射角

23、方向有个节线圈，沿辐射角方向有l l根节线。根节线。 模高斯光束的总相移为：模高斯光束的总相移为：plTEM（3-1-283-1-28）l基模基模(TEM(TEM0000模模) )高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：220exp)(wrArA2202exp)(wrIrIr r为从光斑中心算起的距离，为从光斑中心算起的距离，w w为该截面处的光斑尺寸为该截面处的光斑尺寸功率透过率功率透过率T T：开孔半径为：开孔半径为a a的圆孔，高斯光束通过半径为的圆孔，高斯光束通过半径为a a的圆孔的功率的圆孔的功率PaPa与总的功与总的功率率P

24、P之比。之比。)2exp(1)()(22020020wardrdrIrdrdrIPPTaa 高斯光束功率透过率与孔径的关系高斯光束功率透过率与孔径的关系：w21ww23w2孔径半径孔径半径a a透过功率百分比透过功率百分比39.300086.500098.890099.9877（3-1-293-1-29）3-1-303-1-30（3-2-313-2-31）透过功率1.00.50.0086%99%d=w1a/w2a2w图3-1-4 高斯光束通过功率与孔径关系第二节第二节 高斯光束的传输高斯光束的传输一、普通球面波在自由空间的传播规律一、普通球面波在自由空间的传播规律普通球面波波前曲率半径随传播过

25、程的变化为：普通球面波波前曲率半径随传播过程的变化为：R1(z)R2(z)z1z2zL00R1R2zz11122( )( )R zzR zR zzzR zL（3-2-13-2-1）（3-2-13-2-1）式表示球面波在自由空间的传播规律。）式表示球面波在自由空间的传播规律。图图3-2-1 球面波的传输球面波的传输图图3-2-2 近轴球面波通过薄透镜的传输近轴球面波通过薄透镜的传输O Xf当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为f f的透镜时，其波前曲率半径满足关系的透镜时，其波前曲率半径满足关系 ： 111RzR zf沿光束传播方向的发散球面波曲率半径为正沿光束传播方向的发散球面波曲率半径为正

26、, ,会聚球面波曲率半径为负会聚球面波曲率半径为负. . 对球面波经透对球面波经透镜的传输可表示为镜的传输可表示为: :211211AxBxCxD21222( )( )( )xAR zBRzCRzD这个式子反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系这个式子反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系(3-2-2)(3-2-2)(3-2-3)(3-2-3)(3-2-4)(3-2-4)二二. . 高斯光束的复参数高斯光束的复参数 q q 表示表示复参数复参数q q的定义的定义: :0( )q zziz211( )( )( )iq zR zz（3-2-53-2-5） 具体来

27、说，高斯光束可由波前曲率半径具体来说，高斯光束可由波前曲率半径R（z ）,光斑半径光斑半径W（z）和位置）和位置z中任意中任意两个量来表述。因此引入两个量来表述。因此引入复参数复参数q（z）将这三个量联系起来。）将这三个量联系起来。利用式（利用式（3-1-15），（），（3-1-16）代入（）代入（3-2-5）式，可得：）式，可得：（3-2-6）利用复参数利用复参数q可将（可将（3-1-21）式表示为：）式表示为： 200201exp()exparctan2( )wrzuiki kzw zq zw（3-2-7）研究高斯光束在空间的传输规律研究高斯光束在空间的传输规律, ,就是研究其光斑半径就是

28、研究其光斑半径 (z), (z), 波面曲率半径波面曲率半径 R(z) R(z) 在在传输过程中的变化规律传输过程中的变化规律. . 2222200200222200( )1() ( )1() zzzzzzzR zzzz由上面两式可得：由上面两式可得：212222101() 1() RzRR三三. . 高斯光束高斯光束 q q 参数的传输参数的传输（3-1-15）（3-1-16）02zzzR z（3-2-10）还可得：还可得：（3-2-11）下面证明下面证明, , 高斯光束的复曲率半径在传输过程中与球面波的曲率半径所遵从的规律高斯光束的复曲率半径在传输过程中与球面波的曲率半径所遵从的规律是相同

29、的。根据（是相同的。根据（3-2-53-2-5）式复参数）式复参数q q的定义：的定义：211( )( )( )iq zR zz200( )q zizqz21211()()()()q zq zzzq zL可见高斯光束的复数曲率半径与普通球面波的曲率半径遵循相同的传输规律。可见高斯光束的复数曲率半径与普通球面波的曲率半径遵循相同的传输规律。（3-2-5）将（将（3-1-15）和（）和（3-1-16）代入（）代入（3-2-5）式，整理得：）式，整理得：（3-2-12）由（由（3-2-12）可推得：）可推得：（3-2-13）四四. . 高斯光束的高斯光束的 ABCD ABCD 定律定律现在讨论如何用

30、矩阵方法来描述高斯光束的传播和变换。高斯光束复参数现在讨论如何用矩阵方法来描述高斯光束的传播和变换。高斯光束复参数q q通过传输矩阵通过传输矩阵 的光学系统，其变换遵守的光学系统，其变换遵守ABCDABCD定律：定律：121AqBqCqDA A、B B、C C、D D为该光学系统的光线矩阵元，为该光学系统的光线矩阵元，q1q1和和q2q2分别为在入射平面分别为在入射平面(1)(1)和出射平面和出射平面(2)(2)的复光束参数。的复光束参数。光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来，我们光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来，我们可以把（可以把（3-2-14）写成倒数形式：）写

31、成倒数形式：A BMC D（3-2-14）222111CDqqABq（3-2-15）21nMMMM如果复参数如果复参数q1q1的高斯光束顺次通过传输矩阵为的高斯光束顺次通过传输矩阵为11111,ABMCD22222,ABMCD,nnnnnABMCD的光学系统后变为的光学系统后变为qn的高斯光束，如图的高斯光束，如图3-2-3所示，利用矩阵乘法法则，此时所示，利用矩阵乘法法则，此时ABCD定律亦成立，其中定律亦成立，其中ABCD为下面矩阵为下面矩阵M的诸元：的诸元：11112222DCBADCBADCBADCBAMnnnn（3-2-16）（3-2-17）zzw0www0RRqfqff第三节第三节

32、 高斯光束通过薄透镜的变换高斯光束通过薄透镜的变换图图3-3-1 薄透镜对高斯光束的变换薄透镜对高斯光束的变换当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为f f的透镜时，其波前曲率半径满足的透镜时，其波前曲率半径满足 关系式关系式 ：fRR111出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：出射光束在透镜处的光斑尺寸满足：lww 表示入射高斯光束在透镜处的表示入射高斯光束在透镜处的q参数：参数：fq211fiqRw 表示出射高斯光束在透镜处的表示出射高斯光束在透镜处的q参数：参数：lfq211llfiqRw（3-3-2）（3-3-3）根据上面四个式子可以得到：根据上面四个式子可以得到：111ffqfq距离透镜分

33、别为距离透镜分别为z z和和z zl l处的复参数：处的复参数：zqqffqqz将（将（3-3-73-3-7）式与（）式与（3-2-143-2-14）式代入（）式代入（3-3-43-3-4）式可以得到）式可以得到z zl l处的处的q ql l: :(1)()(1)zzzqzzffqqzff上式表明，已知透镜的焦距，只要知道入射高斯光束的上式表明，已知透镜的焦距，只要知道入射高斯光束的q q和和z z，就可求得出射高斯光，就可求得出射高斯光束在束在z zl l处的处的q ql l 。(3-3-7)(3-3-7)（3-3-4）（3-3-5）(3-3-6）将（将（3-3-73-3-7）式与（）式与

34、（3-2-143-2-14）式比较可得）式比较可得ABCDABCD诸矩阵元为诸矩阵元为DCqBAqq01/11AzfBzzzz fCfDz f （3-3-8）由此可知用传输矩阵由此可知用传输矩阵 也可计算出射高斯光束的也可计算出射高斯光束的q参数：参数：A BC D将（3-3-9）式和（3-3-10）式代入（3-3-7）式，得：200wiqq200wqqi（3-3-9）（3-3-10）0000(1) (1)()q qzzzzqqzzffff（3-3-11）由于由于q0和和q0都是虚数，所以上式的左右两端的虚部和实部应分别对等，于是得到下列两式都是虚数，所以上式的左右两端的虚部和实部应分别对等，

35、于是得到下列两式00qfzqfz0()zzqqz zff （3-3-12）（3-3-13）2020wfzwfz2200w wzzzzff将（将（3-3-9）（）（3-3-10）式代入，得：）式代入，得：（3-3-14）（3-3-15）2200242022(1)wwwzff由以上二式可得出由以上二式可得出W0和光腰所在位置的和光腰所在位置的Z的公式的公式为为：（3-3-16(3-3-17)(3-3-17)(3-3-18)(3-3-18)(3-3-19)(3-3-19)242022(1) 1(1)zfzfwzff为为了了讨论讨论方便起方便起见见（3-3-16）（）（3-3-17）式可改）式可改写为

36、写为：20242200221(1)wwzwff242022(1)1(1)zzfwzfff可进一步写成可进一步写成: :经透镜变换后的腰斑大小由（经透镜变换后的腰斑大小由（3-3-183-3-18）式决定，）式决定，经透镜变换后的束腰位置由（经透镜变换后的束腰位置由（3-2-193-2-19）式决定）式决定 下面讨论（下面讨论（3-3-183-3-18）（）（3-3-193-3-19）这两个表达式）这两个表达式, , 借以说明高斯光束通过薄透镜的借以说明高斯光束通过薄透镜的传输特点传输特点. .。 （1 1）242022(1)wzff即：即：|, Rfzz（3-3-20）式中式中 为为入射高斯光

37、束的瑞利距离。入射高斯光束的瑞利距离。则则（3-3-19）式近似）式近似为为：Rz111zzff（3-3-21）图3-3-2图3-3-3 w0/w0与z/f的关系 （2）当入射高斯光束的光腰处在薄透镜前焦点附近时，我们可以把（）当入射高斯光束的光腰处在薄透镜前焦点附近时，我们可以把（3-3-16）写成）写成下面形式：下面形式：（3-3-22）0Ffww122021Fofzwww（3-3-23）0Ffww（3-3-24）WF是入射光束在透镜前焦面上的光斑半径是入射光束在透镜前焦面上的光斑半径. .(3-3-26)(3-3-26)002 1/22()1 Fzfwww0Ff（3-3-25）WF是透镜

38、后焦面上的光斑半径是透镜后焦面上的光斑半径式（式（3-3-24）表明只要测得透镜焦面上的光斑）表明只要测得透镜焦面上的光斑WF，就能根据下式求出入射光束，就能根据下式求出入射光束的远场发散角（半角）：的远场发散角（半角）：这是测量光束发散角最常采用的方法。这是测量光束发散角最常采用的方法。第四节第四节 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦 现在讨论高斯光束通过单透镜的聚焦问题。我们利用（现在讨论高斯光束通过单透镜的聚焦问题。我们利用（3-3-163-3-16）（）（3-3-173-3-17式），式），分析分析 高斯光束高斯光束射腰斑射腰斑 0 0 随随 0 0 , z , f , z , f 的变化规

39、律。的变化规律。一一. f . f 一定一定, , w w0 0l l 随随 z z 的变化情况的变化情况将（将（3-3-163-3-16）式对）式对z z求一阶偏导：求一阶偏导：0023/20()()ww ffzzzzf这里这里 为共焦参数即瑞利距离为共焦参数即瑞利距离ZR，由此可得，由此可得200wz（3-4-1）1.0, 0,wzfz随随 z 减小减小 w0随之减小随之减小. z = 0 时达最小时，时达最小时，w0达到最小。达到最小。2002200min011fzf(3-4-2)(3-4-2)由（由（3-3-17）式可得：）式可得：021ffzz(3-4-3) 由由(3-4-2) 和和

40、(3-4-3) 可见可见, z=0 时时, 有有 0总小于总小于 0 , 故不论故不论 f 多大多大, 只要只要 f 0 , 总能起到会聚作用总能起到会聚作用,且且 z f , 即像方腰斑在透镜的后焦点内即像方腰斑在透镜的后焦点内. f f 时时, w0 zf时，有： 式中式中 （3-4-3-4-7 7）且有且有z f若还满足若还满足 z w0 2= z0 , 则则W0= f w0z0z= fw0z(3-4-8)因此因此z 越大越大, f 越小越小, 聚焦效果就越好。聚焦效果就越好。3.当当Z=f时，这时时，这时w0达到极大值。达到极大值。00maxfww(3-4-9)且且z=f,仅当仅当 f

41、 0 2= z0 , 透镜才有会聚作用透镜才有会聚作用.上面讨论的结果可用图上面讨论的结果可用图3-4-1表示。有图知，只要表示。有图知，只要 总能聚焦。总能聚焦。 ffz=fW0zf0 w0 fw0 1 + (z0 /f ) 2图图3-4-1 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦二二. z . z 一定一定, , w w0 0 随随 f f 而变的情况而变的情况 w0 f= w0 z0 + z ( z - f ) z0 + ( z - f ) 223/ 2(3-4-10)将（将（3-3-16）式对）式对f求一阶偏导数，得：求一阶偏导数，得：当当w0 和和 z 一定一定时时, w0随随 f 而而变变的

42、情的情况况如下如下图图:R(z)w012w010z1 / 2 R(z)图图3-4-2 1. 当当 f = z 1 + ( )2 = R(z) 时时, （3-4-11） w0取极大值，亦可看出取极大值，亦可看出z0z(3-4-12)式中式中R(z), w(z) 为入射在透镜前表面的波阵面曲率为入射在透镜前表面的波阵面曲率半径和光斑半径。半径和光斑半径。2. f 0 , w0 随随 f 的减小而减小的减小而减小12当当 f = R(z) 时时,w0= w0 (3-4-12)max120001 ( )( )zwww zz从图可以看出，从图可以看出， 对于一定的对于一定的z z 值值, , 只有只有

43、f (1/2)R(z) f (1/2)R(z) 时时, , 透镜才能对高斯光束起聚透镜才能对高斯光束起聚焦作用焦作用, , 且且 f f 越小越小, , 聚焦聚焦 效果越好效果越好. . 当当 f z f R(z)时时, w0 f f z f 时时, , 总会使高斯光束聚焦。总会使高斯光束聚焦。 将（将（3-3-22）式写成如下形式：）式写成如下形式：w0= f (z)fD = F (3-4-14)焦焦深就是纵向聚焦范围深就是纵向聚焦范围, , 一般用束腰长度来表示一般用束腰长度来表示: : 2z0= 2 0 2(3-4-15)第五节第五节 高斯光束的自再现变换和高斯光束的自再现变换和ABCD

44、ABCD定律在光学谐振腔中的应用定律在光学谐振腔中的应用应同时满足：应同时满足：W0= w0z= z (3-5-1)用用 q 参数来描述参数来描述, 即即:q(z=z) = q(3-5-2) 下面讨论利用下面讨论利用 ABCDABCD 定律来求解复杂光学谐振腔的基模光束参数定律来求解复杂光学谐振腔的基模光束参数. . 我们用我们用 q q 参数来描述模参数来描述模的自再现变换的自再现变换. .当高斯光束通过透镜后模结构不发生变化，称为自再现变换。当高斯光束通过透镜后模结构不发生变化，称为自再现变换。A1 B1C1 D1A2 B2C2 D2pR1R2P为参考面为参考面 q为为p 处复光束参数，光

45、束在谐振腔中循环一周处复光束参数，光束在谐振腔中循环一周的变换矩阵为的变换矩阵为:=A BC DD2 B2C2 A21 0-2/R2 1A2 B2C2 D2A1 B1C1 D11 0-2/R1 1 D1 B1C1 A1 (3-5-3) q = 往返一周复参数按复参数传输的往返一周复参数按复参数传输的ABCDABCD定律为定律为: :A q + BC q + D (3-5-4)根据高斯光束在腔内形成自再现模的条件为根据高斯光束在腔内形成自再现模的条件为:q= q(3-5-5)将将(3-5-5) 代入代入 (3-5-4) 可得得: :q =A q + BC q + D由上式对1/q求解并等于（3-2-5）式：q1=( D - A )2B i 4 - ( A + D) 22B= R1- i 2 (3-5-6)式中 号的选取应保证 为负值。24 () /(2 )A DB 从从 ( 3-5-6) 式可求出高斯模在参考面式可求出高斯模在参考面