324-9.1-垂径定理

1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 1.理解圆的对称性；理解圆的对称性；2.理解掌握圆的垂径定理，并能灵活运用。理解掌握圆的垂

2、径定理，并能灵活运用。重点：重点：理解掌握垂径定理理解掌握垂径定理难点：难点：灵活运用垂径定理解决有关圆问题灵活运用垂径定理解决有关圆问题 培养探索、推理、归纳、证明的能力及培养探索、推理、归纳、证明的能力及用用 数学语言表达数学问题的能力数学语言表达数学问题的能力. 培养独立思考、敢于质疑、善于表达培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯；学会互助、合作、交流的习惯；学会互助、合作、交流.如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）

3、你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 一一（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直所在的直线是它的对称轴线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧思考：思考：平分弦（

4、不是直径）的直径有什么性质？平分弦（不是直径）的直径有什么性质？即即，AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧推论：推论：平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂垂直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. .（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）

5、（5）（1）过圆心（）过圆心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分）平分弦所对的劣弧弦所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两

6、个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论推出其他三个结论结论结论你学会了吗？你学会了吗？一、判断下列说法的正误一、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过

7、弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 OABCDM3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 O的直径为的直径为10cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 。二、填空：二、填空：OABCD1.两条

8、弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧4 4、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的距离是间的距离是_ _ . .1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。E.ACDBO3、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。

9、求证：求证：ACBD.MCDABON你能讲解你能讲解吗？吗？你能有一句话概括一下吗？你能有一句话概括一下吗？小结小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOBODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与A

10、B 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高7.218.7圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. .垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理: :在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条

11、直线来说。如果具备说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE学生练习学生练习已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF 在直径为在直径

12、为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些油后油后, ,油面宽油面宽AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。ABOED(1)(2)BAOED例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径的半径.AEBO讲解讲解判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.( )（3）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（