第五章线性离散系统振动理论的应用课件

1、5.1 单自由度系统阻尼比和单自由度系统阻尼比和 固有频率的确定固有频率的确定 5.2 旋转失衡旋转失衡 5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速 5.4 振动隔离振动隔离5.5 动力吸振器动力吸振器5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 阻尼比的确定阻尼比的确定对于阻尼未知的系统或阻尼特性未知的对于阻尼未知的系统或阻尼特性未知的材料组成的单自由度系统，给定初始扰材料组成的单自由度系统，给定初始扰动后测定其自由振动的时间历程，当阻动后测定其自由振动的时间历程，当阻尼较小时，一般可等效为具有粘性阻尼尼较小时，一般可等效为具有粘性阻尼的系统。的系统。图 3.6

2、 弱阻尼系统x - t 曲线 tRtxtdcosen 的极值发生位置的极值发生位置 tx 0tx tRtxtdncosen0sineddntRt1 1、对数衰减率、对数衰减率5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定2d1tant 出现一次极值，出现一次极值， 出现一次极大值。出现一次极大值。相邻两个极大值之比相邻两个极大值之比( ( 衰减率衰减率 ) )为为 t /dd/2tdnn2ddd1e2cosecosnntntnnntRtRxx2dn1221eennxx2112lnnnxx对数衰减率为对数衰减率为 阻尼比的确定阻尼比的确定5.1 单自由度系统阻尼比和

3、固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定当阻尼较小时，当阻尼较小时，取第一个和第取第一个和第n个极大值来计算对数衰减率个极大值来计算对数衰减率 d1n1n21d1d1d1e21cosecosnttnntRtRxx12dnen21121ln nxxn2112ln11nxxn224阻尼较小时：阻尼较小时： 2图图 5.1 - 曲线曲线两边取对数两边取对数阻尼比的确定阻尼比的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定2、面积法、面积法 自由振动衰减曲线的包络线为自由振动衰减曲线的包络线为 tRtxne 在在t1时间中上包络线与坐标轴之间的面积时间中上包络

4、线与坐标轴之间的面积A为：为： tRAttde1n01e1nntR两边同除两边同除 )(1tRnt1e11tRAAAA0.0200.1040.2150.3340.4640.6060.7610.9341.260.990.950.900.850.800.750.700.650.601.3341.5941.8852.2322.6573.1973.7564.9655.2350.550.500.450.400.350.300.250.200.19 与无因次面积 的关系 A阻尼比的确定阻尼比的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定计算步骤：计算步骤： 2) 作上包

5、络线；作上包络线； 3) 选选 作图得到面积作图得到面积A，并计算，并计算 ； d1nt A 4) 查表查表5 - 1得得 ； 5) 计算阻尼比：计算阻尼比： ndnnnnn2121222224n 1) 测得自由振动衰减曲线；测得自由振动衰减曲线；当当t1为为 n 倍准周期时，倍准周期时， 就是对数衰减率。就是对数衰减率。 n/ARt1e11tRAA阻尼比的确定阻尼比的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定固有频率的确定固有频率的确定 测量第一个和第测量第一个和第n+1个极大值出现的时间间隔个极大值出现的时间间隔 nd ， 2dn12n例例1 某系统自

6、由振动衰减曲线中相邻的四个极大值分别为：某系统自由振动衰减曲线中相邻的四个极大值分别为：x1=11.8mm,x2=10mm, x3=8.475mm, x4=7.182mm, t4 - t1=0.6s。求系统的阻尼比和固有。求系统的阻尼比和固有圆频率。圆频率。 解：解：(1)(1)阻尼比：阻尼比： 1655144. 018. 1ln/ln21xx0263332. 01655144. 041655144. 0422225.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定面积法：面积法：n =4 725. 02401742012174A6835. 00271855. 0(2)

7、(2)固有圆频率固有圆频率： rad/s43.3116 . 023121222ndd固有频率的确定固有频率的确定 := x11.8 e() t()cos 12t0.6 126 11.8 e()0.6 7.182,31.426823830.026332157015.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定1 1、共振法、共振法位移、速度、加速度响应幅值达到最大值时位移、速度、加速度响应幅值达到最大值时系统发生共振。系统发生共振。当激励频率等当激励频率等于于d或或n时系统发生共振。时系统发生共振。当响应的相位角滞后激励力的相位角时系统当响应的相位角滞后激励力的相位角

8、时系统发生共振。发生共振。在位移、速度和加速度响应幅值保持不变而在位移、速度和加速度响应幅值保持不变而激励力幅值最小时系统发生共振。激励力幅值最小时系统发生共振。图 5.2 F - 曲线固有频率的确定固有频率的确定共振的定义共振的定义2222115.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 共振共振 ( ( = =n ) )时时 21 如果能测得如果能测得= =n时的时的X0，并已知此时激励力幅值，并已知此时激励力幅值F0与弹簧刚度与弹簧刚度k，则，则阻尼比阻尼比 或损耗因子或损耗因子 002XkF00XkFQ因子因子 共振时系统最大动能或位能与系统每循环耗散能

9、量之比的倍称为共振时系统最大动能或位能与系统每循环耗散能量之比的倍称为Q因子因子。 共振时粘性阻尼每循环耗能：共振时粘性阻尼每循环耗能： 20nXcE固有频率的确定固有频率的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定共振时最大动能与最大势能相等共振时最大动能与最大势能相等 2020n2121XkXm212/2n20n20ckXcXkQ1/nnhkQne/hc 对粘性阻尼对粘性阻尼对结构阻尼对结构阻尼通过测试手段获得每通过测试手段获得每周期耗能及共振振幅周期耗能及共振振幅 固有频率的确定固有频率的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼

10、比和固有频率的确定2、半功率带宽法、半功率带宽法 当激励频率变化时，可得到当激励频率变化时，可得到曲线曲线 为曲线为曲线 的最大值，的最大值， 曲线上的点曲线上的点1、2 半功率带宽半功率带宽 幅频响应曲线幅频响应曲线 0Xxam0X 0X 2xam00XX半功率点半功率点与与1、2点对应的频率为点对应的频率为 和和 ，频率差，频率差 1212固有频率的确定固有频率的确定5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定1. 1. 对具有粘性阻尼的系统对具有粘性阻尼的系统 nxam00n021XkFX22200212122kFkFXX由半功率点的定义由半功率点的定义

11、08212222081242224224228114421221221固有频率的确定固有频率的确定当当 时，时， 可略去，可略去， ， 1221221212122由幂级数展开公式由幂级数展开公式( )( )：2/11121xxx11122122212nn1225.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定固有频率的确定固有频率的确定2. 对结构阻尼系统对结构阻尼系统 n10 xam0kFXkFkF211022202222210122201201212121 12221122122222112n12/由半功率由半功率点的定义点的定义或或5.1 单自由度系统阻尼比和固

12、有频率的确定单自由度系统阻尼比和固有频率的确定固有频率的确定固有频率的确定5.2 旋转失衡旋转失衡 振动微分方程振动微分方程 设设广义坐标为机器的位移广义坐标为机器的位移x，向上为，向上为正，坐标原点在机器静平衡时转子的正，坐标原点在机器静平衡时转子的旋转中心旋转中心o。 旋转失衡力学模型旋转失衡力学模型转子质心位移为转子质心位移为texsin加速度为加速度为 texsin2 texmxmMxcxksin2 temxkxcxMsin2 temxkxhxMsin2 对结构阻尼对结构阻尼 整理整理5.2 旋转失衡旋转失衡 设解设解 tXtxsin02222021kemX222221Mem212ar

13、ctan2222021emXM2222201emXM21arctan对结构阻尼对结构阻尼5.2 旋转失衡旋转失衡幅频和相频响应曲线幅频和相频响应曲线 讨论：讨论：相位角同简谐激励下的响应，相位角同简谐激励下的响应，而无量纲振幅随无量纲频率的变化如下而无量纲振幅随无量纲频率的变化如下表。表。粘性阻尼粘性阻尼结构阻尼结构阻尼emXM0旋转失衡谐激励00FkX01最大值最大值位置位置 1 2011 1 20 121110 10 1 1 11 emXM0旋转失衡 谐激励00FkX5.2 旋转失衡旋转失衡 例例2 偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮旋转失衡为旋转失衡为4

14、.5 kg-cm，用它测量结构的动力，用它测量结构的动力特性。设结构质量为特性。设结构质量为160 kg，激振器质量为，激振器质量为20 kg。当偏心轮转速为。当偏心轮转速为900 rpm，偏心质量，偏心质量在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振幅为幅为2.5 cm。 求求 1)整个系统的固有圆频率；整个系统的固有圆频率； 2)结构的固有圆频率和阻尼比（或损耗因子）；结构的固有圆频率和阻尼比（或损耗因子）； 3)偏心轮转速为偏心轮转速为1200 rpm时结构的振幅及结构向上通过平衡位时结构的振幅及结构向上通过平衡位置时，偏心质量与水平面的夹角。置时，偏心质

15、量与水平面的夹角。 偏心激振器模型偏心激振器模型5.2 旋转失衡旋转失衡解：解：方程方程 M = 20 + 160 = 180 kg，m e = 4.5 kg-cm temxkxcxMsin22 稳态响应为稳态响应为 222221sin2Mtemtx1)1) 偏心质量在正上方，即偏心质量在正上方，即 ，结构向上通过静平衡位置，结构向上通过静平衡位置， 则有，则有， ， 。 2 /t0txt 0/21 （系统）（系统）， nrad/s94.253060 /2900粘性阻尼：粘性阻尼：MemX220MXem02201. 01805 . 25 . 45.2 旋转失衡旋转失衡MemX20MXem020

16、2. 01805 . 25 . 42结构阻尼：结构阻尼： 2) ， ， 212nmmk212nmmkrad/s100121n1nmmmmkkmmc212212mmkc0106. 016018001. 022211211 mmmmkc 粘性阻尼：粘性阻尼： 结构阻尼：结构阻尼： 02. 0 5.2 旋转失衡旋转失衡3) 当转速为当转速为1200 rpm时：时： rad/s4060 /2120034粘性阻尼粘性阻尼: : cm11422. 03/401. 029161180345 . 422220X结构阻尼：结构阻尼： cm11425. 002. 09161180345 . 422220X04.1

17、783413401. 02arctan12arctan22粘性阻尼粘性阻尼: :5.2 旋转失衡旋转失衡结构阻尼：结构阻尼： 53.17834102. 0arctan1arctan22 结构通过平衡位置：结构通过平衡位置： 0tx0t粘性阻尼粘性阻尼: : 04.178t结构阻尼结构阻尼: : 53.178t5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速质心位移为：质心位移为：teytexsin,cos微分方程为：微分方程为： textmxcxkcosdd22teytmycyksindd22 temxkxcxmcos2 temykycymsin2 直立单盘转子直立单盘转子 设特解为设特解为 tAtx

18、xcos tAtyysin5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速， 222221costetx 222221sintety212arctankmc2设设 距离为距离为 oo1R22222221eyxRo G1oo1 导前导前 的相位角的相位角 当当 时，时，R接近最大值，把与接近最大值，把与旋转轴横向振动固有圆频率相当旋转轴横向振动固有圆频率相当的转速称为旋转轴的临界转速的转速称为旋转轴的临界转速 。nnc5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速 轴在不同转速下的相位：轴在不同转速下的相位： 111圆盘质心圆盘质心G G与几何中心的相对位置与几何中心的相对位置 轴以角速度轴以角速度 绕过绕过

19、 点的点的轴心线旋转，而过轴心线旋转，而过 点的轴点的轴心线又以角速度心线又以角速度 绕过绕过 点点的支承点连线转动，方向相的支承点连线转动，方向相同，这称为旋转轴同步正回同，这称为旋转轴同步正回旋。旋。o1o1o在临界转速时，轴上的应力不发生变化，这与不转的轴系在简谐激励下在临界转速时，轴上的应力不发生变化，这与不转的轴系在简谐激励下的共振有本质的区别（轴应力交变）。在临界转速时轴心偏离平衡位置的共振有本质的区别（轴应力交变）。在临界转速时轴心偏离平衡位置的距离达到最大值，也称为共振。的距离达到最大值，也称为共振。阻尼又较小时，阻尼又较小时， 接近接近 ， 因此因此 与与 重合，称为自动定心

20、。重合，称为自动定心。 180eR Go5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速例例3 3 某试验台转子质量某试验台转子质量M为为100100kg，轴直径，轴直径 = 100= 100mm ，弹性模量，弹性模量E =2.11011N/m2，密度，密度 。求转轴的临界转速。求转轴的临界转速。( ( 实质实质是求转子横向振动的固有圆频率，然后转换成转速。是求转子横向振动的固有圆频率，然后转换成转速。) ) 33kg/m108 . 7解：解：(1)(1)求等效系统：求等效系统： 1)用定义求用定义求ke：在轴中央加一个力：在轴中央加一个力F ，位移为位移为x， IElFFxFk483e646 . 0

21、1 . 0101 . 2483411N/m1029. 28单盘转子单盘转子 2)： em5.3 旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速设轴振动时振型与静挠度曲线相同，设轴振动时振型与静挠度曲线相同， 处的位移为处的位移为 ，轴作弯，轴作弯曲振动时沿轴上各点的位移可用表示：曲振动时沿轴上各点的位移可用表示： 3043lylyxx 3043lylyxx系统等效前后的动能分别为：系统等效前后的动能分别为： 2023202022143d4212xMlylyxydVlylylylyxdxMld16249242121206644222022028103434212120220lllxdxM2ly 0 x5.3

22、旋转轴的临界转速旋转轴的临界转速20220435172121xldxM20351721xmM20ee21xmMVkg85.176 . 04108 . 71 . 03517351732emm(2)(2)轴系横向振动的固有圆频率：轴系横向振动的固有圆频率： rad/s9684.139385.171001029. 28eenmMk(3)(3)临界转速：临界转速： rpm133112 /60ncn5.4 5.4 隔振原理隔振原理 隔振：在振源和机器或结构等物体之间用弹性或阻尼装隔振：在振源和机器或结构等物体之间用弹性或阻尼装置连接，以减小振源对其它物体的影响。置连接，以减小振源对其它物体的影响。主动隔

23、振：减小振动系统对外界的影响。主动隔振：减小振动系统对外界的影响。被动隔振：减小外界振源对设备的影响。被动隔振：减小外界振源对设备的影响。力传递率力传递率 ( (主动隔振主动隔振) )设机器的位移设机器的位移x x为广义坐标，向下为正，静为广义坐标，向下为正，静平衡时位移为零。方程为：平衡时位移为零。方程为： 通过弹簧和阻尼器传递的力通过弹簧和阻尼器传递的力 tieFxkxcxm0 5.4 5.4 隔振原理隔振原理 通过弹簧与阻尼器传给地面的动态力幅为弹簧力通过弹簧与阻尼器传给地面的动态力幅为弹簧力和阻尼力的矢量和。和阻尼力的矢量和。定义：力传递率定义：力传递率S S 对粘性阻尼：对粘性阻尼：

24、 2021 Xk2020TXcXkF00XkF 222021 Xk22222121S传递率随无量纲频率传递率随无量纲频率 的变化的变化 5.4 5.4 隔振原理隔振原理 对结构阻尼：对结构阻尼： 20T1 XkF222001 XkF222211S当阻尼可忽略时：当阻尼可忽略时： 讨论：讨论： 01S0S21S结论结论： 1)当时当时 ， ，无隔振效果，振动可，无隔振效果，振动可能放大；能放大；2)2)当时当时 ， ，有隔振效果；，有隔振效果；3) 3) ， ，即当，即当 时，同样的频率时，同样的频率比比 ，系统的阻尼比系统的阻尼比 越小隔振效果越好。越小隔振效果越好。 21S 21SS 221

25、1S5.4 5.4 隔振原理隔振原理例例4 转速为转速为3000 rpm、旋转失衡为、旋转失衡为 0.1 kg - m、质量为、质量为68 kg的电机，安装在的电机，安装在1200 kg的的隔振机座上。系统的固有频率为隔振机座上。系统的固有频率为26.67 Hz，阻尼比为阻尼比为0.1。求：求：1) 隔振机座的振幅；隔振机座的振幅； 2) 通过隔振机座传递到地面的力幅。通过隔振机座传递到地面的力幅。解：解： 机座的振幅为：机座的振幅为： 875. 167.2660/30002222021MemXmm11. 0875. 11 . 02875. 111268875. 11 . 022225.4 5

26、.4 隔振原理隔振原理20T21 XkF32210875. 11 . 0211268267.2611. 0KN2 . 4KN87. 960/230001 . 0220emF讨论：讨论： 2875. 142. 0212122220TFFS思考：若系统阻尼增加，思考：若系统阻尼增加， 如何变化？如何变化？ FT ， ， ， 。 2STF5.4 5.4 隔振原理隔振原理 位移传递率位移传递率( (被动隔振被动隔振) )基础激励基础激励 设底座位移为设底座位移为y y，质量为，质量为m m的设备位移为的设备位移为广义坐标广义坐标x x。底座不动，系统静平衡时设备。底座不动，系统静平衡时设备的位置为广义

27、坐标的原点，方向如图的位置为广义坐标的原点，方向如图. . 粘性阻尼粘性阻尼: : 振动微分方程为：振动微分方程为： xmyxcyxk ycykxkxcxm 结构阻尼结构阻尼: : yhykxkxhxm 5.4 5.4 隔振原理隔振原理 设底座位移为设底座位移为 ，系统质量的位移为，系统质量的位移为tYyietXxie粘性阻尼粘性阻尼 ttYckXcmkii2eieittYhkXhmkii2eiei结构阻尼结构阻尼粘性阻尼粘性阻尼cmkckYXiie2i2 i12 i12222322212 i215.4 5.4 隔振原理隔振原理 hmkhkYXiie2ii1i122222221i1结构阻尼结构

28、阻尼定 义 ： 位定 义 ： 位移传递率移传递率S22222121YXS223212arctan粘性阻尼粘性阻尼5.4 5.4 隔振原理隔振原理222211YXS2221arctan结构阻尼结构阻尼定义：隔振效率定义：隔振效率 %1001S隔振模型隔振模型例例5 5 精密仪器精密仪器 - - 橡胶隔振系统中，橡胶隔振系统中， ， ，地面简谐运动规律为，地面简谐运动规律为 ， ， = = 0. .1256 mm/s。求：精密仪器位移的最大值。求：精密仪器位移的最大值 和隔振效率和隔振效率 。 125. 0Hz8 . 3nfym2maxymaxy maxx5.4 5.4 隔振原理隔振原理解：解：

29、YymaxYYymaxrad/s8 .621021256. 03maxmaxyyYYrad/s876104.2328 . 32nnf63. 2n2 . 063. 2125. 0263. 2163. 2125. 0212222Sm4 . 022 . 0 YSX%80%1001S隔振效率隔振效率5.4 5.4 隔振原理隔振原理 测振仪测振仪测振仪利用了基础激励下相对测振仪利用了基础激励下相对运动与原运动的关系运动与原运动的关系 系统振动微分方程为：系统振动微分方程为： xmyxcyxk ymzkzczm2 设设 ，则相对位移，则相对位移 ， tYysintZzsin222221kYmZ222221

30、Y5.4 5.4 隔振原理隔振原理1 1、位移测量：、位移测量： 时，时， ， 707. 05 . 2ZY 12、速度测量、速度测量：1YZ1YZ利用电路输出电压：利用电路输出电压： Ztv3 3、加速度测量、加速度测量： 2222n2211YZ0YYZ 2n25.5 5.5 动力吸振器动力吸振器无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器 无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器2100mmM 22221kkkkkK稳态响应稳态响应 22122222111122221kmkmkFmkX2222221211222kmkmkkFmk212212214211222kkkkmkmmmFmk5.5 5.5 动力吸振器动力

31、吸振器221222221111212kmkmkFkX22222212112kmkmkkFk2122122142112kkkkmkmmmFk当当 时，时， ， 22mkA01X21222222122221222221122kkmkkmmkkmmkkmmkmmFkX21kF 5.5 5.5 动力吸振器动力吸振器这时这时 传给传给 的力为的力为 2k1m1212122FkFkxxkF作用于作用于 上的激励力与由弹簧上的激励力与由弹簧 传给传给 的力恰好抵消，因而的力恰好抵消，因而 。1m2k1m01X11mk1122kmmk12mm设设212212214212121222121111kkkkmkmm

32、mkmmmkkmmkFX2122122142121212121112kkkkmkmmmkmmkkmmkFX211kF2211kF5.5 5.5 动力吸振器动力吸振器222241111kFX112kFX设：设： ， ，令，令 可得到可得到 ，（二自由度的固有频率）。，（二自由度的固有频率）。12 . 0 012012 . 2245582575. 16417424. 0242 . 22 . 2228010882. 012483018. 125.5 5.5 动力吸振器动力吸振器无量纲响应随无量纲无量纲响应随无量纲频率变化的曲线频率变化的曲线曲线曲线1- -和曲线和曲线2- -当当 =1，即，即 = 1= 2时才时才能使能使 1= 0，从而，从而X2=0。当。当稍偏离稍偏离 1.0 ，|X1| 就很快就很快增，因而当动力吸振器设增，因而当动力吸振器设计好后，只要激励频率略计好后，只要激励频率略有偏离，原系统的响应就有偏离，原系统的响应就会增加。因此，只有当单会增加。因此，只有当单自由度系统受单一频率激自由度系统受单一频率激励力作用时，才能设计一励力作用时，才能设计一个无阻尼动力吸振器来抑个无阻尼动力吸振器来抑制系统的响应。制系统的响应。5.5