第4章概率习题课07

1、主要内容主要内容第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征( (一一) ) 数学期望数学期望( (均值均值) )kkkpxXE 1)(kkkpxgXgEYE 1)()()(dxxfxXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( ijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( dxdyyxfxXE),()( ijiijpxXE 11)(数学期望的性质: 假设以下随机变量的数学期望均存在假设以下随机变量的数学期望均存在 1. E(C)=C, （C 是常数是常数） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常数是常数）

2、3. E(X Y )=E(X ) E(Y ), 4. 设设X与与Y 相互独立相互独立, ,则则 E(XY )=E(X )E(Y)kkkpxXD 21E(X)(1,2,k ,PX kkpx1 1。若若X: : 离散型离散型. .dxxfxXD)(E(X)(2 2 2。若若X: : 连续型连续型. .概率密度为概率密度为 f(x)E(X)XEVar(X)D(X)2 (1)(1)22E(X)E(XD(X) 计算公式：计算公式：D(X)( x 3 3。均方差或标准差均方差或标准差: : 1。 D(C)=0, (C为常数为常数) 2。 D(CX)=C2 D(X), (C为常数为常数) 3。 设设X与与Y

3、是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有 特别，特别，若若X与与Y相互独立相互独立: D(XY)=D(X)+D(Y) 4。 D(X)=0 PX=E(X)=1. ),(2)()( )()(2)()()(YXCovYDXDYEYXEXEYDXDYXD (2)(2)方差的性质方差的性质5 5。若若X服从指数分布服从指数分布, ,则则 E( (X)= , )= , D( (X)= .)= .3 3。若若X( ( ),),则则 E( (X)= )= , , D( (X)= )= . .4 4。若若X服从区间服从区间(a,b)均匀分布均匀分布， 则则 E( (X)=()=(a+b)/2, )/2, D(

4、(X)=()=(b-a) )2 2/12./12.6 6。若若XN( , 2), ,则则E( (X)= )= , , D( (X)= )= 2. .2。若若Xb(n, ,p ),则则 E( (X)=)=np, , D( (X)=)=npq. .1 1。若若X服从服从两点分布两点分布, ,则则 E( (X)=)=p, , D( (X)=)=pq. .( (三三) )一些常见分布的期望与方差一些常见分布的期望与方差 2 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)= , ,方差方差D(X)= = 2 2. . 则对任意的正数则对任意的正数 ，有，有 上式称为切比雪夫上式称为切比雪夫(cheb

5、yshev)不等式不等式22|-XP| ( () ) 注注 此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下, , 估计事件估计事件 或或|-X| |-X| 的一种方法的一种方法. .的概率的概率协方差协方差: :)()(),(YEYXEXEYXCov 相关系数相关系数:D(Y)D(X)Y)Cov(X, XY X与与Y不相关不相关: : XY =0计算公式计算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)协方差的性质：协方差的性质：1 1。Cov(X,X)= D(X) 2 2。Cov(X,Y)=

6、Cov(Y,X) 3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (a,b为常数为常数) 4 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y) 相关系数的性质：相关系数的性质：. 11 xy . 1,12 bXaYPbaxy使使常常数数 注注: : 1)1)若随机变量若随机变量X与与Y相互独立相互独立, ,则则X与与Y一定不相关一定不相关; ; 反之不一定成立。反之不一定成立。 2) 2)对对二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y): X与与Y不相关不相关 X与与Y独立独立 3)3)二维正态分布只要

7、知道二维正态分布只要知道X与与Y的分布及相关系的分布及相关系 数即可确定数即可确定. .0 设设X,Y为随机变量为随机变量, ,则则,2,1),E(X kk, 2 , 1,),YE(X lklk1)1)X的的k阶原点矩阶原点矩( (k阶矩阶矩) )：2)2)X和和Y的的k+l 阶混合矩：阶混合矩：( (六六) ) 矩矩 协方差矩阵协方差矩阵, 2 , 1,E(X)-EX kk3)3)X的的k阶中心矩：阶中心矩：, 2 , 1,E(Y)-YE(X)-EX lklk4)4)X和和Y的的k +l 阶混合中心矩：阶混合中心矩：)X,X,(X21n协方差矩阵协方差矩阵 nnnnnncccccccccC2

8、12222111211 若若n维随机变量维随机变量 的二阶的二阶 混合中心矩都存在，称矩阵混合中心矩都存在，称矩阵)X,X,(X21nn维随机变量维随机变量 的的协方差矩阵协方差矩阵., 2 , 1, ),E(X-)XE(X-EX)X,Cov(Xnjicjjiijiij B2.2.已知随机变量已知随机变量X在在 -1,1 上服从均匀分布，上服从均匀分布， Y=X3 , 则则 X与与 Y ( ) (A)不相关且相互独立；不相关且相互独立； (B)不相关且相互不独立；不相关且相互不独立； (C)相关且相互独立；相关且相互独立； (D)相关且相互不独立。相关且相互不独立。 D1.已知随机变量已知随机

9、变量X服从二项分布服从二项分布, ,且且E(X)=2.4,D(X)=1.44, 则二项分布的参数则二项分布的参数 n, p 的值为的值为( )( ) (A) n=4, p=0.6 ; (B) n=6, p=0.4; (C) n=8, p=0.3 ; (D) n=24, p=0.1. 一一 选择题选择题3.3.设设X,Y为随机变量为随机变量,若若E(XY)=E(X)E(Y) ,则有则有( ) (A) D(XY)=D (X) D(Y) (B) D(X+Y)=D (X)+D (Y) (C) X和和Y相互独立相互独立. (D) X和和Y不独立不独立.B4.4.设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,

10、,如果存在常数如果存在常数a,b ( )使得使得 PY=aX+b=1,且且 0D (X)+ ,那么那么 为为( ) (A) 1； (B) -1； (C) ; (D) .0 a XY aa1 XY C二二 填空题填空题1.1.设设X1,X2,X3相互独立相互独立, , X1 U(0,6), X2 ,N(0,4), X3 (3), 则则D(X1 - -2 X2 +3 X3) = . 2.2.设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为 p, 进行进行100次独立重次独立重 复试验复试验. .当当 p = = 时时, ,成功次数的标准差的成功次数的标准差的 值最大值最大. .最大值为最大值为 . .

11、461/253.3.设随机变量设随机变量X, Y的数学期望分别为的数学期望分别为- -2和和2，方差，方差 分别为分别为1和和4，及相关系数为，及相关系数为- -0.5，则根据切比雪，则根据切比雪 夫不等式夫不等式 6YXP_。1/125.5.设设X ( ), 且且 E(X- -1)(X - -2)=1. 则则 = . 16.6.设设X 的概率密度为的概率密度为 且且 E(X)=1/2, D(X)=3/20, 则则 a = , b= , c= . 其其它它 , 0, 10 ,)(2xcbxaxxf12- -1234.4.设设X分布律为分布律为 , ,且且 x1 x2 如果如果E(X)=7/5，

12、 D(X)=6/25 ,则则 x1=_, x2=_.x1 x23/5 2/5Xp1 2三三 解答题解答题1.1.游客乘电梯从电视塔的底层到顶层观光游客乘电梯从电视塔的底层到顶层观光, ,电梯每整点电梯每整点 的第的第5分钟分钟, ,25分钟分钟, ,55分钟从底层起行分钟从底层起行. .假设一游客在假设一游客在 8点到点到9点之间的任意时刻到达电视塔的底层电梯处是点之间的任意时刻到达电视塔的底层电梯处是 等可能的等可能的, ,求该游客等候电梯时间的数学期望求该游客等候电梯时间的数学期望. .提示提示:1。设设X表示到达电视塔底层电梯处的时刻，表示到达电视塔底层电梯处的时刻， 则则 XU 0，6

13、0. 2。设设Y为旅客等候电梯的时间为旅客等候电梯的时间,待求的是待求的是Yg(X)的期望的期望.答案：答案：35/3.35/3. 2.2.一盒中放有10个筹码，其中8个标有2，2个标有8. 今某人从盒中随机地无放回地抽取3个筹码. 若他获得的奖金等于所抽3个筹码的数字之和，求他获奖数额的期望值. 解 : (1) 设X表示该人获奖的数额， 从10个筹码中抽取3个共有种情形，3个筹码出现的数仅有3种不同情形：882，822，222所以X的取值为 18（882），12（822），6（222）， X的分布律为 X 18 12 6 3101822CCC3102812CCC31038CC(2) 6 .

14、91205661205612120818)( XE (2)12081205612056即 X 18 12 6 3. 设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为: 其其他他,010 , 10,2),(yxyxyxf(1) 判断判断X与与Y是否相互独立是否相互独立, ,是否相关是否相关?(2) 求求E(X+Y),D(X+Y)答答: (1) X与与Y 不相互独立不相互独立,但相关但相关.(2) E(X+Y)=5/6 , D(X+Y)=5/36 4.已知已知(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布. 若若X N(1,32), Y N(0,42), 且且 求：求：1) E(Z), D(Z); 2)

15、 23,21YXZXY .XZ 答：答：1) E(Z)=1/3, D(Z)=3; 2） =0 . XZ 21, 0N5.5.已知已知X X与与Y Y相互独立相互独立, ,且均服从且均服从 分布分布, , 求求, )(YXE . )(YXD ,2)( YXE.21)( YXD答答6.6. 设有设有n n个球和个球和n n个能装球的盒子，他们各编有序号个能装球的盒子，他们各编有序号 1 1，2 2，n n，今随机地将球分放在盒子里，每个今随机地将球分放在盒子里，每个 盒中一个球，求两个序号恰好一致的数对个数的盒中一个球，求两个序号恰好一致的数对个数的 均值。均值。(习题14)提示：设提示：设X为两个序号一致的个数，令为两个序号一致的个数，令niiiiiXi, 2 , 1 , , 0 , 1 个个盒盒子子个个球球未未装装入入第第第第个个盒盒子子个个球球装装入入第第第第则则niiniiXEXEXX11)()( , 自测题自测题1.1.1)设设XN(,2), Y =exp , 求求E(Y). 2)已知已知X服从参数为服从参数为1的指数分布的指数分布, ,求求E(X+e-2X).2222X2.2.设随机变量设随机变量X和和Y同分布同分布,概率密度均为概率密度均为 1)已知事件已知事件A= 和和B= 独立独立, 且且 求常数求常数 a ； 2)求求 的数学期望