数学建模课件第六讲微分方程模型

1、第六讲微分方程模型第六讲微分方程模型( (一一) )6.1 传染病模型传染病模型6.2 为什么要用三级火箭发射人造卫星为什么要用三级火箭发射人造卫星6.1 传染病模型传染病模型欧洲人征服美洲欧洲人征服美洲: : 靠的不是枪炮靠的不是枪炮, ,而是一连串而是一连串的的瘟疫瘟疫。1518151815261526年天花流行，年天花流行，1530-15311530-1531年爆发麻疹，年爆发麻疹，15461546年斑疹年斑疹伤寒、伤寒、1558-15591558-1559年流感。年流感。 90%90%的美洲原住民死于的美洲原住民死于这些这些疾病。疾病。第一次世界大战期间第一次世界大战期间：随着军队的行

2、程，流感随之在全球范随着军队的行程，流感随之在全球范围内爆发并导致大约围内爆发并导致大约40004000万人口死亡。万人口死亡。第二次世界大战第二次世界大战期间：期间：伊姆法尔战役，是日军在印度对英军伊姆法尔战役，是日军在印度对英军实施的一次进攻性战役。该地区流行疟疾、痢疾、伤寒、霍实施的一次进攻性战役。该地区流行疟疾、痢疾、伤寒、霍乱等传染病，近乱等传染病，近1010万人的军队只剩下万余名官兵。万人的军队只剩下万余名官兵。在旷日持久的战争中，疾病减员常常数倍于战伤减员，传在旷日持久的战争中，疾病减员常常数倍于战伤减员，传染病引发的军人死亡数常常超过战斗死亡数。染病引发的军人死亡数常常超过战斗

3、死亡数。问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高峰到来的时刻预报传染病高峰到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段问题分析问题分析影响传染病传播的因素影响传染病传播的因素: 传染者的数量及分布传染者的数量及分布, 被传播者数量被传播者数量, 传播形式传播形式, 传播能力传播能力, 免疫能力免疫能力人群分为三类人群分为三类: 易感类易感类(S类类)、传播类传播类(I类类)、 排除类排除类(R类类)目标目标: 通过分析这三类人群的变化情况来研通过分析这三类人群的变化情况来研究传染病的传播规律及预防措施究传染病的传

4、播规律及预防措施基本假设基本假设 总人数不变总人数不变, 不考虑生死和迁移不考虑生死和迁移 传播方式为接触传播方式为接触, 人员均匀分布人员均匀分布sidtdi1)()(titsSI模型模型只分已感染者和未感染者只分已感染者和未感染者模型模型假设假设1) 总人数总人数N不变不变, 病人和健康人的比例病人和健康人的比例分别为分别为)(),(tsti 2) 每个病人每天有效接触人数为每个病人每天有效接触人数为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病模型模型建立建立ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdiLogistic 模型模型日接日接触率触率初始时初始时刻病人

5、刻病人比例比例1/2tmii010t011ln(1)mittm 为传染病高峰到来时刻为传染病高峰到来时刻 tm 1it未考虑未考虑: 病人可以治愈病人可以治愈!?设设t=tm, di/dt最大最大相应的解为相应的解为当当i=1/2时时, di/dt最大最大 i(t)t图形图形011( )1(1)tii teSIS模型模型传染病无免疫性传染病无免疫性: 病人治愈成为健康人病人治愈成为健康人, 健康人健康人可再次被感染可再次被感染假设假设3) 病人每天治愈的比例为病人每天治愈的比例为 ttNittitNstittiN)()()()()(模模型型建建立立/ 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感

6、染期内一个感染期内每每个病人的有效接触人个病人的有效接触人数数, 称为称为接触数接触数0)0()1(iiiiidtdi)11 (iidtdi日日治治愈率愈率1,01,11)(ii0i0接触数接触数 =1 阈值阈值1()i t 感染期内感染期内有效接触感有效接触感染的健康者人数不超染的健康者人数不超过病人数过病人数1-1/ i0idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0s01/ i(t)单调降至单调降至0P2P4P3S0箭头表示箭头表示相轨线的方向相轨线的方向1/ 阈值阈值预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生

7、水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件: s01/ 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris提高阈值提高阈值 1/ , 群体免疫群体免疫 降低降低 (= / )6.2 为什么要用三级火箭来发射人造卫星为什么要用三级火箭来发射人造卫星中国长征运载火箭中国长征运载火箭长征一号为三级火箭，主要用于发射长征一号为三级火箭，主要用于发射近地轨道小型近地轨道小型有效载荷，有效载荷，1970年年4月月24日将中国第一颗人造地球日将中国第一颗人造地球卫星卫星“东方红一号东方红一号”送入近地轨道，使中国成为世界送入近地轨道，使中国成为世界上第五个能自主发射

8、卫星的国家上第五个能自主发射卫星的国家长征二号系列为两级长征二号系列为两级火箭，火箭，主要用于发射主要用于发射近地轨道近地轨道卫星和飞船卫星和飞船长征三号系列为三级火箭，主要用于发射长征三号系列为三级火箭，主要用于发射高轨道卫高轨道卫星星长征四号系列长征四号系列为为三级火箭，主要用于发射三级火箭，主要用于发射风云气象风云气象卫星和资源卫星卫星和资源卫星等等三级火箭三级火箭结构图结构图 p 为什么不能用一级火箭为什么不能用一级火箭, ,而必须用多级火而必须用多级火 箭来发射人造卫星箭来发射人造卫星? ?p 为什么一般都采用三级火箭系统？为什么一般都采用三级火箭系统？问题问题(1) (1) 卫星能

9、在轨道上运动的最低速度卫星能在轨道上运动的最低速度 为什么不能用一级火箭发射人造卫星为什么不能用一级火箭发射人造卫星? ?(i) (i) 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动星在此轨道上作匀速圆周运动(ii) (ii) 地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。对卫星的引力忽略不计。假设假设分析分析根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为2GMmFr 在地面有在地面有2GMmmgR 得得2GMgR 2RFmgr 故故 卫星所受到的引力即它

10、作匀速卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心力圆周运动的向心力, 故：故： 2mvFr 从而从而gvRr R为地球半径为地球半径约为约为6400公里公里 卫星离地面高度卫星离地面高度 (公里公里)卫星速度卫星速度 (公里公里/秒秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86设设g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : (2)(2)火箭推进力及速度的分析火箭推进力及速度的分析火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 记火箭在时刻记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t) 和和(t) , 有有 记火箭喷出的

11、气体相对于火箭的速度为记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u (常数常数), 由动量守恒定理：由动量守恒定理：()( )()dmm ttm ttotdt ( ) ( )() ()()( ( )dmm t v tm tt v tttotv tudt 得得dvdmmudtdt 由此解得：由此解得：00( )ln( )mv tvum t0和和m0一定的情况下一定的情况下, 火箭速度火箭速度(t)由由u及质量比决定及质量比决定 假设假设分析分析连续可微连续可微函数函数dmm-dmvu-v(3)(3)目前技术条件下一级火箭末速度的上限目前技术条件下一级火箭末速度的上限现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部

12、分：卫星系统的质量分成三部分：(i) mp (有效负载有效负载, 如卫星如卫星) (ii) mf (燃料质量燃料质量)(iii) mS (结构质量结构质量, 如外壳、燃料容器及推进器如外壳、燃料容器及推进器)最终质量为最终质量为 mP+mS, 初始速度为初始速度为0, 所以末速度：所以末速度：0lnpsmvumm 目前目前, u只能达到只能达到3公里公里/秒秒, mS(mf+mS)/10,即使发射空即使发射空壳火箭，其末速度也不超壳火箭，其末速度也不超过过7.0公里公里/秒秒目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速火箭推进力在加速整个火箭时，其实

13、整个火箭时，其实际效益越来越低。际效益越来越低。00( )ln( )mv tvum t如果结构质量在燃料燃如果结构质量在燃料燃烧过程中也不断减少烧过程中也不断减少, ,末速度能达到要求吗？末速度能达到要求吗？0lnpsmvumm 理想火箭模型理想火箭模型假设：假设：记结构质量记结构质量 mS 在在 mS+mf 中占的比例为中占的比例为，假设，假设火箭能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量火箭能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以以与（与（1）的比例同时减少。）的比例同时减少。 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐

14、渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP ( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm t v tm tt v tttv tt v tuotdtdt 由动量守恒得由动量守恒得得得(1)dvdmmudtdt 0( )(1) ln( )mv tum t 只要只要m0 0足够大，可足够大，可以使卫星达到任意以使卫星达到任意速度速度考虑到空气阻力和重力等因素，估计发射卫星要考虑到空气阻力和重力等因素，估计发射卫星要使使=10.5公里公里/秒才行，如果取秒才行，如果取u =3u =3 ， =0.1 ，则，则可推算出可推算出m0/ mp约为约为51 ，即发射一吨

15、重的卫星大，即发射一吨重的卫星大约需要约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 。最终速度：最终速度：0(1) lnpmvum 理想过程的实际逼近理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃第级火箭立即自动点火，并抛弃第i级火箭。用级火箭。用mi表示表示第第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。（i）设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的, 即第即第i级火箭中级火箭中mi为结为结 构质量构质量,（1）mi为燃料质量。为燃料质量。（ii）设每级初始质量

16、与其负载质量之比保持不变设每级初始质量与其负载质量之比保持不变, 并记比值为并记比值为k。如二级火箭中如二级火箭中m1=k(m2+mP), m2=kmP假设假设考虑二级火箭：考虑二级火箭：当第一级火箭燃烧完时当第一级火箭燃烧完时, , 其末速度为：其末速度为：12112lnppmmmvummm 当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：2122212122lnlnppppppmmmmmmmvvuummmmmmm00( )ln( )mv tvum t代入代入m2=kmP, m1=k(m2+mP), u=3公里公里/秒秒, =0.1, 可得可得 1222122113ln0.10.

17、111PPPPmmmmmmmmmm 2113ln6ln0.110.11kkkk 要使要使2 2=10.5=10.5公里公里/ /秒，则应使秒，则应使: : 10.5615.750.11kek 即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm 类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm 在同样假设下在同样假设下: 33113ln9ln0.110.11kkkk 要使要使3=10.5公里公里/秒秒, 则则(k+1)/(0.1k+1)3.21, k3.25, 而而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77 三级火箭比三级火箭比二级火箭几二级火箭几乎省了一半乎省了一半由于工艺的复杂性及每级火箭都需配备一个推进由于工艺的复杂性及每级火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案级火箭提供了一个最好的方案若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵且制作若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵且制作工艺非常