第3章图形变换

1、第第3章章 图形变换图形变换第第3章章 图形变换图形变换n3.1 二维图形基本几何变换二维图形基本几何变换 n3.2 二维图形复合变换二维图形复合变换n3.3 三维图形几何变换三维图形几何变换n3.4 三维图形投影变换三维图形投影变换3.1 二维图形基本几何变换二维图形基本几何变换n在计算机绘图应用中，经常要实现从一个几何图形到另一在计算机绘图应用中，经常要实现从一个几何图形到另一个几何图形的变换。例如，将图沿某一方向平移一段距离，个几何图形的变换。例如，将图沿某一方向平移一段距离，将图形旋转一定的角度，或将图形放大，把图形缩小等等。将图形旋转一定的角度，或将图形放大，把图形缩小等等。这些图形

2、变换的效果虽然各不相同，本质上却都是依照一这些图形变换的效果虽然各不相同，本质上却都是依照一定的规则，将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的定的规则，将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的确定的点，这种变换过程称为几何变换。二维图形的几何确定的点，这种变换过程称为几何变换。二维图形的几何变换顾名思义就是对平面图形的几何变换，是指不改变图变换顾名思义就是对平面图形的几何变换，是指不改变图形拓扑信息，只改变组成形体的几何元素的几何信息（大形拓扑信息，只改变组成形体的几何元素的几何信息（大小、形状及相对位置）的变换。小、形状及相对位置）的变换。n基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变

3、基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，有相对于坐标原点的平移、比例、旋转变换和相对于换，有相对于坐标原点的平移、比例、旋转变换和相对于坐标轴的对称和错切变换。坐标轴的对称和错切变换。3.1 二维图形基本几何变换二维图形基本几何变换n1、平移变换、平移变换（1）定义：图形上的任意一点（）定义：图形上的任意一点（x，y）沿）沿X轴和轴和Y轴轴方向分别平移方向分别平移m和和n后成为新图形上的一点（后成为新图形上的一点（x ，y ）。）。显然：显然：x =x+m y =y+n m，n的值可以是正数也可以是的值可以是正数也可以是负数负数1、平移变换、平移变换（2）变换矩阵）变换矩阵 （x

4、 y 1）=（x y 1） =(x+Tx y+Ty 1) 称为平移变换矩阵称为平移变换矩阵1000101TxTy1000101Tmn （3）齐次坐标：用）齐次坐标：用n+1维向量表示维向量表示n维向量。维向量。例如：二维坐标点例如：二维坐标点P(x, y)的齐次坐标为：的齐次坐标为： (hx, hy , h)其中，其中，h是任一不为是任一不为0的比例系数。的比例系数。1、平移变换、平移变换（4）例题：已知）例题：已知 ABC各顶点坐标分别为：各顶点坐标分别为：A(5,10), B(10,10), C(8,15), 求该三角形沿求该三角形沿x轴方向平移轴方向平移5，y方向平方向平移移-3后的后的

5、 A B C 。5101101018151100010531 1071157113121解：解： * =因此：因此：A(10,7) B(15,7) C(13,12)（5）特点：平移变换只改变图形位置，不改变图形大小和方向）特点：平移变换只改变图形位置，不改变图形大小和方向2、比例变换、比例变换（1）基本的比例变换是指图形相对于坐标原点，按比例系）基本的比例变换是指图形相对于坐标原点，按比例系数数(Sx, Sy)放大或缩小的变换。放大或缩小的变换。 显然显然x=x*Sx y=y*Sy比例变换矩阵比例变换矩阵 0000001SxTSy 2、比例变换、比例变换（2）性质：若）性质：若Sx=Sy=1

6、恒等变换，图形不变恒等变换，图形不变 若若Sx=Sy1 图形被放大图形被放大 若若Sx=Sy0时，沿时，沿x轴正方向错切；轴正方向错切；当当b0时，沿时，沿y轴正方向错切；轴正方向错切；当当c 时，有时，有x=0, y=1/q, z=0因此主命点为因此主命点为(0, 1/q, 0)，且只有一个。，且只有一个。同理可得，视点在同理可得，视点在X轴上的透视变换矩阵轴上的透视变换矩阵Tp为：为：1000100T00100001pp 视点在视点在Z轴上透视投影变换矩阵轴上透视投影变换矩阵Tr为：为：10000100T0010001rr 3.4.6 透视投影透视投影n1、基本概念、基本概念n2、一点透视

7、、一点透视n3、二点透视、二点透视n4、三点透视、三点透视3、二点透视、二点透视n变换矩阵的第变换矩阵的第4列的前三个参数起透视变换作用，列的前三个参数起透视变换作用，其变换矩阵为其变换矩阵为：只要只要p, q, r中的任意两个不为零，就得到二点透视。中的任意两个不为零，就得到二点透视。1000100010001pqTr 二二点点透透视视二点透视的主灭点二点透视的主灭点n若若p, q不为零，不为零，r为零为零n设设(x,y,z)为直线上一点，二点透视投影后为为直线上一点，二点透视投影后为(x,y,z)100010( , , ,1)( , , ,1)*( , , ,1)00100001( , ,

8、 ,1)(,1)111pqxy zx y zTx y zxyzx y z xpyqxpyqxpyqxpyq 二二点点透透视视二点透视的主灭点二点透视的主灭点n（1）当当Y，Z固定，固定，X- 时时 x=1/p, y=0, z=0 说明平行于说明平行于x轴的直线，二点透视后交于轴的直线，二点透视后交于(1/p,0,0) 因此因此(1/p, 0, 0)是一个主灭点。是一个主灭点。n（2）当当X，Z固定，固定，Y- 时时 x=0, y=1/q, z=0 说明平行于说明平行于Y轴的直线，二点透视后交于轴的直线，二点透视后交于(0,1/q,0) 因此因此(0, 1/q, 0)是一个主灭点。是一个主灭点。

9、n综上，一共有两个主灭点，因此是二点透视。综上，一共有两个主灭点，因此是二点透视。3.4.6 透视投影透视投影n1、基本概念、基本概念n2、一点透视、一点透视n3、二点透视、二点透视n4、三点透视、三点透视4、三点透视三点透视np、q、r都不为零数时，是三点透视都不为零数时，是三点透视1000100010001pqTr 三三点点透透视视三点透视的主灭点三点透视的主灭点n若若p, q,r都不为零都不为零n设设(x,y,z)为直线上一点，二点透视投影后为为直线上一点，二点透视投影后为(x,y,z)1 0 00 1 0( , , ,1) ( , , ,1)*( , , ,1)0 0 1 r0 0 0

10、 1( , , ,+zr 1) (,1)1+zr 1+zr 1+zrpqx y zx y zTx y zxyzx y z xp yqxp yqxp yqxp yq 三三 点点 透透 视视三点透视的主灭点三点透视的主灭点1n（1）当当Y，Z固定，固定，X- 时时 x=1/p, y=0, z=0 说明平行于说明平行于x轴的直线，二点透视后交于轴的直线，二点透视后交于(1/p,0,0) 因此因此(1/p, 0, 0)是一个主灭点。是一个主灭点。n（2）当当X，Z固定，固定，Y- 时时 x=0, y=1/q, z=0 说明平行于说明平行于Y轴的直线，二点透视后交于轴的直线，二点透视后交于(0,1/q,0) 因此因此(0, 1/q, 0)是一个主灭点。是一个主灭点。三点透视的主灭点三点