二分法求方程的零点

1、2.523_+2.75+2.5625+区间长度区间长度0.5精确度精确度0.25精确度精确度0.125精确度精确度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_精确度精确度0.031252.546875+精确度精确度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+精确度精确度0.0078125所以方程的近似解为所以方程的近似解为.5390625. 2x精确度精确度0.5思考：这里达到精确度思考：这里达到精确度0.01所需分割的次数所需分割的次数n满足怎样的关系？等于多少？满足怎样的关系？等于多少？7,

2、100201.022-3:01.0nnnn满满足足得得到到分分割割次次数数由由精精确确度度不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程 的一个正的近似解的一个正的近似解 . （精确到（精确到0.1）方法探究：利用二次函数图象观察正解所在一个区间（，）方法探究：利用二次函数图象观察正解所在一个区间（，）问题：问题： x2-2x-1=0- +2 3f(2)0 2x13- +2 2.5 3f(2)0 2x12.5- +2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5- +2 2.375 2.5 3f(2.375)0 2.375x12.5- +2 2.375 2.475 3f(2.375)0

3、2.375x12.4375合作探究合作探究结论结论:方程方程 的根在区间的根在区间(0,1)内内.310 xx , 解：记解：记 3( )1f xxx问：根是多少？问：根是多少？xy01(0)0,(1)0ff(0.5)f(0.75)f0,(0.75)0(0.625,0.75)fx(0.6875)f0(0.65625)0,(0.6875)0(0.65625,0.6875)ffx|0.6250.6875| 0.06250.1 0.6875x0,(1)0(0.5,1)fx00(0.5)0, (0.5,0.75)fx0(0.625)f00(0.625)0, (0.625,0.6875)fx0精确度为精

4、确度为0.2时时,近似解是近似解是?精确度为精确度为0.1时时,近似解是近似解是?|0.750.625| 0.1250.2. 0.75x0(0,1)x选初始区间选初始区间取区间中点取区间中点中点函中点函数值为零数值为零结束结束 是是 定新区间定新区间否否区间长度区间长度小于精确度小于精确度否否是是问题问题4:类比上述思想方法类比上述思想方法,如何列表求如何列表求函数函数f(x)=lnx+2x-6在区间在区间(2,3)内内零点的近似值零点的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值区间长度区间长度(2,3)-0.0841(2.5,3)0.5120.

5、5(2.5,2.75)0.2150.25(2.5,2.625)0.0660.125(2.5,2.5625)-0.0090.0625(2.53125,2.5625)0.0290.03125(2.53125,2.546875)0.0100.015625(2.53125, 2.5390625)0.0010.0078125(精确度精确度0.01)这里这里|2.53125-2.5390625|0.01 取取x=?用用二分法二分法2.531252.52.752.6252.56252.531252.5468752.53906252.53515625想想一一想想),(ba解法解法:0(1)0,(2)0(1,2

6、)ffx 0(1)0,(1.5)0(1,1.5),ffx0(1.25)0,(1.5)0(1.25,1.5)ffx00(1.375)0,(1.5)0(1.375,1.5),(1.375)0,(1.4375)0(1.375,1.4375),ffxffx|1.375 1.4375| 0.06250.1, 1.4375x记函数记函数( )237xf xx0(0)0,(2)0(0,2)ffx例例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到的近似解（精确到0.1）732 xx此时区间此时区间(1.375,1.4375)的两个端点的两个端点精确到精确到0.

7、1的近似值都是的近似值都是1.4，所以原方程所以原方程精确到精确到0.1的近似解为的近似解为1.4。方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根等价关系等价关系:函数函数y=f(x)y=f(x) 的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点1:函数函数y=f(x)的零点与相应方程的零点与相应方程f(x)= 0的实的实数根有怎样的关系数根有怎样的关系?2:函数函数y=f(x)一定有零点吗一定有零点吗? 如果函数如果函数y=f(x)的图象在的图象在区间区间a,b上连续不断、且上连续不断、且f(a)f(b)0那么函数那么函数y=f(x)在区间在区间a,b上必

8、有零点上必有零点.在怎样的条件下函数在怎样的条件下函数y=f(x)一定有零点一定有零点?函数函数 的图象与的图象与 轴有交点轴有交点( )y f xx函数函数 有零点有零点( )yf x能能确确定定它它的的范范围围吗吗？是是否否有有实实数数解解？：问问题题0123 xx8642-2-4-6-8-10-5510-2f x 3+x O1 113xxxf：构造函数方法 有实根有实根回顾：方程回顾：方程0 xfx x1 1方方法法2 2：方方程程变变形形为为x x3 38642-2-4-6-8-10-5510-2gx f x 3O 1问题问题1:1: 判别式法0122 xx求方程的解：结论结论:方程方

9、程 的根在区间的根在区间(0,1)内内.310 xx 强化概念强化概念: :零点存在定理零点存在定理、 根据表格中的数据根据表格中的数据,可以断定方程可以断定方程 的一个根所在的区间的一个根所在的区间( )02 xexx11023xe2x37. 011234572. 239. 709.20 )0 , 1( . A ) 1 , 0( .B )2 , 1 ( . C)3 , 2( . DC2exx 在各点的符号变化在各点的符号变化确定确定2exxfx 02, 01, 00, 01ffff那如何找那如何找 符合精确度的解呢？符合精确度的解呢？有一个很直观的想法有一个很直观的想法： 如果能将解所在区间

10、的范围缩小，那么在此精确度要求如果能将解所在区间的范围缩小，那么在此精确度要求下，我们就可以得到解的近似值下，我们就可以得到解的近似值.例例:求方程求方程 的近似解的近似解062ln xx 现要在此区间内现要在此区间内找一个与准确值之间的距离小于找一个与准确值之间的距离小于0.01的数的数.由前面的分析可知由前面的分析可知,方程的解在方程的解在(2,3)内内,(误差小于误差小于0.01)(精确度精确度0.01)第一步第一步: 判断方程根的初始区间（，），具体方法列表或画图判断方程根的初始区间（，），具体方法列表或画图 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.94

11、59 12.079414.1972123456789游戏规则：游戏规则： 给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在0 100之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，这件商品就是你的了这件商品就是你的了。这能提供求方程近似解的思路吗这能提供求方程近似解的思路吗用用二分法二分法问题问题4:类比上述思想方法类比上述思想方法,如何求如何求函数函数f(x)=lnx+2x-6在区间在区间(2,3)内内零点的近似值零点的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解(精确度精确度0.01)用用二分法二分法第一步第一步: 判断方程根的初始区间（，）判断方程根的初始

12、区间（，）第二步：快速有效缩小根所在的区间的方法第二步：快速有效缩小根所在的区间的方法取出中点，缩小区间取出中点，缩小区间的中点的中点 2baxba,叫做区间叫做区间取中点取中点:一般地，我们把一般地，我们把我们先看下面直观的分割：我们先看下面直观的分割：2.523_+2.75+2.5625+区间长度区间长度0.5区间长度区间长度0.25区间长度区间长度0.125区间长度区间长度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_区间长度区间长度0.031252.546875+区间长度区间长度0.015625_+2.546875

13、2.531252.5390625+区间长度区间长度0.0078125所以方程的近似解为所以方程的近似解为.5390625. 2x为什么为什么? ?零点存在定理零点存在定理精确度精确度0.5 所以我们可将此区间内的所以我们可将此区间内的任意一点任意一点作为函数零点的作为函数零点的近似值，近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值特别地，可以将区间端点作为零点的近似值. .,01. 00078125. 05390625. 253125. 2ba由于由于如图如图a设函数的零点为设函数的零点为 、0 x则则.0bxa=2.53125、 =2.5390625，b0 x.ab所以所以,01. 0,01

14、. 000babxabax 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法(bisection).ba, 0bfaf xfy xf二分法二分法xy0ab1、下列图象中不能用二分法求函数的零点的是、下列图象中不能用二分法求函数的零点的是 yx0（3）xy0(4)xy(2)(1) x y O (2),(4)强化概念强化概念: :方程方程x32x50在区间在区间2，3内有实根

15、，内有实根， 取区间中点取区间中点x02.5，那么下一个有根区间，那么下一个有根区间 是是_ 2 , 2.53( )25f xxx分析：记(2)84510f (2.5)15.625555.6250f (3)2765160f 求方程的近似解求方程的近似解问题问题:类比上述思想方法类比上述思想方法,如何列表求如何列表求函数函数f(x)=lnx+2x-6在区间在区间(2,3)内内零点的近似值零点的近似值?区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(

16、精确度精确度0.2)区间长度区间长度10.50.250.125这里这里|2.625-2.5|=0.1250.2 取取x=?2.625问题问题4:类比上述思想方法类比上述思想方法,如何列表求如何列表求函数函数f(x)=lnx+2x-6在区间在区间(2,3)内内零点的近似值零点的近似值? 求方程的近似解求方程的近似解区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值区间长度区间长度(2,3)2.5-0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25(2.5,2.625)2.56250.0660.125(2.5,2.5625)2.53125-0.00

17、90.0625(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.03125(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.015625(2.53125, 2.5390625)2.535156250.0010.0078125(精确度精确度0.01)这里这里|2.53125-2.5390625|0（1，1.5）1.25f(1.25)0（1.25，1.375） 1.3125f(1.3125)0（1.3125，1.375）探一探求函数求函数 零点零点(精确度精确度0.1). .1)(3 xxxf0)2(, 0)1( ff解解:1 . 00625. 0|3125. 137

18、5. 1| (精确度精确度0.01)归纳用二分法求方程近似解的步骤归纳用二分法求方程近似解的步骤2.523_+2.75+2.5625+区间长度区间长度0.5区间长度区间长度0.25区间长度区间长度0.125区间长度区间长度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_区间长度区间长度0.031252.546875+区间长度区间长度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+区间长度区间长度0.0078125所以方程的近似解为所以方程的近似解为.5390625. 2x第一步第一步: 判断方程根的初始

19、区间判断方程根的初始区间如何求方程如何求方程 的一个近似解的一个近似解? （精确度（精确度0.1）0623 xx222222129129666627276 6-3-3-6-66 65 54 43 32 21 10 0 x xxf )(第二步：快速有效缩小根所在的区间第二步：快速有效缩小根所在的区间取出中点，缩小区间取出中点，缩小区间的中点的中点 2baxba,叫做区间叫做区间取中点取中点:一般地，我们把一般地，我们把如何求方程如何求方程 的一个近似解的一个近似解? （精确度（精确度0.1）0623xx0.375+第三步：选择零点所在的区间第三步：选择零点所在的区间 中点的函数近中点的函数近似值

20、似值 区间中点的值区间中点的值 区间长度区间长度 区间区间(1,2)10.50.25 0.125 0.0625121.5 1.5+_1.251.25-1.54688_1.375 1.375-0.650391 _1.4375 1.4375-0.154541 _(1,1.5)(1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.4375,1.5) 1.46875 0.105927 (1.4375,1.46875) 0.03125 1.453125 -0.0253716 (1.453125,1.46875) 0.015625 1.46093750.04001 (1.453125,1.4609375)

21、0.007825 第四步：终止二分法的操作第四步：终止二分法的操作（1）如果取得的中点就是方程的根，马上终止运算）如果取得的中点就是方程的根，马上终止运算（2）如果运算只能得到方程的近似解，那就要受预）如果运算只能得到方程的近似解，那就要受预 定精确度的限制。定精确度的限制。如何求方程如何求方程 的一个近似解的一个近似解? （精确度（精确度0.1）0623xx23232.5_+_+2.25_+_2.375 2.52.375_+2.4375+2.5_+区间长度区间长度1区间长度区间长度0.5区间长度区间长度0.25区间长度区间长度0.125区间长度区间长度0.0625所以方程的近似解为所以方程的

22、近似解为.4375. 2x诸葛亮妙算诸葛亮妙算 相传有一天相传有一天, ,诸葛亮把将士们召集在一起诸葛亮把将士们召集在一起, ,说说: : “你们中间不论谁你们中间不论谁, ,从从1 1 10241024中中, ,任意选出一个整数任意选出一个整数, ,记记在心里在心里, ,我最多提我最多提1010个问题个问题, ,只要求回答只要求回答是是或或不不是是。1010个问题全答完以后，我就会个问题全答完以后，我就会算算出你心里出你心里记的是哪个数。记的是哪个数。” ” 诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选好了一个数。诸葛亮问道：好了一个数。诸葛亮问道：“你这

23、个数大于你这个数大于512512？” 谋士答道：谋士答道： “ “不是。不是。 ” ”诸葛亮又接连向这位谋士提诸葛亮又接连向这位谋士提了了9 9个问题，这位谋士都一一如实做了回答。诸葛亮个问题，这位谋士都一一如实做了回答。诸葛亮听了，最后说听了，最后说:“:“你记的那个数是你记的那个数是1 1。” 你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？ 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法(bisection).ba, 0bfaf xfy xf1.二分法二分法xy0ab小小 结结 这节课你学到什么这节课你学到什么