中考专题费马点讲义与练习

1、精选优质文档-倾情为你奉上从“费马点”说起前言解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化一、走近费马点1（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图411，P为ABC所在平面上一点。如果APB=BPC=CPA=120°，则点P就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P到ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究：（1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景；（2）

2、在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当ABC是等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？（3） 把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文。2（2009年浙江省湖州市中考题）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为_；（2）如图，在锐角外侧作等边连结.求证：过的费马点，且=.3（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解：如图(1)，在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为ABC的费马距离如图(2)，若四边形AB

3、CD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD，此为托勒密定理 (2)知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图(3)，已知点P为等边ABC 外接圆的弧BC上任意一点求证：PB+PC=PA根据(2)的结论，我们有如下探寻ABC(其中A、B、C均小于120度)的费 马点和费马距离的方法： 第一步：如图(4)在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆； 第二步：在弧BC上任取一点，连结、易知 ; 第三步：请你根据(1)中定义，在图(4)中找出ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为ABC的费马距离 (3)知识应用： 2010年4月，我

4、国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B,C构成了如图(5)所示的ABC(其中A、B、C均小于120o)，现选取一点P 打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的 输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值4（2008年广东省中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。5（2009年天津市竞赛题）已知点P是锐角三角形ABC内的一个点，且使PA+PB+PC最小。试确定点P的位置，并证明你的结论。6(2011年北京市竞赛题)如图，矩形ABCD是一个长为1

5、000m，宽为600m的货场，A、D是入口。现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及HP之长度和为。（1）求的最小值；（2）请指出当取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置。二、探究费马点1来历：费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？” 写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。2结论：三角形的费马点：平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点 （1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120&

6、#176;；（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点3证明求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决1）当三角形的最大内角小于120°的情形已知：如图1，P为ABC内一点，APB=BPC=CPA=120°设平面内有一点求证：PA+PB+PC证明：如图2，分别以AP、AC为边作正三角形，连结，得APC，易知在同一直线上，PA+PB+PC=2）当三角形的最大内角不小于120°的情形4如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）分别以BC、AC为边向外作正

7、三角形，连结，交点即为所求费马点P。（连结PC，先证明，得PAC=，所以四点共圆，得APC=120°，同理BPC=120°）5应用举例（思考：特殊三角形的费马点性质）题16见前7(2009年北京市中考题）如图，在平面直角坐标系中，ABC的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是

8、它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）(2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题)8如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸点B到A D的最短距离为3 6 0km今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km.三、拓展1将军饮马问题的延伸2两个正三角形共顶点3两点间折线大小的比较4四点共圆5正三角形的

9、媒介作用。练习1 (湖州中考题)已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(2，-3)、B(4，-1) （1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D(a+3,0)是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为x轴，y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m，0)和N(0，n)，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由练习2（武汉竞赛题）如图5，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2，3，则PC所能达到的最大值为（ ）（A） （B） （C）5 （D）6练习3（四川竞赛

10、题）如图，设ABC和CDE都是正三角形，且EBD63o，则AEB的度数是 练习4（广西竞赛题）如下图，已知ABC=30°, ADC=60°，AD=DC，求证：. 练习5（宁波竞赛题）如图3，已知点O为等边三角形ABC内的一点，AOB=115°，BOC=125°，试求以OA、OB、OC为三边的三角形的各内角的度数. 练习6如上右图，正三角形ABC外一点D，且BDC=120°，求证：AD=BD+CD.练习7如图，菱形ABCD的边BC,CD上分别有点E,F，B=60°，AEF有一个内角为60°，求证：AEF是正三角形。练习8（重庆

11、竞赛题）如图7，ABC中，ACB=90°，CAD=30°，AC=BC=AD。求证：BD=CD练习9（山东潍坊中考题）在平面确定四点，连结每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种？画图说明。练习10如图，求证：AC+BCAP+BP;AC+BCAP+PP+BP 练习11 （2010年江苏南通中考题）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积练习12（余姚中学自主招生试题）已知直线上一点C（第三象限），过点C作CDx轴于D,交双曲线于点B，过点C作CNy轴于N,交双