工程力学(运动学与动力学)-17B-动量定理和动量矩定理B

1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA U

2、NIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY称为质点的动量矩，也就是物理学中的角动量。称为质点的动量矩，也就是物理学中的角动量。 iiiOim vrL质点的动量矩是定位矢，其作用点在所选定的矩心质点的动量矩是定位矢，其作用点在所选定的矩心O上。上。 考察由考察由n个质点组成的质点系个质点组成的质点系，如图所示。其中第，如图所示。其中第i个质点的质个质点的质量、位矢和速度分别为量、位矢和速度分别为mi 、ri 、 vi 。质点的动量对点。质点的动量对点O之矩为之矩为 TSINGHUA UNIVERSI

3、TY质点系的动量矩即是动量系的主质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点的动量矩，它是质点系中各质点的动量对点对点O之矩的矢量和：之矩的矢量和： iiiiOm vrL质点系的动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心质点系的动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O上。它是度上。它是度量质点系整体运动的又一基本特征量。量质点系整体运动的又一基本特征量。 TSINGHUA UNIVERSITY)()()(111ixiiyiniiziziixiniiyiyiiziniixvyvxmLvxvzmLvzvymLTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA U

4、NIVERSITY平移刚体对平移刚体对O点的动量矩点的动量矩 vrvrvrvrLmmmmCCniiiniiiiO11)(TSINGHUA UNIVERSITY 设刚体饶定轴设刚体饶定轴z转动，如图所示，转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为其角速度与角加速度分别为 和和 。刚体上第刚体上第i个质点的质量为个质点的质量为mi，到轴，到轴z的距离为的距离为ri ，则刚体对定轴的动量矩，则刚体对定轴的动量矩为为ziiiiiiizJrmrrmL)(2Jz称为刚体对轴称为刚体对轴z的转动惯量的转动惯量(moment of inertial)。 2zi iiJmrTSINGHUA UNIVERSITYz

5、zLJ这表明：定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚这表明：定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYmJzz2zzmJ 对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计算时还要特别说明以下两点：算时还要特别说明以下两点： 若已知刚体对某轴若已知刚体对某轴z的回转半径的回转半径z和刚体的质量和刚体的质量m，则其转，则其转动惯量可按下式计算动惯量可按下式计算刚体对任一轴刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为的回转半径或惯性半

6、径为 1 回转半径（或称惯性半径）回转半径（或称惯性半径）TSINGHUA UNIVERSITYmJzz2zzmJ1 回转半径（或称惯性半径）回转半径（或称惯性半径） 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并令该质点对于令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量，轴的转动惯量等于物体的转动惯量，则质点到则质点到z轴垂直距离即为回转半径。轴垂直距离即为回转半径。TSINGHUA UNIVERSITY2mdJJCzz2 平行移轴定理平行移轴定理TSINGHUA UNIVERSITY2mdJJCzz2 平行移轴定理平行移轴定理上述关系称为上述关系称为平行

7、移轴定理平行移轴定理，它表明，它表明，刚体对任一轴刚体对任一轴z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴平行的轴zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘积。积。TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYOmtMFrvr)(ddie)(ddiiiiiiimtFrFrvrie)(ddiiiiiiiiiimtFrFrvrTSINGHUA UNIVERSITYie)(ddiiiiiiiiiim

8、tFrFrvre)(ddiiiiiiimtFrvreddOOtMLTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYe)(ddiiiiiiimtFrvreddOOtMLtmmiiiniiinide0FrvrvriiitiiOOde0FrLL12TSINGHUA UNIVERSITYtmmiiiniiinide0FrvrvriiitiiOOde0FrLL12TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYe)(ddiiiiiiimtFrvreddOOtMLeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtLTSINGHUA UNIVERSITYT

9、SINGHUA UNIVERSITYeddOOtML0eOMCL OTSINGHUA UNIVERSITYeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtL0exM1CLxTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY Oxyz为固定坐标系，建立在质心为固定坐标系，建立在质心C上随质心平移的动坐上随质心平移的动坐标系为标系为Cx y z 。质点系内第。质点系内第i个质点的质量为个质点的质量为mi ，相对质心，

10、相对质心的位矢为的位矢为r i ，相对质心的速度为，相对质心的速度为vir 。 TSINGHUA UNIVERSITY根据动量矩定义，质点系相对质心的动根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩应为量矩应为 iiiCm vrL其中其中vi为第为第i个质点的绝对速度。个质点的绝对速度。r iCivvv则有则有 rr()()LrvvrvrvCiiCiiiCiiimmmrrvrvCCiiimmr0rviiimTSINGHUA UNIVERSITYiiiCm vrLrrviiim 可见，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对可见，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。对于一

11、般运动的质点系，通常可分解速度结果都是一样的。对于一般运动的质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用上式中的第二项为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用上式中的第二项计算质点系相对质心的动量矩更方便些。计算质点系相对质心的动量矩更方便些。 TSINGHUA UNIVERSITYiiLrvOiimrrrrCi iiiiiCOmmvrvrLTSINGHUA UNIVERSITY iiiiiCOmmvrvrLvviiCmmLrvLOCCCmTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYLrvLOCCCmedd()ddLrvLrFnOCCCiiimttrr

12、rrCiddddddrvLvrCCCCCmmttteddddiFa,vv,av,vrCCCCCCCmtt0eddiniiCtFrL)(ddeiniCCtFMLeerFrFnnCiiiiiTSINGHUA UNIVERSITYeddLrFnCiiite()MFnCiiTSINGHUA UNIVERSITYeddLrFnCiiite()MFnCiiTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtLTSINGHUA UNIVERSITY 设刚体

13、绕定轴设刚体绕定轴z转动，如图所示，其转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为角速度与角加速度分别为 和和 。刚体。刚体上第上第i个质点的质量为个质点的质量为mi，到轴，到轴z的距离的距离为为ri ，则刚体对定轴的动量矩为，则刚体对定轴的动量矩为ziiiiiiizJrmrrmL)(2其中，其中，Jz为刚体对轴为刚体对轴z的转动惯量的转动惯量(moment of inertial)。 TSINGHUA UNIVERSITYziiiiiiizJrmrrmL)(2eeeddddddzzyyxxMtLMtLMtLzzMJzzJMTSINGHUA UNIVERSITY 图示钟摆简化模型中，已知均质细图示

14、钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为杆和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆长为杆长为l，圆盘直径为，圆盘直径为d。试求：试求：钟摆作小摆动时的周期。钟摆作小摆动时的周期。 TSINGHUA UNIVERSITY分析受力，建立钟摆的运动微分方程分析受力，建立钟摆的运动微分方程zzJM12sin()sin22oldJm gm g l m2gFxFy 解：解：摆绕摆绕O轴作定轴转动。设轴作定轴转动。设j 为任为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程根据定轴转动的微分方程TSINGHUA UNIVERSITY12sin()sin2

15、2oldJm gm g l sin12()22oldJm gm g l 12(2)02omlmldgJ012222(2)JTg mlmldTSINGHUA UNIVERSITY摆的周期为摆的周期为 012222(2)JTg mlmld根据物理学中关于转动惯量的定义根据物理学中关于转动惯量的定义 12OOOJJJ其中其中JO1和和JO2分别为杆和圆盘对于转动轴的分别为杆和圆盘对于转动轴的转动惯量。转动惯量。21113OJml222OCOCJJmd2dldOC2222222212222OCdddJJm lmm l（）（）（）m2TSINGHUA UNIVERSITYPTSINGHUA UNIVER

16、SITY2121mRJLOO2OWLvRgvRgWmRLLLOOO22121PTSINGHUA UNIVERSITYvRgWmRLLLOOO22121eddOOMtLWRvRgWmRt)21(dd2PTSINGHUA UNIVERSITYWRvRgWmRt)21(dd2WRRagWmRP221gWmWaP2PTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITY 运动学中，确定作平面运动刚体运动学中，确定作平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕的位置，可由基点的位置与刚体绕基点转动的转角确定。基点转动的转角

17、确定。 取质心取质心C为基点，其坐标为为基点，其坐标为xC、yC，设设D为刚体上任意为刚体上任意一点，一点，CD与与x轴的夹角为轴的夹角为j , 则刚体的位置可由则刚体的位置可由xC、yC和和j 确定。确定。 xCyC 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITY 将刚体的运动分解为随质心的将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。当刚平移和绕质心的转动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为动量矩为CCJL

18、其中其中JC为刚体对通过质心为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯且与运动平面垂直的轴的转动惯量，量， 为角速度。为角速度。 xCyC 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITYCCJL当作用于刚体上的力系等价于质量当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理相对质心动量矩定理 ，有，有 niiCCCniiCMJtJm)(ddeeFFaxCyC 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITY 这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。这

19、两个方程都是刚体平面运动的微分方程。 niiCCCniiCMJtJm)(ddeeFFa()FeCxeCyeCcimxFmyFJM或者或者 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例还完成了对刚体平面运动的特

20、例 平衡情形的静力学描平衡情形的静力学描述。述。 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITY 半径为半径为r的匀质圆盘从静止开的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为始，沿倾角为的斜面无滑动的斜面无滑动的滚下。的滚下。 试求：试求： 1圆轮滚至任意位置时的圆轮滚至任意位置时的质心加速度质心加速度aC； 2圆轮在斜面上不打滑的圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。最小静摩擦因数。 刚体平面运动微分方程 TSINGHUA UNIVERSITYaC 解：解：分析圆轮受力分析圆轮受力sinCmamgFN0cosmgFFrJC 圆轮作平面运动。根据刚体平面圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，

21、有运动微分方程，有 FN1确定圆轮质心的加速度确定圆轮质心的加速度TSINGHUA UNIVERSITY运动学补充关系运动学补充关系 CarFrJCCCCmaramrrJF212122CCCmaramrrJF212122sinCmamgFsin32gaCsinCmamgFN0cosmgFFrJCaCFNTSINGHUA UNIVERSITY 解：解：2 2确定圆轮在斜面上不滑动的确定圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数最小静摩擦因数N1sin3sFmgF fN0cosmgFN1sin3sFmgF fmin1tan3sf 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因

22、数。CCCmaramrrJF212122sin32gaCaCFNTSINGHUA UNIVERSITY 3. 3. 本例讨论本例讨论 如果圆轮可以在斜面上滑动，本例将如何求解？补如果圆轮可以在斜面上滑动，本例将如何求解？补充方程将如何建立？充方程将如何建立？ aCFNTSINGHUA UNIVERSITY 均质杆均质杆AB长为长为l，放放置于铅，放放置于铅垂平面内，杆一端垂平面内，杆一端A靠在光滑的靠在光滑的铅垂墙上，另一端铅垂墙上，另一端B放在光滑的放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为水平面上，与水平面的夹角为 0。然后，令杆由静止状态滑。然后，令杆由静止状态滑下。下。 求：求：杆在任意位置

23、时的角杆在任意位置时的角加速度。加速度。 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：分析分析受力受力00cossin22CxACyBCBAmaFmaFmgllJFF 杆作平面运动，按平面运动微分杆作平面运动，按平面运动微分方程可列出方程可列出 TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：杆作平面运动，受力如图杆作平面运动，受力如图。按平面运动微分方程可列出。按平面运动微分方程可列出 00cossin22CxACyBCBAmaFmaFmgllJFF式中有五个未知量，如果要求得全部未知量，还需两个运动式中有五个未知量，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。如

24、果应用相对特殊学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。如果应用相对特殊瞬心的动量矩定理，求解就比较方便。瞬心的动量矩定理，求解就比较方便。 TSINGHUA UNIVERSITY 相对特殊瞬心的动量矩定理：相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运平面运动过程中，如果刚体的质心动过程中，如果刚体的质心C到速度瞬到速度瞬心心C*的距离保持不变时，则质点系相对的距离保持不变时，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即点系外力对同一点的主矩，即C*ed()dFCiCiLMt 注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l

25、/2，故可，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时， CCLJTSINGHUA UNIVERSITYed()dFCiCiLMt 对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。地求出其余未知量。 CCLJ0cos2ClJmg0cos2ClmgJ22211()1223ClJmlmml03cosglC*TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 作

26、用在质点系上的外力系作用在质点系上的外力系 力系及其基本特征量力系及其基本特征量,F,.,F,.,F,FF)(21ni：力系力系iiOO)eFMM（主主矩矩,FFiieR主主矢矢基基本本特特征征量量：TSINGHUA UNIVERSITY,p,.,p,.,p,pp)(21ni：动动量量系系,vppiiiiim质质点点系系动动量量: :主主矢矢基基本本特特征征量量：iiiiOiOOm)(vMLL质质点点系系动动量量矩矩: :主主矩矩TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYeRddFpteddOOtMLeeeddddddOzOzOyOyOxOxMtLMtLMtL

27、zzMJ TSINGHUA UNIVERSITYeRddFpterddCCtMLTSINGHUA UNIVERSITY)(eiiCCiyCixCMJFymFxmF TSINGHUA UNIVERSITY)(eiiCCiyCixCMJFymFxmF 0)(00eiiCiyixMFFFTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY2iizOrmJJ或2zzmJTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHU

28、A UNIVERSITYOTSINGHUA UNIVERSITYOPxPxGIMlGIMx,ddlGIkPTSINGHUA UNIVERSITYOlGIkPlGIkJPC 0lJGICP PCGIlJT2TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYlRlRsin,sin1cosTSINGHUA UNIVERSITYlRsin1cos3cos3TTWFWF,sinTTFF TSINGHUA UNIVERSITYsinTTFF RFJzT3 02lWRJz lRsin0WlJRTzlWTRJz2224TSINGHUA UNIVERSITYCCCCCCCCTSINGH

29、UA UNIVERSITYCaCFrJFmgymFmgmaxmCCCCNcos0sin TSINGHUA UNIVERSITYFrJFmgymFmgmaxmCCCCNcos0sin sin3221gamaFCC,CaCTSINGHUA UNIVERSITYsin3221gamaFCC,sin31mgF sNsin31fFmgFtan31sminNfFCaCTSINGHUA UNIVERSITYRCTSINGHUA UNIVERSITYRCs=0s+nCaCaTSINGHUA UNIVERSITYRCs=0s+nCaCaFrJmgFrRmmamgFrRmmaCCCcos)-(sin-)-(N2n C* rrRrrrRvC)()(,TSINGHUA UNIVERSITYFrJmgFrRmmamgFrRmmaCCCcos)-(sin)-(N2n FrRm )(21 rrRrrRvC)()(,0sin)(23grR TSINGHUA UNIVERSITYcos)-(N2nmgFrRmmaC2N)-(cosrRmmgFFrRm )(21T