Lyapunov稳定性

1、第三章第三章 Lyapunov稳定性理论稳定性理论Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义Lyapunov稳定性的定理稳定性的定理线性系统线性系统Lyapunov稳定性分析稳定性分析非线性系统非线性系统Lyapunov稳定性分析稳定性分析应用实例：在应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义控制系统的首要条件：控制系统的首要条件：稳定稳定线性定常系统：线性定常系统：Nyquist稳定判据，稳定判据，Routh判判据等据等线性时变与非线性：线性时变与非线性：Lyapunov第二法第二法（无需（无需求出系统的解，但构造求出系统的解，但构造Lyapunov

2、函数困难）函数困难）逐点法逐点法 与与 域的方法域的方法1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义000000(, )( ),( ),XftX tttXX tttX 系统状态方程： 方程的解： 系统初始状态：00XXX 系统状态方程的解系统状态方程的解状态空间中的一条轨迹（曲线）。状态空间中的一条轨迹（曲线）。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义(, )0(, ) eeftftAXAA： ： 非奇异：系统只有一个平衡状态奇异：系统有无穷多个平衡平衡状态线性定常系统非线状态：可能有一个或性系统多个平衡态XXX 系统的平衡状态系统的平衡状态1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 (

3、, )0(0, )0eeftft坐标变换：0XX 坐标变换坐标变换主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的稳定性。稳定性。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义2221122eeenenXkxxxxxxeXX - X 超球域（欧几里德范数）超球域（欧几里德范数）n2：圆；：圆；n3：球。：球。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性00000(, )0( , )0 ( , )eeetXf X ttXt Xt 若系统对于任意选定的，存在一个实数，使得当时，恒系统的平衡状态是稳定的。若 与 无关，则称有，则称是

4、定的：一致稳。XXX1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义000( ) ( )( , )eeSXSt X t： ： XX Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性( )( )( )( )SSSS稳定平对于任意球域，总存在，从出发的轨迹不离开衡状态：。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性0( )lim,eexXSXtt渐近稳定的平衡状是稳定的，且从出发的轨迹最后都收敛到附近，即：（态：是任意微量）。0eXX1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性对所有的状态，即状态空间中所有的点，从

5、这些状态出发的轨迹都大范围渐近稳定：是渐近稳定的。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性( )( )SS无论 取多小，从出发的轨迹总有脱离开不稳定：的。1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 标量函数的正定性标量函数的正定性0, ()0(0)0()0()()()XV XVV XV XV XV X正定正半定负定对所有 域内的状态：；：-为正定：-为正半定：无论 取多小，负半定不定可正可负1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 判断以下标量函数的

6、正定性判断以下标量函数的正定性22121222123123221212321212212212() (2)()() (3)() (4)()() (5)() TTTTTV XxxXxxV XxxxXxxxV XxxXxxxV XxxXxxV Xx xxXxx (1)：，：，：，：，：，1、Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义 Sylvester准则：判断二次型标量函数的正定性准则：判断二次型标量函数的正定性11121121222212121112121222111211212212()0,0()(,0)nnnnnnnnnnnnnnpppxpppxVxxxpppxPPppppppppppppp

7、pV XPV X对于：其中： 为实对称矩阵，当 的所为正定；若 的所有主子行列式为有主子行列非负，则：式为正，即则：为正半TXX PX定。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第一法第一法111122221212(, )0()(, )eennnnnnXXXf X tXXAXXfffxxxfffftxxxfffxxx系统：，平衡点：线性化：XAX2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第一法第一法(, )() ()0eeXf X tXXAXXAXX系统：，在平衡点处线性化：1、如果 的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且系统的稳定性与高阶导

8、数无关；2、如果有一个特征值具有正实部，不稳定；3、如果含有零特征值，与高阶导数相关，若，系统处于临界稳定状态。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第二法第二法基本思路：系统能量衰减基本思路：系统能量衰减系统将达到静止状态系统将达到静止状态如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小Lyapunov函数（能量函数）：函数（能量函数）：V(X, t) 或或 V(X)无需求解系统的状态方程无需求解系统的状态方程2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 1(, )(0, )0(, )(,

9、)2(, )(, )Xf X tftV X tV X tV X tXV X t 系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负定则系统在平衡点是一致渐近稳定的；若随着，有，则是大范围一致渐近稳定的。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 12、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 122121122221212() ()xxx xxxxxxx 分析系统平衡点的稳定性：2212()V Xxx选取：2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 12212()V

10、 Xxx()()V XXV XX表示状态 到状态空间原点的距离随时间推移状态 趋向原点的速度2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 200000(, )(0, )0(, )(, )2(, ) ( , ), 00Xf X tftV X tV X tV X tVt XtttXtt系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负半定3、对任意 及，在时不恒等于 ，则系统在平衡点是大范围一致渐近稳定的。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 212212 xxxxx 分析系统平衡点的稳定性：22122

11、2212121()12()()22V XxxV Xxxxx、选取：、选取：2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 22212()V Xxx2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 3(, )(0, )0(, )(, )2(, )Xf X tftV X tV X tV X tX系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负半定，但在原点外某 处恒等于0则系统在平衡点是在Lyapunov意义下稳定的，但非渐近稳定，在这种情况下，系统保持在等幅振荡状态上。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 L

12、yapunov稳定性定理稳定性定理 - 31221 xkxxx 分析系统平衡点的稳定性：2212() (0)V Xxkxk选取：2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 4(, )(0, )0(, )(, )2(, )Xf X tftV X tV X tV X t系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、在原点附近的邻域内为正定、在同一邻域内也是正定的则系统在平衡点是不稳定的。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 - 412212 xxxxx 分析系统平衡点的稳定性：2212()V Xxx选取：2、Ly

13、apunov稳定性定理稳定性定理 Lyapunov第二法第二法能够找到能够找到Lyapunov函数（能量函数）并判断出系统是函数（能量函数）并判断出系统是稳定的，则系统必为稳定；稳定的，则系统必为稳定；若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不稳定。稳定。2、Lyapunov稳定性定理稳定性定理12212 xxxxx 分析系统平衡点的稳定性：2212()2V Xxx选取：3、线性系统的、线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析()TTXAXQPA PPAQV XX PX 系

14、统：，其在原点大范围渐近稳定的充要条件是：给定一个正定的实对称矩阵 ，有一个正定的实对称矩阵 存在，且：则为系统的Lyapunov函数。3、线性系统的、线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 确定使系统渐近稳定的确定使系统渐近稳定的K的范围的范围4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析线性系统：局部渐近稳定大范围渐近稳定；线性系统：局部渐近稳定大范围渐近稳定；非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是渐近稳定。渐近稳定。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析20.520 xxxx两个

15、奇点：(0,0) (-2,0)找出原点周围最大找出原点周围最大范围内满足稳定条范围内满足稳定条件的能量函数。件的能量函数。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法 变量梯度法变量梯度法 Lure型型Lyapunov函数函数4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 Lure非线性控制系统非线性控制系统T( )xAxBF C x即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统的反馈控制，这就使得该非线性系统具有反馈控制系统的形的反馈控制，这就使得该非线性系统

16、具有反馈控制系统的形式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的鲁里叶问题鲁里叶问题。4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 Lure非线性控制系统非线性控制系统TT0TTT0011( )=+( )d212( )=+( )d +2d2VqVqnmxx PxFxx PxFE、 逐点法逐点法 域的方法域的方法2212()V Xxx()()V XXV XX表示状态 到状态空间原点的距离随时间推移状态 趋向原点的速度4、非线性系统的、非线性

17、系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4、非线性系统的、非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用 次同步谐振次同步谐振SSR: subsynchronous resonance 次同步振荡次同步振荡SSO: subsynchronous oscillation 1970和和1971年，美国年，美国mohave电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电流中包含流中包含30.5Hz的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。 汽轮发电机带串联补偿，汽轮发电机带串联补偿，SS

18、R，轴系扭振，轴系扭振 各种开关操作、各种开关操作、HVDC、PSS、SVC等都可能引起，等都可能引起，SSO 我国：我国：1980年代发生了几次；目前比较严重，尤其是年代发生了几次；目前比较严重，尤其是TCSC的线路的线路5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用l SSR / SSO5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用 IEEE工作组工作组 第一标准模型第一标准模型l SSR / SSO5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用SSR / SSOl IEEE第二标准模型第二标准模型5、应用实例：在、应用实例：在SSO中的应用中的应用 Lyapunov第二

19、法第二法 基于鲁里叶型基于鲁里叶型Lyapunov 函数的电力系统函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析次同步谐振稳定运行域的分析SSR SSR 的的IEEE IEEE 第一基准轴系模型：第一基准轴系模型：D1-D6: 分别为对应轴系的自阻尼系数；k1-k5: 为相邻两段轴系间的弹性系数；M1-M6: 分别为对应轴系的转动惯量*111*d()/d()()d()/d(1)iiiiiiiiiiiibiMtTDkkt 轴系运动方程：轴系运动方程：基于鲁里叶型 Lyapunov 函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析式中： i=1,2,3,4,5,6; k0=k6=0; T5=-P0sin ;T6

20、=0;Ti为对应段的输入转矩或功率； ， 为对应的转角和角速度； , 为工频。 为了求得轴系平衡点，令 ，只有当 时轴系才有稳定运行点，其中， ，此时轴系存在两类似孤立的以2为周期的平衡点，分别为*0*102011*2030122*30401233*405012344*501234650*50123461, (i1,2,3,4,5,6)/() /() /() /arcsin(D ) /)2 k arcsin(iTkTTkTTTkTTTTkTTTTTPTTTTT或*50*605065D ) /)2(k1)/ 0,1,2PTkkN式中只有 是稳定的，仅需考察在其邻域内的局部渐进稳定性。令： ，轴系

21、方程可改写为111d()/d()()f()d()/diiiiiiiiiiiibiMtDkkt 123456121234561112345612345612d/d( ) , , , , ,TTbtfdiag D D D D D Ddiag M M M M M M TXAX B aaC XXAAaA I0ADMDMI0AM K式中，为六阶单位矩阵，为六阶零矩阵,仅当 时，才是Lure控制系统，要求改写为标准的Lure控制系统：对于Lure系统，可构造如下的Lyaponov函数001( )( )d2d2 () 1,2,3,4,5,6TTTiiVqfnmEEfiXX PX式中成立的充分条件是：0000

22、000001(1) (2) (3) (4) 2(5) 2(6) 2(7) 0(8) ( )( )()()TTTTTTTTTTTTTTTTTnqGqqGmGmGmGnmGqZ sZ snqss A PPALLPPBCA CLWW WC BB CLLA CC AHHLWA CC BHUW WB CC BU UPCCCIAB有正定对称解是正实的，且无零极点相消其中由于A A 矩阵是正半定，故条件（1）成立。条件（8）成立的充分条件是由于 ， ，故可取 和 ，以上条件简化为：(1 ) (2 ) 20(3 ) 0TTTTTnqmn mqP BCACL LAC CAPC C12312324=,(/)(1)

23、02()2(2) 202(3) 0(/)PPPPPPM PM PDKPDMI0LLA CC A0KMMPCCMDKbbTTTbbbTbqnnqqnmmnqnnmnmnnqIqq再令其中以上条件则变为只要以上条件成立，则构造的即为Lyapunov函数。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO: Low frequency oscillation由于系统本身的阻尼不足，很小的扰动就可能使由于系统本身的阻尼不足，很小的扰动就可能使一些阻尼很弱的模态激发出来，表现为发电机转一些阻尼很弱的模态激发出来，表现为发电机转子角之间的摇摆，联络线上的功率持续振荡。子角之间的摇

24、摆，联络线上的功率持续振荡。5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 电网规模越来越大电网规模越来越大l 区域电网互联区域电网互联l 高增益励磁调节器的广泛使用高增益励磁调节器的广泛使用 低频振荡增多的原因低频振荡增多的原因1996.8.10 美国美国 WECC大停电大停电典型的由于低频振荡造成的大面积停电事故典型的由于低频振荡造成的大面积停电事故我国：我国：随着大区联网随着大区联网的出现，低频振荡现的出现，低频振荡现象也逐渐增多，其严象也逐渐增多，其严重性甚至超过暂态稳重性甚至超过暂态稳定性，成为系统安全定性，成为系统安全稳定运行主要障碍。稳定运行主要障碍。5、应用实例：在、应

25、用实例：在LFO中的应用中的应用10.29：2005年年10月月29日日22:2122:26（振荡频率（振荡频率0.77Hz, 鄂西北存在弱阻尼鄂西北存在弱阻尼振荡模式）振荡模式）7.1：2006年年7月月1日日21:0021:06（振荡频率（振荡频率1.12Hz, 河南河南500kV系统系统故障）故障）5、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 特征值法（特征值、特征向量、阻尼比、相关因子）特征值法（特征值、特征向量、阻尼比、相关因子）22 2jf目前电力系统认为：阻尼比大于目前电力系统认为：阻尼比大于3 3即表明系统即表明系统阻尼较强。阻尼较强。5、应用实例：在、应用实例：在L

26、FO中的应用中的应用l 振荡衰减到振荡衰减到1010所需的周波数为所需的周波数为22ln0.1 12ft 阻尼比阻尼比 / 201053210.5振荡周波数振荡周波数248131937745、应用实例：在、应用实例：在LFO中的应用中的应用l 阻尼比为阻尼比为3 3时振荡衰减到时振荡衰减到1010所需的时间所需的时间振荡频率振荡频率(Hz)3210.7 0.5 0.2 0.13 0.1衰减时间衰减时间(s)4.3 6.513192665100 1305、应用实例：在、应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO: Low frequency oscillation阻尼比为

27、阻尼比为3时的振荡衰减曲线时的振荡衰减曲线5、应用实例：在、应用实例：在SSO/LFO中的应用中的应用 低频振荡低频振荡LFO: Low frequency oscillation阻尼比为阻尼比为3时的振荡衰减曲线时的振荡衰减曲线0246810121416182012345678时 间 (秒 ) 有功功率(p.u.) 湖北电网的斗孝线功率振荡现象湖北电网的斗孝线功率振荡现象田口法的关键是正交表和信噪比（RSNR）正交表工具用来确定实验的方式和次数，正交表可记为Lc(ab)，全介正交表满足c=abL：表示正交表c：表示总共要做c次实验a：表示每个因素都有a个水准B：表示最多可考虑b个因素田口法通

28、过将因素的变化视为噪声，以一种新的指标(信噪比)来表示系统的鲁棒性能，SNR 越大表示鲁棒性能越好基于田口法与基于田口法与LyapunovLyapunov函数的鲁棒性函数的鲁棒性PSSPSS参数设计参数设计2,10122,101,1021110log ()110log ()11110log ()rSNR LBkkrSNR NBkkrSNR LBkkRyrRyryrRry 式中：r为实验次数；y为品质特性指标，分别适用于品质特性指标越小越好(lower is better，LB)、一般最好(nominal is best，NB)和越大越好(higher is better，HB)的不同问题的应用。基于基于Lyapunov函数的系统稳定性指标函数的系统稳定性指标 电力系统动态特性可描述为式中：x为状态向量；u为外部输入向量。 在研究系统小干扰稳定性时，在