一元方程数值解法

1、第8章 一元方程数值解法是所要求的近似值。就为止。这时候值很接近，即直到前后两次求出的。即：次的初值代入出的新值又作为下一。这样一次一次的将求得代入再将。的第一次近似值等号的右边，求出，把它代入上式定一个初值的范围，给大致估计出一个根的表达式：改写为求将是：一般迭代法的主要思想一般迭代法法。一般迭代法和牛顿迭代求解，主要有两类：）的根，通过数值算法求一元方程11433221002110|-|)()()()()()() 3()2()()() 1 ( 1 . 8(nnnxxxxxxgxxgxxgxgxxgxxgxxxxxxxgxxxfxf次迭代后仍未收敛。经输出：，也就不再进行下去，足若达到此次数

2、仍不能满一个最高的循环次数，止的迭代下去，应规定仍不收敛。为防止无休结果许多次迭代之后这样一个问题：有可能在设计算法时，应考虑。附近有一个根，设估计在：式子，可得到如下形式首先找出。例：用迭代法求解nxxxxxgxxxx|x-x|002/ ) 12()(0122n1n02323program Read(*,*)x,m Do 10 i=1,m X1=(-x*3-2*x*x-1)/2 If(abs(x-x1).gt.1e-6) then X=x1 Else Stop End if10 continue Write(*,*)x end程序运行情况如下：1,20i=1 x1=-1.0000000i=2

3、 x1=-1.5000000i=3 x1=-1.5625000.i=19 x1=-1.5436890Stop(循环19次后，已满足所给条件)。形式和初值择不收敛。因此要恰当选敛，对有的收，则可能对有的存在满足对所有的收敛速度越快。如果不越小，均收敛，且对于任意的，那么为一个定数有，若且对所有的具有一阶导数连续，而则不收敛。如果的，对有的是收敛对某些则不收敛，对同一个是收敛的，而有的有的可以写出一下形式：的形式。例如本题中，可以写出不同的应当说明：对同一个00000032323)(1q|(x)g|xg(x)x)1(qq|(x)g|)(),()()(122) 3(2) 12()2(2/ ) 12(

4、) 1 ()(),(xxgxxxqxxgxxxgxgxgxxxxxxxxxxgxxf)()(|),()6()()()5()()4()()()()()()()3()()()()2() 1 (0)( 2 . 811133322211122111221111110nnnnnnnxfxfxxxxxxfxxxxfxfxfxxfxfxxxxxfxfxxxxfxfxfxfxxxfxxxxxf顿迭代公式为：足够接近于真实根。牛就认为的根之差真正的根。当两次求出一直求下去，直到接近求出再通过。轴于的切线交作再通过。求出通过。故有。由于。可以用公式求出轴与的切线，交作过。于，交。在几何上就是作求出通过的真实根的近

5、似根选一个接近于是这样的：附近的一个实根的方法在用牛顿迭代法求牛顿迭代法。求出新的次一次地。这样就能使用循环一就代表了和个变量。也就是说只要用两，再求出新的始值值作为下一次迭代的初的将求出的下一个近似值。然后代表通过迭代求出的，代表代表代表迭代次数，的初始值，代表第一次编程思路：用求出：已知：附近的一个实根。在例：用牛顿迭代法求xxxxxxxxxxxxxffxffnxxxxxfxxxxfxxxxxfn,11) 1(1),1(1443)(142)(00142)(32122323program Read(*,*)x N=110 x1=x F=x1*3-2*x1*2+4*x1+1.0 F1=3*x1

6、*2-4*x1+4 X=x1-f/f1 Write(*,*)n,x1,x N=n+1 If(abs(x-x1).gt.1e-6)goto 10 end运行过程记录如下：1.0N=1 x1=1.0000000 x=-0.3333333N=2 x1=-0.3333333 x=-0.2287582N=3 x1=-0.2287582 x=-0.2225152N=5 x1=-0.2224945 x=-0.2224945间相当小为止。不断缩小范围，直到区间。用这个办法的中点，并舍弃一半区与区间，再取则说明根在同号，与间。如果”，并且再舍弃一半区的中点“与再找围。的办法再进一步缩小范少了一半。然后用相同这样

7、将寻找根的范围减之间，号，说明实根在是否同符号，如果不同与，检查点的中之间有一实根。取符号相反，说明和如果区间内有无一个实根。，判断和两点其基本思路是：任意取二分法22121112121212121),()()(),()()(),(),()()(),( 3 . 8xxxxxfxfxxxxxxfxfxxxxxxfxfxxxx。取附近的一个实根，在例：用二分法求重复上述步骤。找中点再根据新的区间。这就舍弃了原，作为新的同号，则用与这个区间。如果原，这就舍掉了作为新的不同符号，则用与如果区间呢？怎样做到“舍弃”一半5, 02016)(,)2(),()()(),()()() 1 (2132111122

8、1xxxxxxfxxxxxxxxfxfxxxxxfxfprogram Read(*,*)x1,x2 F1=x1*3-6*x1-1 F2=x2*3-6*x2-110 x=(x1+x2)/2 F=x*3-6*x-1 If(sign(f,f1).eq.f) then X1=x F1=f Else X2=x F2=f End if If(abs(x1-x2).gt.1e-5).and.$ (abs(f).gt.1e-6) goto 10 If(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2 Write(*,*) x end程序运行结果:1.0, 5.0 x=2.52891702.0, 4.0

9、x=2.5289170。区间，应舍去等于同号，则与。如果代替，以代替应以为改变符号和值。此时后，同号，则执行与。因此，如果的符号传送给的作用是将，函数的作用是传送符号说明：2, 2)2,()2,(211) 1,(11) 1,(ffxxxxfffsignffffxxfffsignffffffsignsign分法采用的方法相同。是否同符号的方法与二与判别：。可用下式求出点为轴，设交线必然交与异号，则它们之间的联与如果与二分法相同。舍去一个。取舍的方法二个区间中与，从轴的交点联线与与取。弦截法则是后从中舍弃一半的区间每次取区间的中点，然点不同，二分法二分法”相似，只有一弦截法的基本思路与“弦截法)()()()()()()(),(),()()( 4 . 821212122212121xfxfxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxxxxfxf为止。的值不超过求出的。要求进行到先后二次例：用弦截法求根：623100472xxxx10 Read(*,*)x1,x2 F1=x1*3-2*x1*2+7*x1+4 F2=x2*3-2*x2*2+7*x2+4 If(sign(f1,f2).eq.f1) goto 10 F=1.020 if(abs(x1-x2).gt.1e-5).and.(abs(f).gt.1e-6) then x=x2-(x2-x1)/(f2-f1)*f2 f=x*3-2