概率论课件第六章

1、概率论与数理统计§2抽样分布u 统计量与经验分布函数u 统计学三大抽样分布u 几个重要的抽样分布定理u 小结2回顾正态分布N (mi ,s 2),相互若niæ2 önnnåai Xiåi=1åi=12a m ,a s N则ç÷iiiièøi=1特别地, N (m,s 2)öXi若nnæs 21nåi=1X N ç m ,则X =÷øinè3标准正态分布的上 a 分位点定义P( X > za ) = a ，则称z a为标准

2、正态若分布的上a 分位点., 则称 za 为标准若 P(| X |> za) = a/22正态分布的双侧 a 分位点.标准正态分布的上a 分位点图形常用数字P( X > za ) = a= 1.645= 1.96= 2.575z0.05z0.025z0.005P(| X |> za /2 ) = a50.40.30.2a/2a/20.1-zza -2 a/2 -11/2 20.40.30.2a0.1z-2-11a 2二、常见分布统计量的分布称为抽样分布.1. c 2分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. 设 X1 ,X2 ,L, Xn 是来自总体N(0，1) 的样本则称统计

3、量c 2c 22n=服从自由度为n的c 2分布，记为c 2 c 2(n).变量的个数.自由度是指上式右端包含的6c 2(n)分布的概率密度为1n-1- yy 2e2，ìny > 022 G(n)ïf ( y)íïî2其他.0,æ1ö因为c (1)分布即为G2证明ç 2, 2÷分布,èø N (0, 1),由定义 X 2 c 2(1),又因为Xii即 X 2 Gæ 1 , 2ö,i = 1, 2, L, n.ç 2÷ièø

4、7因为所以相互2也相互nnnæ nöå Xic 22Gç 2 , 2÷.根据G分布的可加性知èøi =1c 2(n)分布的概率密度曲线如图.8注意：其中伽玛函数 G(x)通过¥ò-tx-G(x) =x > 01e tdt,来定义.0在x > 0时收敛，称为G函数，其具有以下性质pG(G(1) = 1,G(1/ 2) =),G(n +1) = n! (n Î N )9n = 1 时,其概率密度为ìï1- y- 1y > 0y2 e 2 ,2pf ( y) =

5、íïy £ 00,în = 2 时,其概率密度为ì12- yy > 0e2 ,ïf ( y) =íïy £ 00,î为参数为2的指数分布.100.40.30.20.1246810c 2分布的性质(c 2 分布的可加性)性质1设 c 2 c 2(n ),c 2 c 2(n ), 并且 c 2,c 2独112212则c 2 + c 2 c 2(n + n ).立,1212( 此性质可以推广到多个随量的情形. )设 c 2 c 2(n ),并且 c 2 (i = 1, 2,L, m) 相互iii

6、må ic 2(n + n + L + nc 2).,则12mi =111性质2 (c 2分布的数学期望和方差)若 c 2 c 2(n),则E(c 2 ) = n,D(c 2 ) = 2n.D( Xi )= 1,2所以E( Xi)证明因为Xi N (0, 1),2422D( Xi)E( Xi) - E( Xi)3 -1i = 1, 2, L, n.2,¥1- x2ò44E( Xi ) =dx = 3注x e22p-¥næönå E( Xi)Eç å X2E(c 2 )n,2 ÷ø故i&

7、#232;i =1i =1nDæ2 önåi =1ç å X÷2 )D(c 2 )D( X2n.iièøi =112性质3, 都服从正态分布设n相互n1s 2åi=1c 2- m)2 c 2(n)N (m s 2=,),( X则iX - n的分布性质4若 c2 c2(n),则当n充分大时,2n近似正态分布N(0,1).(应用中心极限定理可得)13c 2分布的分位点对于给定的正数a ,0 < a < 1,¥称满足条件òPc 2 > c 2 (n)f ( y)dya2c(

8、 n)a的点c 2 (n) 为c 2(n) 分布的上a 分位点.a对于不同的a ,n,可以通过查表求得上a 分位点的值.14设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上例1- x21+¥òa 分位点za 满足 P X > za =求 za 的值, 可通过查表完成.z0.05 = 1.645,z0.025 = 1.96,e 2 dx = a ,2za根据正态分布的对称性知= -za .z1-a15例2设 Z c 2(n),c 2(n) 的上a 分位点满足+¥òPZ > c 2 (n) =c 2( y; n)dy = a ,ac

9、( n)2a求c 2 (n)的值,可通过查表完成.ac 2(8) = 17.534,(10) = 3.247,0.025c 20.975c 2(25) = 34.382.0.1附表只详列到n=40为止.16费希尔(R.A.Fisher)证明:1c (n) »(z+2n - 1)2 .2当n 充分大时,aa2其中za 是标准正态分布的上a 分位点. 利用上面公式,可以求得n > 40 时, 上a 分位点的近似值.(50) » 1 (1.645 +c 299)2 = 67.221.例如0.052c 2(50) = 67.505 .而查详表可得0.05172. t 分布设

10、X N (0, 1),Y c 2(n),且 X , Y,则X量t =服从自由度为n 的t 分布,称随Y / n记为t t(n).t 分布又称学生氏(Student)分布.t(n) 分布的概率密度函数为æ n + 1öG çn+1÷ æt 2 ö-èø ç1 +22÷h(t ) =- ¥ < t < +¥,nG æ n ö èn øç 2 ÷èø注：具有自由度为n的t分布t t(n),其

11、数学期望与方差为：E(t) = 0, D(t) = n (n - 2)(n > 2)18t 分布的概率密度曲线如图显然图形是关于t = 0对称的.当n充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图- t 22 ,1形.因为lim h(t ) =n®¥e2所以当n 足够大时t 分布近似于N (0,1) 分布,但对于较小的n,t分布与N (0,1)分布相差很大.注：f n(t)是偶函数19t 分布的分位点对于给定的a ,0 < a < 1,称满足条件¥Pt > ta (n) = òt( n) h(t )dt = aa(n) 分布的上

12、a 分位点.的点可以通过查表求得上a分位点的值. 由分布的对称性知a (n).当n > 45 时, ta (n) » za .20(n) 的上a 分位点满足( y; n)dy = a ,ta ( n)设T 例3PT >求 ta (n) 的值, 可通过查表完成.t0.05 (10) = 1.8125,t0.025(15) = 2.1315.21P (T > ta ) = a-ta= t1-aP (T > 1.8125) = 0.05 Þ t0.05 (10) = 1.8125P (T < -1.8125) = 0.05,P (T > -1.

13、8125) = 0.95Þ t0.95 (10) = -1.8125220.350.30.250.20.150.10.05n = 10a-3-ta2-112ta33. F分布设U c 2(n ), V c 2(n ),且U , V,则称12U / n量 F =1(n , n ) 的F 分随服从自由度为12V / n2布,记为F F (n1, n2 ).n1称为第一自由度，n2称为第二自由度。23F (n1, n2 )分布的概率密度为n1n1 -1y 2æ n + n öæ nö 2Gç2 ÷ç1 ÷1&#

14、232;2øè n2 øìï,y > 0,n1 +n2æ n1 öæ n2 öéæ n1 y öù2ïï Gç 2 ÷Gç2 ÷ê1 + ç÷úy ( y)íèøèøënèøû2ïïïî0,其他.F分布的数学期望为:n2E(F ) =

15、若n > 2n2 - 22即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.24F分布的概率密度曲线如图根据定义可知, 若F F (n1, n2 ),则1 F (n , n ).21FF 分布的分位点对于给定的a ,0 < a < 1,+¥称满足条件òy ( y)dy = aPF > F) =(n , na12Fa ( n1 , n2 )的点Fa (n1 , n2 ) 为F (n1 , n2 ) 分布的上a 分位点.25设 F (n1, n2 )分布的上a分位点满足+¥例4òy ( y)dy = a ,PF > F(n , n ) =

16、a12Fa ( n1 , n2 )求 Fa (n1, n2 ) 的值, 可通过查表完成.= 4.90,F0.025 (8, 7)= 2.31 .F0.05 (30,14)26F 分布的上a 分位点具有如下性质:1(n , n ) =F.1-a12Fa (n , n )21证明因为F F (n1, n2 ),所以 1 - a = PF > F1-a (n1 , n2 )= P ì 1ü = 1 - P ì 1ü11<³íF(n , n )ýíF(n , n )ýFFîþ

17、38;þ1-a1-a12112= 1 - P ì 1ü,>íF)ýF(n , nîþ1-a12故 P ì 1ü = a ,1>íF(n , n )ýFîþ1-a1227因为 1 F (n , n ), 所以Pì 1 > F (n , n )ü = a ,íFýa2121F比较后得îþ1= F (n , n ),aF1-a (n1 , n2 )211(n , n ) =即F.1-a12Fa

18、(n , n )21用来求分布表中未列出的一些上a 分位点.11= 0.357 .(12,9) =例F0.95F(9, 12)0.280.05284. 正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一 (样本均值的分布)是来自正态总体 N (m,s 2 )设的样本,n则有X 是样本均值, S2是样本方差E( X ) = m,D( X ) = s 2E( S 2 ) = s2n ,X N (m, s 2 / n).X - m N (0,1)即sn29éêêë2 öùæn1å22E(s ) = E- nXX÷

19、0;注：çin -1øúûè i=1éùn 1å22=E( Xi) - nE( X)ún -1 êêë i=1úûéùn(s 2 + m 2 )- n(s 2)ú 1ån + m2=n -1 êêë i=1úû= s 230X - ms2X N (m,) Ûns N (0,1)n请注意:在已知总体m，s 2时可用本定理计算样本均值X.n取不同值时样本均值X

20、的分布31定理二是总体N (m,s 2 ) 的样本,设S 2n则有X ,分别是样本均值和样本方差,(n - 1)S 2s 2 c(n - 1);2(1)X 与S 2(2).(n -1)S 2n取不同值时的分布s 2定理的证明见本章末附录.32定理三是总体N (m,s 2 ) 的样本,设nX , S 2分别是样本均值和样本方差, 则有X - m t(n - 1).S /nX - m(n - 1)S 2s 2 c (n - 1),2因为s /n N (0,1),证明, 由 t 分布的定义知且两者X - m(n - 1)S 2s 2(n - 1)t(n - 1).s /n在未知总体m，s 2时，可用

21、本定理计算样本均值X.33(两总体样本均值差、样本方差比的分布)定理四设n 与Y1 , Y2 , L, Yn分别是具有12相同方差的两正态总体N (m ,s 2 ), N (m ,s 2 )的样1122n11,设 X =å Xi ,n本, 且这两个样本互相i =11分别是这两个样本的均值,n21åYiY =ni =112n1n21å( Xiå(YS1=2- X ) ,2S 2=- Y )2- 1 i =12in - 1 i =n112分别是这两个样本的方差,则有34S 2 / S 2 F (n1 - 1, n2 - 1);12(1)ss2 /212当s

22、2 = s 2 = s 2 时,(2)12( X - Y ) - (m1 - m)+ n- 2),2 t(n1211+nSwn12(n - 1)S 2 + (n - 1)S 2 其中 Sw =2= 1122 ,S 2 .Sn + n - 2ww1235证明(1) 由定理二(n - 1)S 2(n - 1)S 2 c (n1 c (n2 - 1),2- 1),21122s 2s221由假设 S 2 , S 2则由F 分布的定义知,12(n - 1)S 2- 1)S 2(nF (n1 - 1, n2- 1),1122(n - 1)s 2- 1)s 2(n1122S 2 / S 2- 1, n2-

23、1).12即 F (n1ss2 /21236s 2sæ mö2- m ,(2)因为X - Y N ç+÷ø12nnè12所以U = ( X - Y ) - (m1 - m2 )N (0,1),11s+n1n2(n - 1)S 2(n - 1)S 2 c2(n1 - 1), 故由c 2 c 2(n由11 - 1), 22 s 2s 2且它们相互2分布的可加性知37(n - 1)S 2- 1)S 2(nc 2(n1 + n2 - 2),+1122Vs 2s 2由于U 与V 相互U, 按 t 分布的定义 .V /(n1 + n2 - 2)(

24、 X - Y ) - (m1 - m2 )t(n + n- 2).1211+nSwn1238例5 设总体X 服从正态分布N (12,s 2 ), 抽取容量为25的样本,求样本均值X 大于12.5的概率.如果(1)已知s = 2；（2）s 未知，但已知样本方差S 2 = 5.57.(1) PX > 12.5 = P ì X -12 > 12.5 -12 ü解í 2ý25225îþ= P ì X -12 > 1.25ü = 1- F(1.25) = 0.1063íý0.4î

25、;þ(2)PX > 12.5 = P ì X -12 > 12.5 -12 ü = PT > 1.059í Sý25S25îþ查自由度为24的t分布表,t0.15 (24) = 1.059,即PT > 1.059 = 0.15. 故有PX > 12.5 = 0.15.39从正态总体N (m, 0.52 )中抽取样本X1,L, X10.例6ìï 10üï（1）已知m = 0，求概率p íå Xi2³ 4ýï&

26、#254;ïî i=1ìï 10üï（2）m未知，求概率p íå( Xi2- X )³ 2.85ý.ïþïî i=1(1) 由m = 0，有Xi0.5 N (0,1)，则解102 D1å Xi22 c (10)=0.52Yi=1ìï 10üïìïüï10p Y³ 1614p íå Xi³ 4ý = p í&#

27、229; Xi³222=ý22ïî0.50.5ïî i=1ïþïþi=140ìï 10üïp íå Xi³ 4ý = 0.10.22查表求c0.10 (10) = 16.由此可得(2) 由题设及定理2，ïî i=1ïþ10D 9S 21å( Xi2 c (9)2Z =0.52=0.52- X )i=1ìï 10üïì&

28、#239;2.85 üï101p íå( Xiå( Xi22- X )³ 2.85=- X )³pýíý22ïî i=1ïþïî0.50.5ïþi=1= PZ 2 ³ 11.4查表得c 2(9) = 11.4,由此可求得0.25ìï 10üïp íå( Xi2- X )³ 2.85ý = 0.25.ïþ

29、39;î i=141设总体服从泊松分布p (l)，X1,L, Xn是一个样本例7（1） 写出X1,L, X n的概率分布；（2） 计算E( X ), D( X )和E(S 2 ).l xi解（1）由于PXi = xi =-lxi = 0,1, 2,L, l > 0exi !因此样本X1,L, Xn的概率分布为nå xii=1nnl xinÕÕxi !ÕPXi = xi =-l-nll=eexi !i=1i=1i=1(2) 由于，E( X ) = D( X ) = l,则有E( X ) = E( X ) = l,é2 ù

30、nlD( X )1åi=1D( X ) =n2( X - X ) ú = lE(S ) = Eêin -1nêëúû42例8若总体X N (0,1)，从此总体中取一个容量为6的样本Y = (试决定常数C，使随6,设3)+ (6 )2量CY服从c 2分布.解 N (0,3)因为3 ö2 3 c (1)23 ÷ N (0,1)所以从而çèø33 ö22 c (1)6同理可知ç÷èø3由c 2分布的性质可知ö21343&#

31、230;öæ1 c (2)2Y = ç3 ÷+ç3 ÷故 C =. 3èøèø33小结在这一节中我们学习了统计量的概念, 几个重要的统计量及其分布,即抽样分布. 要求大家熟练地掌握它们.44常用的统计量1nnå iX =样本平均值Xi=11nåi=1S =( X - X )22样本方差in -11nS =( X - X )2n - 1 å样本标准差ii =1n1n1nåi=1Ak =k iX样本k阶原点矩nåi=1Bk =- X )k样本k阶中心

32、矩( Xi45抽样分布c 2分布 设X1,L, Xn相互,且均服从正态分布N (0,1)，n= å Xi 2服从自由度为n的c 2分布,i=1c 2则称随量记为c 2 c 2 (n).设X N (0,1)，Y c 2 (n),且X 与Y相互t 分布随，则称分布，记为t t(n).量YnF分布 设U c 2 (n1)，V c 2 (n2 ),U与V 相互，则称量F = U n1 服从自由度为（n , n ）的分布,随12V n2记为F F (n1, n2 ).46抽样分布定理样本均值的分布设X N (m,s 2)，则样本均值X 有X N (m,s 2样本方差、均值的分布的样本，n).设X1,L, xn是来自总体N (m,s 2)的样本，X , S 2分别是样本均值和样本方差，则有(n -1)S 2 c (n -1).2(1)s 2X 与2(2)X - m t(n -1)(3)Sn47两总体样本均值差、样本方差比的分布设X1,L, Xn 与Y1,L,Yn 分别来自总体N (m1,s 2 )和112N (m2 ,s 2 )的样本，且这两个