指数函数及其性质

1、1:18:461 在印度有一个古老的传说：舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人-宰相 西萨班达依尔。国王问他想要什么， 他对国王说：陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。1.棋盘上的麦粒棋盘上的麦粒总数为：=18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全

2、球的小麦总量约6.5亿吨）1:18:472x1 1现在假设棋盘上第一格给现在假设棋盘上第一格给2 2粒麦子，第二格给粒麦子，第二格给4 4粒，第三格给粒，第三格给8 8粒粒，到第到第 格时，格时，请写出请写出给的麦子粒数给的麦子粒数 与格子数与格子数 的关系式。的关系式。yx交流探讨、形成概念交流探讨、形成概念 麦子粒数麦子粒数yxxx2122232421:18:4832.庄子庄子 天下篇天下篇庄 子1:18:484 ：庄子庄子.逍遥游逍遥游记载：一尺之椎，记载：一尺之椎，日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长时间也截

3、取不完时间也截取不完.这样的一个木棒截取这样的一个木棒截取 x 次，剩余长度次，剩余长度y与与x的关系是的关系是 ?1:18:485. 一尺之木一尺之木 日取其日取其半半第第1 1次后次后第第2 2次后次后第第3 3次后次后第第4 4次后次后第第x x次后次后122)21(3)21(4)21(x)21(1()2xy 11:18:4862.2.庄子庄子天下篇天下篇中写道：中写道：“一尺之棰，日取其半万一尺之棰，日取其半万世不竭世不竭”. .请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取次数的关系式次数的关系式 yxxx1 1现在假设棋盘上第一格给现在假设棋盘上第一格给2

4、 2粒麦子，第二格给粒麦子，第二格给4 4粒，第粒，第三格给三格给8 8粒粒，到第，到第 格时，格时，请写出请写出给的麦子粒数给的麦子粒数 与格子数与格子数 的关系式。的关系式。yx交流探讨、形成概念交流探讨、形成概念 木棰剩余量木棰剩余量麦子粒数麦子粒数yxyxx2122232421)21(2)21(3)21(4)21(x)21(1:18:487 从前面我们的两个实例抽象得到的两个式子：122xxyy与函数函数有什么特点有什么特点? ?底数为实数底数为实数指数都含有x我我们们是是幂幂的的形形式式1:18:4982.1.2 2.1.2 指数函数及其性质1:18:499指数函数的定义： 形如形如

5、y = (a 0，且且a 1)的函数叫做指的函数叫做指数函数，其中数函数，其中x是自变量是自变量 .xa为何规定为何规定a 0，且，且a 1?函数的定义域是函数的定义域是R1:18:5010l 当当a a 0 0时，时，a ax x 对对有些数会没有意义，如有些数会没有意义，如(-2) ,0 (-2) ,0 等都没有意义；等都没有意义；2121l而当而当a a=1=1时，函数值时，函数值y y恒等于恒等于1 1，没有研究的必要，没有研究的必要. .记住：在y= 中a一定大于零！xa为何规定为何规定a 0，且，且a 1? 01a为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1。 1:18:5011指数函

6、数的特征：指数函数的特征：【提示提示】依据指数函数依据指数函数yax(a0且且a1)解析式的结构特征：解析式的结构特征：底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1；只有一项只有一项ax .说明说明1:18:5012例、指出下面哪个函数是指数函数：例、指出下面哪个函数是指数函数：xy)3() 1 (xky2xy22)2(xy0)3(xy)4(是否否是(1)当k=1时，是；(2)当k1时，否。思考：思考：1:18:5013反思：v指数函数的解析式指数函数的解析式 y=y=xa中，中，xa的系数是的系数是1.1.v有些函数貌似指数函数，实际上

7、却不是，有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如如: :kayx ( a0 ( a0 且且 a a1 1，k kZ)Z)； v有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，有些函数看起来不像指数函数，实际上却是， 如如: : xay) 1, 0(aa且因为它可以化为因为它可以化为 xay1) 11, 01(aa且1:18:50141指出下列函数哪些是指数函数：(1)y4x；(2)yx4；(3)y4x；(4)y(4)x；(5)y(2a1)xa12且 a1；(6)y4x.解：(1)，(5)，(6)为指数函数而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是1与指数函数4x的乘积；(4)中底数41a1时，

8、的大致图像如下图：xy0y=1y=ax(a1)(0,1)xay 1:18:5221x-3-2-10123y=2-x84211/21/41/8y=3-x 279311/31/91/27 XOYY=1.)31()21(的图象和动手作出函数xxyyxy)21(xy)31(1:18:5222y0(0a1)xy=1 y=ax(0,1) 当0a10a1 a1 0a1 0a0,且a1)的图象经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值.解：解： f f( (x x)=)=a ax x的图象过点的图象过点(3(3，)3a 13a 3( )()xf x 03(0)()f 1, 3(1),f 33( 3)

9、()f 3. 1 133() 1. 1:18:52252函数yax 33(a0且a1)的图象恒过定点_(3,4)全优（一）变式训练._),2 , 1 () 10( 1. 52baaaybx则的图象恒过定点且函数全优（一）基础夯实-2, 12)2 , 1 (2ba代入，得解析：把点恒成立。12ba. 2, 02bb1:18:5226练习：课本58页练习2解：(1)由x40，得x4，函数的定义域为xR|x4故函数的值域为y|y0且y1全优（一）典例剖析1:18:5227全优（一）典例剖析(2)定义域为R.|x|0，),.()0 ,.(), 0.0 ,.()(21)(. 3DCBAxfx的定义域是函

10、数全优（一）基础夯实A1:18:5228)(,xy|y,2|. 22则，若集合RxBRxyyAxBAA.BAB.BAC.BAD.全优（一）限时规范训练A1:18:5229的值。求实数的定义域和值域都是且若函数aaaaxfx,2 , 0) 10( 1)(. 8全优（一）能力提高为增函数，时，函数解：当)(1xfa , 21, 01, 2)2(, 0)0(20aaff即则。负值舍去解得)(3a为减函数，时，函数当)(1xfa , 01, 21, 0)2(, 2)0(20aaff即则无解。. 3a综上，1:18:5230XOYY=1y=3Xy = 2 x观察右边图象，回答问题：观察右边图象，回答问题

11、：xy)31( 问：从图形的对称性上问：从图形的对称性上看，右边函数图像有什么看，右边函数图像有什么对称特征？对称特征？指数函数指数函数 与与 的图像关于的图像关于y轴对轴对称；称；xay xayxy)21(1:18:5231当当a1时，时， 的图象随的图象随着着a由小变大会有什么样的由小变大会有什么样的变化？变化？XOYY=1y=3Xy = 2 xxy)21(xy)31(xay 当当0a1时，时， 的图象随着的图象随着a由小变大会有由小变大会有越靠近越靠近y轴；轴；当当0a1， y=1.7x在R上是增函数, 2.53， 1.72.51.73 , 即： 1.72.51.73 .1:18:533

12、5 解：（2）0.8-0.1、0.8-0.2可以看作函数y=0.8x的两个函数值.底数00.8-0.2，0.8-0.10.8-0.2,即： 0.8-0.11.70=1， 0.93.110.93.1,即： 1.70.310.93.1.1:18:5337小结：比较指数大小的方法：小结：比较指数大小的方法：、构造函数法：要点是利用函数的单调性，、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。的），若底数是参变量要注意分类讨论。、中间媒介法：用别的数如为媒介（如、中间媒介法：用别的数如为媒介（如1 1

13、等）。等）。数的特征是不同底不同指。数的特征是不同底不同指。课本59页习题A7,8 1:18:5338【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3与33.14；(2)0.991.01与0.991.11；解：(1)构造函数y3x.a31，y3x在(，)上是增函数3.14，333.14.全优（二）典例剖析(2)构造函数y0.99x.0a0.991.11，0.991.010.991.11.1:18:53391比较大小： (3)43与0.1253； (4)0.80.7与1.20.8.全优（二）变式训练解：(3)4326，而2629，430，0.80.70.80，即0.80.70.1.20.81.20

14、，即1.20.81， 0.80.71.20.8.1:18:53402(1)已知3x30.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.2x1，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数所以0.2x2，即x的取值范围为(2，)全优（二）变式训练1:18:5341【例2】 如果a2x1ax5(a0且a1)，求x的取值范围全优（二）典例剖析解：(1)当0a1时，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，x的取值范围是x|x61:18:5342 例8.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿. 1999年底，我国人口约为13亿； 经过1年（即2000年），人口数为13+131%=13(1+1%)（亿）；1:18:5343经过2年（即2001年），人口数为13(1+1%)+13(1+1%)1%=13(1+1%)2（亿）；经过3年（即2002年），人口数为1