贵师大抽象代数考试卷

1、贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。 注：本试题共三个大题，16个小题。满分100 分。一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是 ( )。 (A) n是2的方幂； (B) n是素数；(C) n是素数的方幂； (D) n>2。2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是 ( ) 。 (A) H中的元素； (B) GH中的元素； (C) G关于H的所有右陪集； (D) H的

2、所有共轭g-1Hg。3、设是环同态, 则同态的核( ) 。 (A) Ker(j)=aÎS: $bÎR, j(b)=a； (B) Ker(j)=aÎR: j(a)=a； (C) Ker(j)=aÎR: j(a)=1； (D) Ker(j)=aÎR: j(a)=0。4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是 ( ) 。(A) ； (B) ； (C) p2； (D) 。5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是 ( ) 。(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，R

3、 : I=3;(D) 商环R/I一定是特征为3的域。二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3-2是实数-1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。三、解答题11、(7分) 把置换=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1ÎZ2x,(1) 求Z2x中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2x中不

4、可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)=aÎG: "gÎG, ga=ag是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群; (2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。15、(10分) 证明：模n的剩余类环Zn的每个子加群都是理想。16、（10分）就你所知, 近世代数学在科研工作和生产实践中都有哪些应用？.贵州师范大学数学与计算机科学学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(B)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。 注：本试题共四个大题，18个小题。满分100 分。一、(20分) 回答下列问题： 1、 (4分) 列出剩余类加群Z10

5、的全部元素；2、 (4分) 写出加法群Z10的全部生成元、全部子群；3、 (4分) 写出剩余类环Z10的全部理想；（全部子群）4、 (4分) 写出剩余类环Z10的全部可逆元（生成元）、全部零因子、负元；5、 (4分) Z10是域吗？说明理由。二、简答题（每小题6分，共30分）6、7阶群的子群共有多少个?为什么?7、除环的理想有多少个?为什么? 8、商环Qx/(x2+x+1)是域吗?为什么?。9、设N是有限群G的正规子群,商群G/N与三次对称群S3同构,NZ11。说明: 22 | |G|.10、有锐角的棱形的对称性群是几阶群?三、计算题（每小题6分，共30分）11、复数域C作为实数域R的扩域，求

6、指数C : R.12、计算20082008(mod 7).13、把置换=(41536)(3745)(2175)表示为不相交的轮换的乘积。14、如果域E的乘法子群E*=E0有一个13阶子群H, 且E*:H=2, 求 |E|和域E的特征。15、求+1在有理数域Q上的极小多项式。 四、证明题（三个小题，共20分）16、(6分) 证明：有限域E的特征数p | |E|.17、(6分) 设G = <a>,|a|=n. 证明：G是单群当且仅当n是素数.18、 (8分) 设GLn(R)是实数域R上的一般线性群, S Ln(R)=AÎ GLn(R): |A| = 1. 证明：(1) S L

7、n(R)是GLn(R)的正规子群; (2) 商群。 试卷（A）参考答案一、（A）、（C）、（D）、（B）、（B）。二、简答题6、答：Z6不是域。因为6不是素数。（或：因为Z6中有零因子23=0；或：因为2没有逆元。）7、答：只有一个。因为，设I是R的任一理想，若单位元1ÎI，则"aÎR，由理想的吸收性，则a=a1ÎI，故必I=R。所以，R的含有单位元的理想只有一个，就是R。8、答：没有。因为，假如G有7阶元，由Largrange定理，则7 | |G|=300，矛盾。9、答：不是。因为实数-1不是x3-2的根。10、答：因为|F|=343=73，可知F的特

8、征是7，因而Z7是F的素域。三、解答题11、解：(1365)(3457)(7215)=(17234)(56)12、解：20072(mod 5)Þ20072007=20074×501+324×50123 3(mod 5).13、解: (1) Z2x中的一次和二次多项式只有x, x+1, x2+x+1, x2, x2+x, x2+1,其中x2和 x2+x显然是可约的, x2+1=( x+1) 2也是可约的, 而二次多项式x2+x+1在Z2上没有根,故不可约. 所以, Z2x中的一次和二次不可约多项式只有: x, x+1, x2+x+1.(2) 证明. 容易验证, f(

9、x)在Z2上没有根, 因而, 由¶( f(x)=4知, f(x)没有一次和三次因式. 假设f(x) 是可约的, 则f(x) 只有二次不可约因式, 由(1), 即有 f(x)= (x2+x+1) 2= x4+x2+1¹ x4+x+1= f(x), 矛盾. 所以, f(x)在Z2x中不可约。14、证明：(1) "a, bÎZ(G), "gÎG, 由Z(G)的定义有 ga=ag, bg=gb, 于是 b -1g = gb -1, ab -1g = agb -1=gab -1 , 从而得ab -1ÎZ(G), 即Z(G)是G的子群.

10、在由Z(G)的交换性, 易知Z(G)是G的正规子群.(2) 若G/Z(G)是循环群, 则有gÎG 使得G/Z(G)=<gZ(G)>. "x, yÎG, 有正整数k使得x Z(G)=(gZ(G)k = gk Z(G), 从而有aÎZ(G) 使得 x= gk a. 同理, 有正整数lÎN和 bÎZ(G) 使得 y= gl b. 于是由Z(G)的交换性有xy= gk a gl b= gk gl a b= gl gk b a= gl b gk a=yx.所以, G是交换群. 15、证明：设I是Zn的任一子加群，"x

11、06;I，"mÎZn，xm= | m |个x相加，而I关于加运算封闭，故xm ÎI。所以，I是Zn的理想。16、答: 就本教材中所介绍, 近世代数学在科研工作和生产实践中的应用有: 群论在物理学、化学、结晶学、组合计算中的应用； 有限域在计算机科学、编码和密码技术中的应用； 从群论观点对几何学进行分类（Klein的 Erlangen纲领）； 域的扩张理论否定了古希腊三大几何作图难题； 复数域的存在性论证。试卷（B）参考答案一、答：1、Z10=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9（或=0+10Z，1+10Z，2+10Z，3+10Z，4+10Z，5+10Z，6+10

12、Z，7+10Z，8+10Z，9+10Z）。 2、Z10的全部生成元是：1，3，7，9。 Z10的全部子群有：H1=0， H2=0，2，4，6，8， H3=0，5， H4=Z10。 3、Z10的全部理想有：I1=0， I2=0，2，4，6，8， I3=0，5， I4=Z10。 4、Z10的全部可逆元是：1，3，7，9。 5、Z10不是域。因为10不是素数。（或：因为Z10中有零因子25=0；或：因为2没有逆元。）二、简答题6、答：7阶群G的子群只有两个：单位元群和G本身。因为，由Largrange定理，子群的阶必是G的阶7的因数，因而只能是1或7。所以，7阶群G只有平凡子群。7、答：除环R的理想

13、只有两个：零理想和R本身。因为，设I是R的任一理想，若有非零元aÎI，在除环R中有a-1ÎR，于是单位元1=aa-1ÎI，进而，"bÎR，由理想的吸收性，则b=b1ÎI，故必I=R。所以，R只有零理想和R本身。8、答：是。因为x2+x+1是有理数域Q上的不可约多项式。9、答：由Largrange定理，|G|=|G/N|N|=|S3|Z11|=6×11=3×22。10、答：有锐角的棱形只有两条对称轴，即两条对角线。因此，它的对称性群G由转角为0°和180°的两个旋转与关于两条对角线的两个反射组成，

14、因此，|G|=4。三、计算题11、解：因为复数域C作为实数域R上的向量空间，其维数是2，所以，指数C：R=2。12、解：20086(mod 7)Þ20082008=20086×334+466×33463 6(mod 7).13、解：(41536)(3745)(2175)=(25)(3764).14、解: 如果域E的乘法子群E*=E0有一个13阶子群H, 且E*:H=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E的特征是3。15、解：+1在有理数域Q上的极小多项式为 f(x) = x2-2x-1。因为, f(x)没有有理根，因而是Q上的不可约的，又

15、+1是f(x) = x2-2x-1的根，所以，+1在有理数域Q上的极小多项式为f(x) = x2-2x-1。 四、证明题16、证明：因为域的特征p是单位元关于域的加法群的阶，由Largrange定理，则p | |E|。17、证明：当G= <a>是单群时，设n=pq，则|<ap>|=|ap|=q。由于单群G只有两个正规子群：e和G，且循环群G的每个子群都是正规子群，那么，G只有两个子群。所以，<ap>=e或G，进而|<ap>|=q=1或n。可见，n是素数。反之，当n是素数时，由Largrange定理可知，G只有两个子群，当然也就只有两个正规子群，因而是单群。18、证明：(1) "A，BÎ S Ln(R)，因为|AB|=|A|B|