第2章-信号处理中常用的数学变换课件

1、 2.1傅里叶变换傅里叶变换 2.2拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2.3Z变换变换 2.4希尔伯特变换希尔伯特变换 2.1.1傅里叶级数傅里叶级数 2.1.2傅里叶积分傅里叶积分 2.1.3傅里叶变换傅里叶变换 2.1.4卷积与相关函数卷积与相关函数)()(nTtxtxT/201. 傅立叶级数傅立叶级数2.1.1傅里叶级数00( )()jktkx tX ke001()( )t TjkttX kx t edtTFS傅立叶系数 是第 次谐波的系数，所以 在频率坐标轴上是离散的，间隔是 。0()X kk0()X k0( )x tAtT220T0k0()X k2. 傅立叶变换：FT()( )1( )()2

2、j tj tX jx t edtx tX jed 001()( )t TjkttX kx t edtTFS：若 是非周期信号，可以认为：( )x t( )x tT 的周期00( )2 /0,x tTTk 的周期连续()X j0lim( )( )t TjkttTj tx t edtx t edt 001()( )t TjkttX kx t edtT由0002()lim()limTX kTX k有频谱密度t( )x tA220( )x tAtT220T0k1. 对应连续非周期对应连续非周期 对应连续周期；对应连续周期；2. 连续连续 离散离散3. 密度密度 强度强度)( jX)(0kX 请深刻理解

3、FS和FT的定义，及它们的区别与联系！ FT存在的必要条件：()( )( )jtX jx t edtx t dt 1( )x tL说法1：2( )x tL说法2：22( )( )xEx tdtx t dt因为22( )( )xEx tdtx t dt因为所以，如果 是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，sin2( )tx tt( )x t是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取 更稳妥（即更严格）。2( )x tL周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解， 属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换， 属于能量信号；那么，周期信号可否实现傅里叶变换 在经典数学的意义上是

4、不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。dtetxjXtj)()(00()jktj tkX keedt dtekXtkjk)(00)()(2ydxejxykkkXjX)()(2)(00密度FT强度FS周期信号FS例例：令 求其傅立叶变换。0( )cos(2)x tf t因为： 所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：2( )x tdt 00000( )()/2,()1/2,1, 1jtkjtjtx tX keeeX kk 现利用 函数 将 作傅立叶变换：( )x t00()()00( )()()jtjtj tx t edteedt 0()X k1/21/21100k()X

5、 j000FSFT线谱 表达式是表达式是 傅里叶积分傅里叶积分存在的条件是存在的条件是x（t）分段连）分段连续，且在区间内绝对可积。续，且在区间内绝对可积。nnznxzX)()(nnjjenxeX)()(nnjezjenxzXeXj)(| )()(2.1.3傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义1. 是离散的，所以变换需要求和；(2 )(2 )()( )jjnnX ex n e( )()j njnx n eX e( )x n2. 是 的连续函数；()jX e3. 是 的周期函数，周期为 ；()jX e24. 存在的条件是 空间1( )x nl()jX e（二）特点可以看作是将 在频域展开

6、为傅立叶级数，傅立叶系数即是 ；()jX e( )x nnnjjenxeX)()(5. DTFT7. 由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；()jX e( )x n6. 是 在单位圆上取值时的 变换： jezjzXeX| )()(zz 8. 8. 反变换反变换()()( )( )2( )jj mj nj mnjn mnX eedx n eedx nedx m20)(demnjmnmndeeXnxnjj)(21)(nnjjenxeX)()(四种傅立叶变换四种傅立叶变换: :1. 1. 连续非周期连续非周期 连续非周期连续非周期( ( ) FT) FT2. 2. 连续

7、周期连续周期 离散非周期离散非周期 ( ( ) ) FS FS3. 3. 离散非周期离散非周期 连续周期（连续周期（ ） DTFTDTFT4. 4. 离散周期离散周期 离散周期离散周期 DFSDFS 切实理解四种FT之间的对应关系四种傅立叶变换四种傅立叶变换1. 线性)()()()(2121jjebXeaXnbxnaxF2. 移位00 ()()j njF x nneX e3. 奇偶、虚实性质()()( )()()|()|jj njjRInjjX ex n eXejXeX ee （三）性质)()(nxnx)()(jRjIeXeX)(| )(|jeXoddeven()()( )( )( )()jj

8、 nj nnnjnjnXex n ex n ex n eX e如果 是实信号，即( )x n如果 是实偶信号，即( )x n( )()x nxn则 是 的实函数！()jX e4. 4. 如果如果)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY则：5. 5. 如果如果)()()(nhnxnydeHeXeYjjj)()(21)()(则：时域卷积定理 频域卷积定理！()() ()jjjxyEeXeY e2.1.4卷积与相关函数卷积与相关函数( )( ) ()xynrmx n y nm互相关：( )( ) ()xnr mx n x nm2()()()()jjjjxE eXeX eX e自相关：自

9、相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！DTFT 2.2.1拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 2.2.2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 2.2.3拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 2.3.1离散时间序列与离散时间序列与Z变换变换 2.3.2Z变换的性质变换的性质 2.3.3Z逆变换逆变换时域：时域：)(tx复频域：复频域： dtetxsXst)()(jsf2Laplace 变换 s 平面j0所以0dtetxjXtj)()(Fourier 变换 频域：s 平面j0所以，傅里叶变换是 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。sjs因为sj ( )( )()snx nx ttnT() ()ssn

10、x nTtnT对离散信号，可否做拉普拉斯变换 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：()sssjTTj Tjzreeee nnznxzX)()(则：得到：得到： sTsreT sz与拉普拉斯变换 对应连续信号 变换 对应离散信号 zssTj Tjreee离散信号的 z 变换1|2()( )jjrssjj nnzreeTffX ex n e 离散时间序列的傅里叶变换， DTFTz平面Re zIm z0z平面Re zIm z01r 0202ssssf 020224:2ssTff z平面Re zIm z

11、0rjs 平面02sf4sf2sf4sf00000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 10.50.51k2kN1N 解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuImzj) 1()(nuanxn例2：) 1( nu011,n 其他11011( )1()111ROC:1,nnnnnX za za zza zzaa zza ROC:za)()(nuanxn注意：( )zX zza) 1()(nuanxn( )zX zzazazaZ Z变换的定义变换的定义解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX

12、031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj321: )(NNnnx1.1221, 0, 0NNNNROC：0|z右边有限长序列21211211( )( )()()NnNNn NX zx n zx Nx Nzz0z 2.21: )(NNnnx0, 021NN|0zROC:双边有限长序列0,zz 3.1: )(Nnnx1|Rz 4.1: )(Nnnx2|Rz 5.nnx: )(21|RzRROC:右边无限长序列ROC：左边无限长序列ROC:双边无限长序列思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？Z Z变换的收敛域变换

13、的收敛域 Z变换的收敛域)(nx对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。)(zX其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：nnznx)(根据级数收敛的阿贝尔定理发散不定收敛111limnnna对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。)(nxZ Z变换的收敛域变换的收敛域 收敛域内不包含任何极点，在极点处，收敛域内不包含任何极点，在极点处，X X(z)(z)为无穷大，为无穷大，Z Z变换不收敛。变换不收敛。 有限长序列有限长序列的收敛域为整个的收敛域为整个Z Z平面平面, 可能可能除开除开z=0z=0, z=z= 。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)

14、z2+ |z|0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|z| 也位于收敛域内。也位于收敛域内。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是左边序列左边序列，并且，并且|z|=|z|= 位于收敛域位于收敛域内，那么，内，那么， 0|z|0|z| 的全部的全部 z z 值也位于值也位于收敛域内。收敛域内。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是双边序列双边序列，收敛域由圆环组成。，收敛域由圆环组成。ImzjRez0ImzjRez0Rez0ImzjZ Z变换的收敛域变换的收敛域逆逆Z Z变换变换当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：0

15、n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有: 01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn 线性性2.3.2Z变换的性质变换的性质yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(设RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(则,min,maxyxyxRRRRRR其中 序列的移位xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00则 序列乘指数序列（尺度性）xxRzRzXnxZ)(

16、)(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理 序列的反褶xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1则 序列的共轭xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(则 Z域微分性xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理 初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：)(lim)0(zXxz若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：)()1(lim)(lim1zXznxzn 终值定理 卷积定理hhxxR

17、zRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设RzRzHzXnhnxZ)()()()(则,min,maxhxhxRRRRRR其中Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理 序列相乘（复卷积定理）hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(则 Parseval定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(则Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理 重抽样序列的Z变换对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n

18、)。两者之间的关系为： ,2, 1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMjMezXMzY则 逆Z变换2.3.32.3.3Z Z逆变换逆变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。 逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法） 围线积分法dzzzXjnxcn1)(21)(式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 逆逆Z Z变换变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 kakb,)(Re)(1kkna

19、zzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有: z1)(nzzX)(nx若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分 。根据留数定理， 等于围线C内全部极点留数之和，即: 1)(nzzX逆逆Z Z变换变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。 如果 为单阶极点，按留数定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 为

20、阶极点，则其留数为: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm 求原序列x(n)已知某序列的Z变换为: azazzX11)1 ()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:0naz 由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111a

21、zaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：Rez0Imzja1/a收敛域|z|=|a|围线C| | |1aza 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列)(nx|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C 部分分式展开法逆逆Z Z变换变换用部分分式展开法求反Z变换，)()()(zAzBzX通常为有理分式。1、单极点NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX则其逆Z变换为：)()()(10nuzAnAnxnkkNk逆逆Z Z变换变换说

22、明：说明：1 1、X X(z)(z)较简单时可按算术展开求各系数较简单时可按算术展开求各系数A Ak k(k=0,1,N) (k=0,1,N) 。 2 2、X X(z)(z)较复杂时可按留数定理求各系数较复杂时可按留数定理求各系数A Ak k(k=0,1,N)(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用，此时为了方便通常利用X X( (z z)/z)/z的的形式求取：形式求取：,)(Re)()1 (0 ,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk逆逆Z Z变换变换2、高阶极点当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修

23、改为：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1 (1)(11110式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：skzzXzzdzdksCizzsiksksk, 1)()()!(1逆逆Z Z变换变换例例： 已知 ，求X(z)的原序列。 2) 5 . 0)(2()(2zzzzzX解：3/ 1, 3/421AA由求系数Ak的公式求得 )() 5 . 0(31)() 2(34)(nununxnn因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得 2z5 . 02)5 . 0)(2()(21zAzAzzzzzX将X(z)变为X(

24、z)/z的形式并化为部分分式逆逆Z Z变换变换 长除法（幂级数展开法）210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列左边序列Z变换为z的正幂正幂级数级数，分子分母多项式应按升幂排列升幂排列展开；对于右边右边序列，序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列降幂排列进行展开。 典型例题)()(nuanxn 用长除法求 azazzX11)1 ()(的逆Z变换。 由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。 1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换例例: 用长除法求| | | ,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z