一平面图形的面积

1、1一、平面图形的面积一、平面图形的面积 二、由平行截面面积求体积二、由平行截面面积求体积 第十章第十章 定定积积分的分的应应用（一）用（一）由平行截面面积求体积直接应用求旋转体的体积面积公式（直角坐标，极坐标）2一、平面图形的面积一、平面图形的面积 如果函数y=f(x)( f(x)0)在区间a, b上连续，则由曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积为 复习：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 baf(x)dx。 3 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？考虑

2、如下问题：Ox y 1、若图形在x轴上方，ab y=f (x) y=g(x) y=g(x)注意图形的形成S =baf(x)dx =baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx =4ab y=f(x) y=g(x)Ox y 2、若图形不在x轴上方， y=f(x)m y=g(x)mm将图形平移到x轴的上方S =baf(x)mdxg(x)mdx =baf(x)g(x)dx。 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？考虑如下问题： 1、若图形在x轴上方，S =baf(x)dx =baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(

3、x)dx =f(x)mdxbag(x)mdx 5 结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。Ox yab y=f(x)g(x)=0Ox yab y=g(x)f(x)=06Ox yab y=f(x)g(x)=0ab y=f(x)g(x)=0Ox yab y=f(x)g(x)=0 (2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。 结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 =baf(x

4、)g(x)dx。 Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。7 (4)如果 y=f(x)有分段点 c，则需把图形分割后计算。Ox yab y=f(x)g(x)=0 y=f1(x) y=f2(x)cS=baf (x)g(x)dx =f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 f (x)g(x)dx =f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也

5、成立。 (2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。8讨论： 由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdx=y(y)x=j(y)dyyySdc)()(yj=。 答案： 结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所围成的图形的面积为9abxyOS1结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所围成的图形的面积为 例1. 求椭圆 所围成的图形面

6、积。 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为22221xyab=22022000241, let sin , we get 4cos(1 cos2 ) .4 aaxSydxbdxxataSabtdtabt dtab= =221xyba=10 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022dxxxdxxx)112()211(23121022x3=所围成的图形的面积。 例 2求曲线 y=21x2、y211x=与直线 x3=、xO-1 1 y y211x= 3=3 y=21x2 11 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分

7、的两倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx =2 x3=所围成的图形的面积。 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx 303) arctg6(xx )233(31=.11例 2求曲线 y=21x2、y211x=与直线 x3=、12 例3 计算抛物线y2=2x 与直线xy=4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, 2) 解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。 1861421)214(4232242=yyydyyy=18。思考：为什么

8、不向x轴投影？S=1861421)214(4232242=yyydyyy13oyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 =)()(tytxyj给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积=2121d)()()()( ttttbattttdtydxAjyjy)(1axt=对应)(1bxt=对应14极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(jjC设求由曲线)(j=r及=,射线围成的曲边扇形的面积 .在区间,上任取小区间d,则该小区间上曲边扇形面积的近似值为jd)(21d2=S所求曲边扇形的面积为jd)(21212=dAA)(j=r x d 15对应 从 0 变例

9、例5. 计算阿基米德螺线解解:)0( =aarxa 2o dd)(212a=20A22a=331022334a=到 2 所围图形面积 . 16ttadcos82042=例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (=aarxa2o dd)cos1 (2122a=02A=02ad2cos44(利用对称性)2=t令=28a43212223a=17二、由平行截面面积求体积二、由平行截面面积求体积 设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 V =ni 1S(i)xi。 (3)令l=maxxi，则立体体积为 (1) 在

10、a, b内插入分点： a=x0 x1x2 xn1xn=b， (2)过xi(i=1, 2, , n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnbV =ni 10limlS( )xi=baS(x)dx。i18abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222=axaxczby例例7. 计算由曲面1222222=czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxS=因此椭球体体积为bc2=0abca34=特别当 a = b = c 时就是球体

11、体积 .)(axaxbcaxd)1 (22=aV02x233axx的体积.19例例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx=解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA=)(RxR=RxxRV022dtan)(2123231tan2xxR=0Rtan323R=利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .oRxyx20oRxy思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx=)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRy=VR0tan

12、2yyRyd2221Oxba y区间a, b上截面积为S(x)的立体体积：右图为由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 y=f (x)V =baf(x)2dx=baf(x)2dx。 V =baS(x)dx。 关键是确定截面面积2( )( )S xf x=22当考虑连续曲线段)()(dycyx=j绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, =dcdyyV2)(jxoy)(yxj=cdy2( )( )S yy j=截面面积为于是有23 例例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成

13、一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 解：过原点 O 及点 P(h，r)的直线方程为 yxhr=。 V=h0 (xhr)2dx = 所求圆锥体的体积为 =22 hrh0 x2dxxhry =hrxyO曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V =baf(x)2dx。 区间a, b上截面积为 S(x) 的立体体积：V =baS(x)dx。 x2dx231hr=。 ( , )P r h24ayxb例例10. 计算由椭圆12222=byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby=则截面面积xxaabad)(220

14、222=(利用对称性)=3222312xxaab0a234ab=o=adxyV022x2( )S xy=于是25方法方法2 利用椭圆参数方程=tbytaxsincos则xyVad202=ttabdsin232=22 ab=32234ab=02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a26xyoa2例例11. 计算摆线=)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202=利用对称性利用对称性=2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)co

15、s1 (2033=ttad2sin16063=uuadsin322063=332 a6543212325a=ay)2(tu =令27xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为=)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(2022=22)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx =22)sin(ttattadsin0注意上下限 !=2023dsin)sin(tttta336a=)(1yxx =注意分段点！28分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt=20322d)sinsin2sin(tttttt)(= tu令=uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)=0dsin4uuu02dsin4uu24=uudsin8202221842=26=29ox1 2yBC3A例例12. 求曲线132=xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,=y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为=V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022=xxd