§1.简谐振动（最基本最重要的运动）

1、1. 1.简谐振动简谐振动 （最基本最重要的运动）（最基本最重要的运动）一.振动机械振动：位置作周而复始的变化。广义的振动：某物理量在一定值附近作周而复始的变化。二.周期与频率周期：T频率：1T第四章第四章 简谐振动简谐振动 三.谐振方程1.动力学特征以弹簧振子为例：见图km以平衡位置为原点建立坐标。o x分析受力：kxf 有：022xmkdtxdmk2令：有：0222xdtxd 动力学特征2.运动学方程22dd:txm-kxf由解此微分方程，可得)cos(tAx运动方程)sin(tAdtdxvxtAdtxda2222)cos(谐振曲线： 正弦或余弦曲线。AAAv四.谐振的振幅 周期 频率和相

2、位1.振幅最大位移)cos(tAx2.周期)cos(tAx)(cos(TtA2T21T2 是由振动系统决定的，所以周期、频率也由系统的性质决定。称为固有周期与固有频率。3.相位 t + 决定任意时刻的振动状态。)cos(tAx)sin(tAdtdxvxtAdtxda2222)cos(4. A 的确定由初始状态决定cos0Ax sin0Av由：得：22020vxA00 xvtg五.谐振的矢量图示法见图，矢量OM长度为A ,逆时针旋转，角速度。 xoM考察其端点在x轴上的投影的变化规律：)cos(tAx谐振参考圆：矢量端点的运动轨迹为半径等于A的圆 ，通常将其称为参考圆。其在直径上投影的运动？x0

3、 x1x2x3 x简谐振动（弹簧振子）简谐振动（弹簧振子）确定初位相两个振动的位相差相位练习相位练习 如图所示，把一小球拉过一甚小的角 ，然后放手，任其摆动，此 角是否是初相？请选择(1) 0(2) 如图所示，t = 0时物体速度值为负，位移为A/2，其初相是多少？)cos(tAxt = 0 2Ax 30v3解析法：矢量圆 xA单摆：复摆六. 单摆与复摆omLoch受力矩：PPM = mgh sin 角加速度：sinImghIM当角很小时，有：ImghIM 谐振单摆：2mLI h = L LgLg2gLT2复摆：Imgh2mghIT2振动周期均取决于系统本身。七.谐振的能量)(sin21)(s

4、in2121222222tkAtAmmvEk)(cos2121222tAkxkEp221AkEEEpk能量守恒势能曲线：Epx-AAEk = k(A2 x2)EEkEp经典粒子能否越过A处？ 微观粒子是可以越过势能曲线形成的障碍而进入势能更大的区域，此称为隧道效应。从能量的角度导出谐振方程：E = mv2 + kx2 = 常量0)2121(22kxmvdtd0dtdxkxdtdvmv022xmkdtxd谐振方程2. 2. 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振一.阻尼振动 能量逐渐减少的振动。考虑耗散作用摩擦阻力辐射阻尼振动曲线：xtxt振幅减小，周期比系统的固有周期变大。若阻尼过大，则

5、系统完不成一次振动，称过阻尼振动。见图定量分析：设物体以不大的速率在粘性介质中运动，粘滞阻力为vF为阻力系数，与物体形状、大小及介质有关。由牛顿方程：makxv022kxdtdxdtxdm令：mk20m2得：022022xtxtxdddd其解为：)cos(tAext220A、由初始条件决定。当：202若：202则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。202称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。二. 受迫振动1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力的周期，振幅保持不

6、变。定量分析： 设周期性外力：tFpcos0matFvkxpcos0由牛顿定律：tFkxdtdxdtxdmpcos022令：mk20m2mFf 得：tfxtxtxpcosdd2dd2022其解为：)cos()cos(0tAteAxpt振动情况分析。最终的振动：)cos(tAxp 三.共振 受迫振动的振幅与驱动力的大小、频率及振动物体的固有频率有关。当驱动力的频率与物体的固有频率接近时，振幅将增大，当驱动力的频率为某一定值时，振幅将达到最大。此现象称为共振。阻尼越小，振幅越大。振幅与初相2222204)(ppfA2202pptg定量分析：0)4)(222220ppppfAdddd得：220max

7、AA 220max2fA 阻力越小，p越接近0。同时 A也越大。00Amax6. 6. 谐振的合成谐振的合成一.两个同方向 同频率的合成)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg 旋转矢量法讨论：A1A2A 因转动速度相同，所以合振动是谐振。二.同方向不同频率的合成 拍合振动的振幅：当 21 = 2kA = A1+ A2 为最大当 21 = （ 2k + 1 ）A = A1 A2 为最小合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。设两振动频率为 2、1，且2大于 1 ，则在单位

8、时间内第二振动比第一振动多振动21次，从矢量圆来看，即第二矢量比第一矢量多转（21）圈，所以两矢量同向或反向各为（21）次，也就是合振动将加强与减弱各（21）次。这样的两个简谐振动合成时，由于周期的微小差别而造成的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍，合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。12曲线：otx1otx2otx1 +x2定量讨论：振幅相同，初相为零。tAtAx1112coscostAtAx2222coscosttAxxx22cos)22cos2(121221振幅1 212振幅随时间作缓慢的周期性变化。其值为02A合振幅的频率：tA22cos212)22cos(212tA三.同频率

9、 振动方向垂直)cos(22tAy111sinsincoscosttAx)cos(11tAx222sinsincoscosttAy消去 t 得)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)1(22cos(21212tA即：121T12一般为椭圆方程。几个特例：0) 1 (12xAAy12 x ys)cos(222122tAAyxs谐振12)2(xAAy12 x y s仍为谐振2) 3(121222212AyAx正椭圆。 x y转动方向？2)4(12椭圆，逆时针。四.频率不同 振动垂直利萨如图形见图： P151 5.19第五章 机械波一.产生条件思考：什么是波？ 例:声波、水

10、波、 振动状态的传播。产生条件：波源、弹性介质。 二.纵波与横波 考虑振动方向与传播方向 纵波 振动方向传播方向 横波 振动方向传播方向1. 1.机械波的产生与传播机械波的产生与传播三.几何描述1.波阵面位相（振动状态）相同的点组成的曲面。形象描述波的传播情况。例：点波源在各向均匀介质传播。波前最前的波阵面。2.波射线波的传播方向。各相同性的介质中，波线与波阵面垂直。三.描述波动的物理量1.波速波的传播速度。由介质决定。液（气）体中：Bu 体变模量密度 固体：横波：Gu 切变模量纵波：Yu 弹性模量弹性模量Y：LFSL正应力：SF线性应变：LL实验表明：LLYSF切变模量 G：Fr切应力与切应

11、变：LrGSF体变模量B：VV体积缩小V，压强增加p。VVBp2.波长相邻的两振动状态完全相同的点之间的距离。 位相差 = ？表现空间的周期性。3.周期 T 波源传出一个完整的波形的时间或振动状态传播一个波长的时间。与振动周期相等。表现时间的周期性。4.频率单位时间内通过空间某点的完整的波数。5.关系式：Tc例 题 频率为3000Hz的声波以1560ms-1沿一波线传播，经A点后再经0.13m到达B点。求B点振动比A点落后的时间,相当于多少个波长，两点的位相差为多少？解：scxt120001156013. 0mc52. 0300015604152. 013. 02212tttt2. 2.平面简

12、谐波波动方程平面简谐波波动方程 （波函数）（波函数）一.作用：描述波动规律各质点 t 时刻的振动规律。二.导出设：波源谐振，平面波、介质无限大、波速 u.建立坐标 如图：xyou y0 = Acostpx = 0求 p 点的 y = ? p 比 o 滞后 t ,xuxt 若 t 时刻 y0 = Acost)(cosyuxtAp则：波动方程其它形式：)(2cos)(2cosutxAxTtAy三.方程的物理意义.1. x = x0)(cos0uxtAyx0 处的振动方程。 2. t = t0 )(cos0uxtAy t0 时刻各质点的位移波形图。 t = t0 t = t0 + t u xyot

13、= ? 周期 p p 点的振动方向？ 3. t 、x 均为变量。 各质点的振动方程。4.讨论：（1）振速与波速（2）负向传播)(cosuxtAy振速：tyV波速：位相的传播速度。例题 求A、T；波形图；)40(200cos02. 0)2005(cos02. 0 xttxy解: (1)A = 0.02m= 100HZu = 40ms-1 T = 0.01s-1 = uT = 0.4m(2)t1 = 0.0025s = T t2 = 0.005s = T x1 = u t1 = x2 = u t2 = 采用平移法，见图。t = 0 t = T t = T y xou例2 已知：频率为12.5108

14、的平面余弦波沿细长棒传播，杨氏模量Y为1.91011Nm-2,棒的密度为7.6103kgm-3.波源振幅为0.1m.求波源的振动方程；波动方程；离波源0.1m处质点的振动方程；在波源振动0.0021s时的波形方程。解： (1)13105msYu=2=25103 HzA = 0.1mm = 0.110-3m)(cosuxtAyy = Acost (2) (3)、（4）略。3. 3.波的能量波的能量 能流密度能流密度 波的吸收波的吸收一.能量 状态传播 能量传播 1.能量的表式： 介质内取一体积元 V )(sin2121E2222uxtVAmvyk则：)(sin21222uxtVAEp(可以证明)

15、(sin222vxtVAEEEpkEk 与 Ep 同位相，与谐振区别。例：纵波：形变小，振速小。E = E ( t ) 不守恒。2.能量密度：)(sin222vxtAVE平均能量密度：对 T 求平均.220211AdtTT二.能流与能流密度1.能流单位时间内通过媒质中某面积的能量。s设波速为 u .则平均能流：uspu2.能流密度 （波强）单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的平均能量。uAuI22213.波的吸收teAA0振幅衰减：波强衰减：teII20波的衰减媒质吸收传播距离空气中低音衰减小，次声波衰减更小。火车汽笛：声波十多公里，次声波几百公里。4. 4. 声波声波一.声波 20200

16、00Hz1.声压产生：媒质振动，密度变化。定义：某一时刻，媒质中某一点的压强与无声波通过时的压强之差。声压的幅值：uApm（可以证明）2.声强：声波的强度能流密度upAuIm2222121频率越高，声强、声压越大。炮声：1w/m2 超声波：109w/m2 数百个大气压。3.声强级人耳对声波的反应： 声强、频率。听阈引起人耳听觉声强的下限。痛阈引起人耳听觉声强的上限。均与频率有关。例：1kHz 听阈：10-12 w/m2 痛阈：1w/m2 100Hz 听阈：10-9 w/m2 痛阈： 1.4w/m2 人耳的敏感频率：10005000Hz 同一频率，听阈与痛阈差别：1kHz：1012 人耳主观感受

17、（响度）：实验事实：声强大十倍，响度大一倍。 用对数表示声强的等级声强级。设 I 为声强，以 I0 = 10-12 w/m2 为基准。)(lg10)(lg00分贝贝尔则：IIIIL例：1kHz的痛阈的声强级。db120101lg10lg10120IIL声强级与响度：020db 很静2040db 安静4060db 一般6080db 吵闹80100db 很吵100120db 无法忍受 120db以上 痛苦4.噪声：损伤听觉细胞，干扰中枢神经正常功能，使人神经衰弱、头痛、消化不良等。二.次声波与超声波1.次声波 ：衰减小，在空气、海洋、地下均能畅通无阻。 可监听核试验、火箭发射、火山喷发、台风、地震

18、的信号，并可用计算机精确测定方位。 对人的影响：干扰神经系统正常功能，使人头晕、恶心、呕吐、丧失平衡感，并精神沮丧。 更强的次声波还能使人昏迷、耳聋、精神失常甚至死亡。动物实验：狗：172db 呼吸困难，窒息。192db，频率 69Hz 立即死亡。2.超声波(1)特性：传播方向性好，易于聚集，衍射作用小，反射强；穿透本领强，在固体、液体中衰减小；可获取较大功率。（2）应用： 工业上：探伤，能穿透几十米的金属层；切割、钻孔，加工宝石、石英和超硬金属；焊接，进行冷焊。 农业上：处理种子，提高发芽率、抗病性；处理土壤，增加肥力；超声杀菌；滴虫类在其作用下细胞被破坏而死亡；刺激植物生长；加速新酒老化。

19、5. . 惠更斯原理惠更斯原理一.现象:出现绕射。二.原理： 媒质中波动传到的各点，都可看作是发射子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的抱迹就决定新的波阵面。可解决波的传播方向的问题。也可证明反射定律与折射定律。5. 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 驻波驻波一.叠加原理1.独立性：每个波保持原有特性，互不干扰。2.叠加性：波相遇区域中质点的振动，为各列波在此产生的振动的叠加。二.干涉1.现象：两列波相遇区域出现某些位置振动始终加强，某些位置振动始终减弱的现象。此两列波称为相干波。2.相干条件：频率、振动方向相同，位相差恒定。3.干涉极大与干涉极小的位置y10y20pr1r2设)c

20、os(1110tAy)cos(2220tAyp 点的振动： )2cos()(cos1111111rtAcrtAy)2cos()(cos2222222rtAcrtAy y = y1 + y2 同频率、同方向振动的合成。)2cos(21212212221rrAAAAA)2cos(21212212221rrAAAAA当：krr221212A = A 1 + A2 极大k = 0,1,2 ) 12(kk = 0,1,2 12AAA极小 A 的大小取决于 什么？当：1=2krr12maxAA 2) 12(12krrminAA r 2 r 1 波程差 一般 A 介于 Amin 与 Amax 之间。三. 驻

21、波特例：A 相同的相干波，反向传播叠加而成。)2cos(1xtAy)2cos(2xtAytxAyyycos2cos221特点：1.振幅 xA2cos2为 x 的函数。x = k/2 振幅为 2A ，称为波腹。 x = (2k+1)/4 振幅为零，称为波节。2.间距波腹：21kkxx波节与波腹：43.传播情况：x 不同，振幅不同，各质点以各自的振幅作谐振，并不重复前面的振动，状态与能量无传播。txAyyycos2cos2214.半波损失从波疏到波密（u 较大）出现波节，反射出现振动方向突变，也称位相突变。7. 7. 多普勒效应多普勒效应 讨论波源与观察者相对与介质运动时观察者接受到的频率发生的变

22、化的情况。频率：波源：波源在单位时间内的振动次数或发出的完整波数。观察者：单位时间内接受到的振动次数或完整波数。波的：介质内的质点单位时间内的振动次数或通过的完整波数。且有：bbu这三种频率可以互不相同。一.观察者相对介质运动速度为v相向运动：uv v假设人不动，波传播x1=udt人运动：x2 =vdtdt时间内人观察到的波数：btud)( v单位时间内的波数：bu)(vuubb而：波源频率所以：uvu增加远离运动：可以证明uuv减小二.波源运动 速度为vs此时波长会变化波长：介质中位相差为2的两个振动质点的距离。设波源运动vs：ssubvsTTsbvTus)(vsbbuuuv频率增加。若远离运动，则：suuv减小三.波源于观察者同时运动svvuu 相向运动：v取正，vs取负远离运动：v取负，vs取正即，相向运动，频率增加，远离运动，频率减小。 例题： P、Q为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一媒质