工程力学C：第2章 平面任意力系

1、2022年年3月月22日日2022-3-2212022-3-2221mo45121kNFFO平面任意力系平面任意力系1F2F4F341kNFF1kN mM 木板是否静止？木板是否静止？3F2022-3-223ABFABdF4-1 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 MFABdF = -F = FFFMF d= 可以把作用于刚体上点可以把作用于刚体上点A的力的力 平行移到任一点平行移到任一点B，但必，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 对对新作用点新作用点B的矩。的矩。FF( )BMF=此推导过此推导

2、过程可逆！程可逆！2022-3-224ABFMFABd2022-3-225FMF2022-3-226(b)(a)(b)FFF2022-3-2271F2F3FO2.平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢主矢和和主矩主矩O1F2F3FM1M2M333FF=33()OMMF22FF=22()OMMF11FF=11()OMMF2022-3-228123FFFO2.平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢主矢和和主矩主矩O1F2F3FM1M2M3RFMO33()OMMF22()OMMF11()OMMF33FF=22FF=11FF=RF 123

3、MMM123FFF123()()()OOOMFMFMFOM2022-3-2292.平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢主矢和和主矩主矩ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMRF 123MMM123FFF123FFF123()()()OOOMFMFMFOM主矢主矢主矩主矩2022-3-2210ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM主矢主矢主矩主矩22R()()ixiyFFF RRRRcos(, ),cos(, )iyixFFFiFjFFxyRRxixyiyFFFF 2022-3-2211o4512341kNFFFFO1F2F4F22()()R

4、ixiyFFF kN77. 0RxixFF 707. 0RyiyFF 145sin1o293. 0RRcos(, )iyFFjFRFo45cos1，92. 038. 0RRcos(,ixFFi)F1m3F1kN mM 2022-3-22121m1kN mM o4512341kNFFFFO1F2F3F4FRF01212R0.77kNF 1234()()()()OOOOOMMFMFMFMF0木板不会静止不动。木板不会静止不动。M11kN mOM此简化结果能否进一步合成？此简化结果能否进一步合成？2022-3-2213ABFMFABd1F2F3FOORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM(

5、)BMMF=FF=2022-3-2214ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMxyR00OFM R00OFM R00OFM R00OFM 分四种情况讨论：分四种情况讨论：2022-3-2215OMOni()OOMMFi=1R00OM FORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM2022-3-2216ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM 简化为一简化为一合力合力，且合力的作用，且合力的作用线通过简化中心。线通过简化中心。R00OM FORF2022-3-2217ORFMORF 1niiF1()nOiiMFOMO ORFdR00OFM ORFOMRFRFO OdRFOR

6、MdFRR()OMFF dOM()OiMFRi()()OOMFMF合力矩定理：合力矩定理：2022-3-2218（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。系中各力对同一点矩的代数和。R()()OOiMFMF合力矩定理：合力矩定理：原力系平衡原力系平衡R00OM F2022-3-2219平面任意力系向一点简化结果总结：平面任意力系向一点简化结果总结：主主 矢矢主主 矩矩合成结果合

7、成结果说说 明明MO = 0MO0MO 0MO = 0合合 力力合合 力力力力 偶偶平平 衡衡此力为原力系的合力，合力的作用线此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心通过简化中心合力作用线离简化中心的距离合力作用线离简化中心的距离ORMdF此力偶为原力系的合力偶，在这种情此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关况下主矩与简化中心的位置无关R0F R0F 2022-3-2220平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代上的投影的代数和分别等于零，以及各力

8、对于任意一点矩的代数和也等于零。数和也等于零。（1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程平衡方程R=1niiFF i=1()nOOiMMFR00OFM =1=1=100()0nixiniyinOiiFFMF2022-3-2221 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B处约束力。处约束力。xy

9、（1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象解上述方程，得解上述方程，得（2）画受力图）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解2aaABCDPAyFAxFBF2022-3-2222A（1）固定端支座）固定端支座求：求：A处约束力。处约束力。既不能既不能移动移动，又不能，又不能转动转动的约束的约束 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束固定端约束简图固定端约束简图（三个约束分量）（三个约束分量）ABqlFAAyFAxFAAF2022-3-2223（2）分布载荷的合力）分布载荷的合力dPP0d( ) dlPhP xq x x x合力大小：合力大小：由合力矩定理：由合力矩定理：0

10、0( ) d( )dllq x x xhq xxhlq(x)ABxxdxPdP0( )dlq xx2022-3-2224 两个特例两个特例(a) 均布载荷均布载荷h(b) 三角形分布载荷三角形分布载荷hlq0qlxxPP2l00( ) d( )dllq x x xhq xx0( )dlPq xxql23l00( ) d( )dllq x x xhq xx0( )qq xxl00001( )dd2llqPq xxx xq ll2022-3-2225解：取解：取AB梁为研究对象梁为研究对象求：求：A处约束力。处约束力。ABqlFAlBFMAAyFAxFP2022-3-2226回顾：回顾：1F2F3

11、FOORFMORF 1niiF1()nOiiMFOM平衡方程：平衡方程：R00OFM =1=1=100()0nixiniyinOiiFFMF2022-3-2227解上述方程，得解上述方程，得 解解 法法 2解上述方程，得解上述方程，得2aaABCDPAyFAxFBF= 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,2= 0 xAxyAyBABFFPFFFMFFaPaM=AxAxBFPFPFP =AxAxBFPFPFP= 0,= 0( ) = 0,2= 0( ) = 0,2= 0 xAxABBAyFFPMFFaPaMMFFaPaM2022-3-2228解上述方程，得解上述方程，得 解解 法法 3解上述

12、方程，得解上述方程，得2aaABCDPAyFAxFBF( ) = 0,2= 0( ) = 0,2= 0( ) = 0,2 = 0ABBAyCAxBMFFaMPaMFFaMPaMFF aMFa=AxAxBFPFPFP=AxAxBFPFPFP = 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,2= 0 xAxyAyBABFFPFFFMFFaPaM2022-3-2229ABRF( ) = 0,( ) = 0,( ) = 0ABCMFMFMF（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线）= 0,= 0,( ) = 0 xyAFFMF=0,( ) =0

13、,( ) =0 xABFMFMF xRF否存在三投影式？否存在三投影式？= 0= 0= 0 xyzFFF2022-3-2230AFCFBFACaaaBPFDECBAaaaP2022-3-2231yxo=0( ) =0yOFMF( ) = 0( ) = 0ABMFMF0 xF1F2F3F4F2022-3-2232( ) = 0,BMFNN-250N,3750NABFF已知：已知：F = 2kN，q = 1kN/m求：求： A、B支座力。支座力。D1m2m1mABCFqPNBFNAFN121= 0APFF NN= 0ABFFFP132Pq其其中中= 0,yF2022-3-2233已知：已知：起重机

14、自重起重机自重 P要求最大起重量要求最大起重量 P1各段长度：各段长度：a 、b、e、l。求：求：P2的范围的范围ABbealP1P2P2022-3-2234 2N1( )0,()= 0BAMFP abF bPePl2N( )0,() = 0ABMFPaF bP eb12()PePlP ebPabaABbealP1P2PNBFNAF12PePlPab解解得得: :2()P ebPa解解得得: :2022-3-22351. 几个概念几个概念2. 物体系统平衡方程的数目物体系统平衡方程的数目2022-3-2236ABCPu静定问题静定问题 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程当系统中未知量数目

15、等于或少于独立平衡方程数目时，所有未知量可以全部由平衡方程求出，称为静定问题。数目时，所有未知量可以全部由平衡方程求出，称为静定问题。u静不定问题静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。时，不能求出全部未知量的问题。EDE3. 静定与静不定的概念静定与静不定的概念ABPAFBFAFBFCFD1m2m1mABCFACB1F2F2022-3-2237静不定次数静不定次数 未知量数目未知量数目 独立的平衡方程数目独立的平衡方程数目一次静不定一次静不定二次静不定二次静不定一次静不定一次静不定一次静不定一次静不定ABCPAFB

16、FCF1m2m1mABCEFBA1F2FDEACB1F2F2022-3-2238ABP0.3kNAxF 1.2kNCxF ( ) = 0,AMF解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象0.2kN,0.6kNAyCyFF ( )0,BMF = 0,= 0(2)yAyCyFFFP= 0,= 0(3)xAxCxFFFQ已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN， sin=4/5,求：支座求：支座A、C的约束力。的约束力。ACBPQAB=BC=lAyFAxFCyFCxFAyFAxFByFBxF2 coscossin= 0(1)22CyllFlPQsincoscos02AxAylF lPF2022

17、-3-2239( ) = 0,( ) = 0,( ) = 0ABCMFMFMF（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线）0,0,( )0 xyAFFMF= 0,( ) = 0,( ) = 0 xABFMFMF 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式2022-3-2240求：求：A、E的约束力和的约束力和BC杆内力。杆内力。CDq解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：(2) 取曲杆取曲杆CD为研究对象为研究对象解得：解得：EqaaaaaABCDEDCBAGHAyFAxFEFCFDyFDxF2022-

18、3-2241BCqMCAq1m1mAC1m1mMqB0,0( )0,21 0.500,10 xCxCByCyBFFMFFqFFFq 0.5kN,0,1.5kNBCxCyFFF0,00,10( )0,1 1.520 xAxCxyAyCyAACyFFFFFFqMFMMqF 0,3.5kN,4kN mAxAyAFFM MAAyFAxFBFBFCyFCxFMAAyFAxFCyFCxF2022-3-2242500NDCE500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m求：求：D、E 的约束力。的约束力。解：解：(1)取取CDE为研究对象为研究对象( )0,2 500 40(1)0,5000(2)0

19、,0(3)EDyyDyEyxDxExMFFFFFFFF 解上述方程，得解上述方程，得1000N,500NDyEyFF (2)取整体为研究对象取整体为研究对象( )0,4 500 2 500 60ABMFF 1000NBF 解得解得:DyFDxFEyFExFAyFAxFBF2022-3-2243GEBExFEyF(3) 取取BEG为研究对象为研究对象( )0,GMF 1500NExF 解得解得:1500NDxF 代入（代入（3）式得）式得:1500N1000NDxDyFF 1500N500NExEyFF 1000N,500N,1000NDyEyBFFF 500NDCE500N500NAHDCGE

20、B2m2m2m2m2m2mDyFDxFEyFExFAyFAxFBFBFGyFGxF4220BExEyFFF 2022-3-2244DFEP解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象( )0,200CByByMFFaF得(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象( )0,0( )0,20EDyBDxMFFaP aMFFaPa 解得：解得：,2DyDxFPFPDxFDyF求：求：A、D、B的约束力。的约束力。CaBDAFEaaaPByFBxFCyFCxFBNEF2022-3-2245BDA(3) 取取ADB杆为研究对象杆为研究对象( )0,200,00,0ABxDxxAxDxBxyAyDyB

21、yMFFaFaFFFFFFFF解得：解得：,BxAxAyFPFPFP DFEP(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象( )0,0( )0,20EDyBDxMFFaP aMFFaPa 解得：解得：DyDx,2FPFPBNEFDxFDyFByFBxFDyFDxFAyFAxF2022-3-2246aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)aBCDAFEaaa(a)PaBCDAFEaaa(b)P2022-3-2247求：求：A、D的约束力。的约束力。解：解：(1)取取BC杆为研究对象杆为研究对象( )0,20(1)0,0(2)0,0(3)CByyByCyxBxCxMFPaFaFFFP

22、FFF 解得：解得：0.5ByCyFFPABCDaaaa2a2aPPBCPCyFCxFByFBxF2022-3-2248(2)取取AB杆为研究对象杆为研究对象0,0( )0,2200,0yAyByBAxAyxAxBxFFFPMFFaFaPaFFF解得：解得：,1.5 ,AxAyBxFP FP FP代入（代入（3）式解得：）式解得：CxFP ABCDaaaa2a2aPPByFBxFABAxFAxFP0,0(3)xBxCxFFF 求：求：A、D的约束力。的约束力。解：解：(1)取取BC杆为研究对象杆为研究对象2022-3-2249(3)取取CD杆为研究对象杆为研究对象0,00,0( )0,220

23、xDxCxyDyCyDDCxCyFFFFFFMFMFaFa解得：解得：0.5DxDyDFPFPMPa CxFCyFABCDaaaa2a2aPP解：解：MDDxFDyF求：求：A、D的约束力。的约束力。2022-3-2250qMABCDEH2m2m2m2m1m1m解：解：(1) 取取DE杆为研究对象杆为研究对象( )0,22 30110kNHDxDxMFM FqF 求：求： A、B的约束力。的约束力。已知：已知：q=50kN/m, M=80kNmqMEDHDxFDyFHEF2022-3-2251qMABCDEH2m2m2m2m1m1m(2) 取取BDC杆为研究对象杆为研究对象NN( )0,130

24、110kN3CDxBBMFFFF (3) 取整体为研究对象取整体为研究对象NN0,00,20( )0,62 30 xAxByAyAABFFFFFqMFMM Fq 110kN,100kN,30AxAyAFFM解得：解得：BCDDxFDyFCyFCxFNBFMAAxFAyFNBF2022-3-2252求：求： A、E处的约束力。处的约束力。已知：已知：G=1000 NFAx= 2075 N, FAy= -1000 N FEx= -2075 N, FEy= 2000 NGAxFAyFExFEyFExFEyFBxFByFTF2022-3-2253求：求： A、B 、C处的约束力。BCMNBCMFFl2

25、00 250 2 N250 2 NN mAxAyAFFM 300+ 1000 2-300已知：已知：F = 500 N, M = 600 N.m q = 250 N/mBCDA2mMq2m3mFBqDAFMAAxFAyFBFCFBF2022-3-2254 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的； 杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接；载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上； 重量平均分配在节点上。重量平均分配在节点上。理想桁架理想桁架 桁架是一种由杆件彼此在两端桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰后几何形状不

26、变。桁架中杆件的铰链接头称为链接头称为节点节点。4-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算桁架的优点是桁架的优点是：杆件主要承受拉力：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量。节约材料，减轻结构的重量。桁架中各杆均为桁架中各杆均为二力杆二力杆平面桁架平面桁架空间桁架空间桁架2022-3-2255 节点法节点法 截面法截面法 在一个基本三角形框架上每增加在一个基本三角形框架上每增加二个杆件的同时增加一个节点而二个杆件的同时增加一个节点而形成的桁架。如图示。形成的桁架。如图示。计算桁架杆件内力的方法：计算桁架杆件内力的方法：

27、逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。交力系的平衡方程求出各杆的内力。截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。2022-3-2256求：求： 桁架各杆件的内力。桁架各杆件的内力。已知：已知：F=10kN解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象42 = 0BFF = 0AxF1= 0,= 5KN2AxAyBFFFF42 = 0

28、AyFF ( )0BMF，( )0AMF，0 xF，解得：解得：(2) 取节点取节点A为研究对象为研究对象A= 0 xF= 0yF12cos30= 0FF1sin30 = 0AyFF解得：解得：12= 10KN,= 8.66KNFFAyFAxF30A21DCB54330FByFAyF1F2F2022-3-22575F3FF143() sin30= 0FFF(4) 再再取节点取节点D为研究对象为研究对象(3) 取节点取节点C为研究对象为研究对象= 0 xF= 0yF14cos30cos30 = 0FF解得：解得：43= 10KN,=10KNFFCF2D= 0 xF52= 0FF解得：解得：522

29、= 8.66KNFFF 综上，杆综上，杆1 1和杆和杆4 4受压力，大小均为受压力，大小均为1010KN；杆；杆2 2、3 3、5 5受拉力，大小分别为受拉力，大小分别为8.66 8.66 KN，10 10 KN，8.66 8.66 KN。30A21DCB54330FByFAyFAxF4F1F3F2022-3-2258求：图示桁架各杆的力。求：图示桁架各杆的力。 解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象= 0,20= 0= 0,40= 0( ) = 0,5 120= 0 xAxyAyByAByFFFFFMFF 20kN16kN24kNAxAyByFFF 解得：解得：10kN10kN10

30、kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCAyFAxFByF2022-3-2259(2) 取节点取节点C为研究对象为研究对象21= 0,20= 0= 0,= 0 xyFFFF解得：解得：kN20021FF(3) 取节点取节点 A为研究对象为研究对象4313= 0,cos45 = 0= 0,sin45 = 0 xAxyAyFFFFFFFF3416 2 KN36 KNFF 解得：解得：依此类推，可求得依此类推，可求得其余各杆内力。其余各杆内力。10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020

31、kNCAyFAxFByF20kNC1F2FA1F3F4FAyFAxF2022-3-2260解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象= 0,20= 0= 0,40= 0( ) = 0,5 120= 0 xAxyAyByAByFFFFFMFF 20kN16kN24kNAxAyByFFF 解得：解得：10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCAyFAxFByF求：桁架求：桁架6、7、8各杆的力。各杆的力。 2022-3-226110kN10kN10kN10kNAB123456789101114121315161718192

32、12020kNC(2) 根据解题的需根据解题的需要，假想用一截面要，假想用一截面截断体系。截断体系。(3) 取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。mn7687= 0,sin4510= 0( ) = 0,11 20 1= 0( )0,121 10 1= 0yAyDAyCAxFFFMFFFMFFFF 67836KN,6 2 KN,42KN.FFF AyFAxFByFD220kNC10kNA13458F6F7FAyFAxF2022-3-2262aaaaaa21ABECD求：桁架求：桁架1、2杆的力。杆的力。 解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象N

33、N= 0,= 0= 0,= 0( ) = 0,3= 0 xAxyAyBABFFFFFPMFFaP a= 0,= 2/3,=/3AxAyByFFPFP解得：解得：(2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象22( ) = 0,0.5cos0.5sin0.5 = 0EMFPaFaFa3/52PF 解得：解得：AyFAxFNBFPPE3F2F4F5F2022-3-2263aaaaaa21ABECD(2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象22( ) = 0,0.5cos0.5sin0.5 = 0EMFPaFaFa3/52PF 解得：解得：AyFAxFNBFPPE3F2F4F5F(3

34、)取节点取节点 A 为研究对象为研究对象12= 0,sin= 0yAyFFFFPF1解得：解得：A2F6F1FAyFAxF2022-3-2264123456789101112131415161718192021222324求：图示桁架中受力求：图示桁架中受力为零的杆件。为零的杆件。 解：由节点法可知解：由节点法可知(a) 图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：3、12、9。(b) 图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：1、3、4、13、14、12、11、17、21。123456789101112132F1F2022-3-22651. 力的平移定理：力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。矩等于原来的力对新作用点的矩。2. 平面任意力系向平面内任选一点平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即R=1=1=1nnnixy