新课标数学必修4知识点总结

1、第一章?三角函数?一，任意角与弧度制1, 角的定义：一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。逆时针方向旋转为正角，顺时针方 向旋转为负角，不作任何旋转形成零角。2, 角的象限：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在哪一个象限, 这个角就称为哪一象限的角。第一象限的角2k 2k ,k Z，第二象限的角22k ,2k,k第三象限的角2k，3t 2k，k Z，第四象限的角2k ,22k ,k Z，3,所有与角终边相同的角的集合：S |2k ,k Z的弧度数的绝对值是4, 弧度制：如果半径为 r的圆的圆心角所对的弧长为I，那么角弧度与角度的互化：180rad 1rad1

2、80彳人1801rad5，弧长公式：11叮 扇形的面积公式：S扇形=3 rl-r2其中2度、半径、弧长,r,l分别为扇形的圆心角弧强化训练:1，角是第二象限角，试确定角2，尹冬边所在的位置2， 1假设角 与角的终边关于x轴对称，那么与的关系是2假设角 与角 的终边关于原点对称，那么与的关系是4, 假设角 是第四象限角，那么是第象限角5, 在扇形中，半径为 8,弧长为12，那么圆心角是弧度，扇形面积是 6, 一扇形的周长为 40cm，当它的半径和圆心角各取多少时，才能使扇形的面积最大？最大面 积为多少？，任意角的三角函数1，三角函数的第一定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x, y那

3、么 siny, cosx , tanyx2,三角函数的第二定义：设是一个任意角，在角的终边上任取一点 P(x,y)，令OP rvx那么 sin ， cos ， tan rr3,三角函数线：有向线段MP，OM，AT分别为角 余弦线，正切线，合称三角函数线。平方关系：2 sin2 cos1商数关系：sintan(kcos5, sina与cos ,sina与cos4,同角三角函数关系角角角角的大小关系的终边在阴影局部内，那么 sin 的终边在阴影局部外，那么 sin的终边在阴影局部内，那么|sin的终边在阴影局部外，那么sincoscoscoscos强化训练1,角 1的终边上有一点 P 3a,4a，

4、分别求sin ,cos2,cos0,tan0 ,试判断角所在的象限3,在0,2内，使sincos 成立的的取值范围是4,化简：J2sin 5cos55,sin11，且角为钝角，求cos ,tan的值6,tan2，求sin ,cos 的值的值、sin2cos、 2小212sin3cossin2cos3cos4si n8,sincos7,0，求1sin cos2sin47,tan 2，求以下各式的值cos3tan三，三角函数的诱导公式公式一：sin2ksin ,cos2kcos ,tan2ktan公式二：sin+-sin ,cos +-cos ,tan+tan公式三：sinsin ,coscos,

5、ta ntan公式四：sinsin ,coscos ,tantan公式五：sin2cos ,cos 2sin公式六: sin +cos ,cos +-sin22诱导公式的规律：奇变偶不变，符号看象限。k意思是：，k Z的三角函数值可化为角的三角函数值。当k为奇数时，函数名改变；当k2为偶数时，函数名不变。角限内的符号。的函数值前面加上视为锐角时，原函数值在,k Z所在象强化训练：1，求以下各三角函数的值1sin( 945 )2tan31633sin 1200 cos353cos585 tan2， 1 sin31 5-，求sin 的值2 32 cos 64m，求sin的值33,1 tan3 2

6、2，求 cos2sincos1 tan22sin的值四，三角函数的图像和性质1，正弦函数：y sin x的性质1定义域为R，值域为1,12最小正周期为23单调性单调增区间一22k ,2k ,k24奇偶性奇函数5对称性对称轴：直线x-k ,k Z ,22,余弦函数:y cosx的性质1定义域为R，值域为1,12最小正周期为Z，单调减区间2k ,32k ,k Z22对称中心：点k ,0 ,kZ23单调性单调增区间2k ,2k ,k Z，单调减区间 2k2k ,k Z4奇偶性偶函数45单调性奇偶性对称性单调增区间奇函数对称中心：点,k5对称性对称轴：直线x k ,k Z ,对称中心：点-k ,0 ,

7、k Z23,正切函数:y tan x, xk , kZ的性质21定义域为x |x R,x k , kZ ，值域为R 2最小正周期为2三角函数的图像变换三种根本变换：1。周期变换：ysinysin x0，纵坐标不变，横坐标变为原来的相位变换:ysinysin(x ),向左0或向右0平移个单位。“加左减右振幅变换:ysinyAsinx A0，横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。sinyAsin( x)0,A 0,三个参数不冋，所以要经过三个根本变换，每一个基4,1本变换改变一个参数。变换的步骤一般是先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换。5，三角函数图像求三角函数y Asin( x ),

8、A 0,0解析式由最大最小值求出 A，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出。注意，取零点时要 注意是第一零点还是第二零点。相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为半个周期；相邻的 两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中心的间距为四分之一个周期强化训练：12sin(-2x -)的周期，振幅，初相分别是，41，函数y2,函数ycos(2x-)的图象的一条对称轴方程是2A. xB.xC.x D.x2483,要得到函数y=sin(2x-)的图象，只要将函数y=sin2x的图象3A.向左平行移动个单位3B.向左平行移动个单位6C.向右平行移动个单位3D.向右平行移

9、动个单位6，那么值域是4,假设函数 y cos2 x 2sinx的定义域为xA.,2 B.2,2 C.D.5,函数ycos(-、)的单调递增区间是236,函数y、4 x2lg1 2sin x的定义域为4y- $ -2 o6x-47，如图是函数y Asin( x )(A 0,0,)的图象的2一局部。那么函数的解析式是 1 宀8，函数y 2sin( x )由y=sinxx R的图象怎样变换得到的?2 6第二章?平面向量?一，向量的根本概念1, 向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2, 向量的表示：1字母表示：a， AB2几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3，向量的根本概

10、念1 模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作a2零向量：长度为0的向量3单位向量：长度为1的向量4共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作5相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。6相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。a/b。强化训练1，以下说法正确的选项是A长度相等的向量就是相等向量C零向量的长度是 0B共线向量就是在一条直线上的向量D方向相同或相反的向量是平行向量2,如图，三角形 ABC的三边均不相等，E，AB，BC的中点1写出EF与共线的向量2写出所有与F，D分别为AC，EF模相等的向量D二，平面的线性运算1，向量的加法1加法法那么1

11、平行四边形法那么：共起点AB AC ADAB BCAC2相关结论a a b12a2，向量的减法 减法法那么3B12-63,数乘运算 1定义：规定实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做长度与方向规定如下：12当0时,a的方向与a的方向相同;0时，a的方向与a的方向相反2相关结论:1a 23 a b a b40 03向量共线定理:a为非零向量，贝U a/b为唯一确定的实数4三点共线问题:假设 A、B、C三点共线AB / AC或 AB/BC推论：假设OAmOB nOC，贝U A、B、C三点共线强化训练:1，在平行四边形ABCD 中 OA a,OBb,OC c,ODd,那么以下运算

12、正确的选项是(A)a b c d0 (B)a b c d0 (C)a b0 (D)a b2,化简以下各式，结果为零向量的个数为1AB BC CA 2 AB AC BD CD 3OA ODAD 4NQQP MNMP那么F,3,如图，平行四边形 ABCD勺边BC, CD的中点分别为 E,AE a, AF b，试用 a, b 表示 BC, CD4,设P是三角形ABC所在平面内的一点，BC BA 2BP ,(A)PA PB 0 (B)PB PC 0 (C)PC PA 0 (D)PA PB PC 01 5, 在三角形ABC中,D是AB边上的一点，假设AD 2DB , CD 一CA CB，那么36, 两非

13、零向量 a,b，设OA a b , OB a 2b , OC a 3b，判断A, B, C的位置关系三，平面向量根本定理及坐标表示1,平面向量根本定理1平面向量根本定理：如果 e， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，使 a ee22基底：不共线的两个向量e， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。4向量的夹角：作OAa,OB b，贝y AOB叫做向量a与b的夹角。两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3向量共线定理的推论：H，11-t- 假设a 浄1e2 , b 2e2佥，贝u a/b1 22 1交叉

14、相乘，积相等显然0 ,180 ，当 0时，a , b同向；当 180时，a , b反向，当90时，称a ,b垂直，记作a b。2,平面向量的正交分解及坐标表示1正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。fr2坐标表示：取分别与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，那么a xi yj。我们将有序数对 x, y叫做向量a的坐标，记作a = x, y 。3向量的坐标运算假设 a = %, % , b = X2, y2 ，贝Ua b 为 X2,% y , a b 人 x?,% y? , a4向量平行的坐标表示r-r-H ¥假

15、设 a =捲，如,b = X2,y2 ，那么 a/bx$2 X2y1 0强化训练e2与b(2e 3e>)共线，那么 ，设e1 ,e2为两个不共线的向量，假设a e2,在三角形ABC中，设ABa , AC b，点D在线段BC上，且bD 3 DC ,那么把AD用a, b表示为，3, BCD的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(O,O)，那么它的第4个顶点D的坐标是 4, ABC的三个顶点 A、B、C及所在平面内一点 P满足PA PB PC AB，那么点P 与厶ABC的关系是： A P在厶ABC内部B、P在厶ABC外部武汉市第十五中学高一数学组12-8C P在直线AB上、P在厶ABC的

16、AC边的一个三等分点上5,两点R4,-9),Q-2,3),y轴与直线PQ交于M且PMmq贝y 为9,如图，平行四边形 ABCD中，点E, F分别是a, b 表示 DE, BF,CG中点，G为BF , DE的交点，假设 AB a, AD四，平面向量的数量积1, 数量积的定义：两个非零向量a , b ,我们把数量a|bcos叫做向量a与b的数量积，记作ab, 其中 是向量a , b的夹角。特别地，我们把 a cos叫做a在d方向上的投影。2, 数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影 b cos的乘积。3, 运算律:1 8- Hab = ba 2 aFb = ab = ab

17、3a i-bc = ac be4,相关结论：1 1-0a02a b2ab 03aa；4ab ab 2 '2 1 12 -I-r2 -25a ba 2abb6 ababa b5,数量积的坐标表示：假设 a =x1, y-!, b =X2,y2，那么 ab%x2y26,坐标运算的相关结论1假设 a = x,y，那么 a 丫 x2 y2fI"2假设a =%,% , b = X2,y2，那么 aby203COS1ab7,向量与三角形的“四心点P是三角形所在平面内的一点, 1假设PA PB PC 0，那么点P是三角形ABC的重心；2假设PAPB PB-PC P-PA，那么点P是三角形A

18、BC的垂心；2 2 23假设PA PB PC ，那么点P是三角形ABC的外心；4令AB c, BC a,CA b,假设aPA bPB cPC 0，那么点P是三角形ABC的内心。强化训练1，假设等边三角形ABC的边长是2 3，平面内一点M满足CM -CB -CA，那么63MA-MB 。2,假设a -b 2,a b v'7，那么a与b的夹角 的余弦值为3，a (2,1), b (3,4),那么向量a在向量b方向上的投影为4,假设向量a (1,2)，b (x,1)，当a 2b与2a b垂直时，求x.rrrV'5，a b 2, 8 ， a b 8,16，求ab及a与b的夹角的余弦。6, a 4, |b|3，(2a-3b)?(2a b) 61,(1)求ab的值；2求a与b的夹角；3求a b的值.F -» rr7, 设a、b是两个不共线的单位向量，且a与b夹角为120，那么实数x为何值时|a xb |的值最 小？，两角和与差的公式和角公式