高等数学第六章第1节定积分在几何上的应用

1、第一节第一节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用1微元法微元法2平面图形的面积平面图形的面积3立体的体积立体的体积4平面曲线的弧长平面曲线的弧长一一 微元法微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路程问题，程问题， 当所求量当所求量U具有下列三个特点具有下列三个特点有关的量；有关的量；（1）U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间,ba（2）U对于区间对于区间具有可加性，具有可加性，,ba niiUU1而而（3）可以）可以“以匀代不匀以匀代不匀”求部分量求部分量iU 的近似值的近似值个小区间个小区间即如果用分点即如果用分点,babx

2、xxxan 210把区间把区间分成分成n), 2 , 1(,1nixxii U相应地分成相应地分成则则n个部分量个部分量,iU ), 2 , 1()(nixfUiii 其中其中.,11iiiiiixxxxx 于是于是 niiixfU1)( 令令, 0max1 inix 得得iinixfU )(lim10 badxxf)(这里这里iiixfU )( 含义是含义是是较是较()iiiUfx ix 高阶无穷小高阶无穷小. 即即iixf )( 是是iU 的线性主部的线性主部.一般地一般地, 如果某个实际问题具有上述的三个特点如果某个实际问题具有上述的三个特点,在利用定积分求解时在利用定积分求解时,可以按

3、下述的步骤求解可以按下述的步骤求解:这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等压力；引力和平均值等二二 平面图形的面积平面图形的面积1 直角坐标系平面图形的面积直角坐标系平面图形的面积xyo( )f x( )g xab设设,ba上连续函数上连续函数)(),(xgxf满足满足,)()(baxxgxf 则由曲线则由曲线)(xfy 与与),(xgy bxax ,所围的平面图形的面积所围的平面图形的面积为为 badxxgxfS)()(xyo( )f xabxdxx ( )

4、g x事实上事实上(1) 平面图形介于平面图形介于直线直线bxax ,之间之间,因此选取因此选取x作为积分作为积分变量变量,ba作为积分作为积分区间区间;(2) 在在,ba上任取一个区间上任取一个区间,dxxx 相应于该小相应于该小区间的平面图形可以近似看成以区间的平面图形可以近似看成以)()(xgxf 为高为高,dx为底长的长方形为底长的长方形, 所以得面积的微元素所以得面积的微元素dxxgxfdS)()( (3) 以以dxxgxf)()( 作为定积分的被积表示式作为定积分的被积表示式,在在,ba作定积分得作定积分得 badxxgxfS)()(同理由同理由,dc上连续曲线上连续曲线)()()

5、(),(ygyfygxyfx 与直线与直线dycy ,所谓的平面所谓的平面图形的面积图形的面积xyo( )f y( )g ycd ),(yyf),(yygy dcdyygyfS)()(为为解解两曲线的交点两曲线的交点) 1 , 1 () 0 , 0(面积元素面积元素dxxxdS)(2 选选 为积分变量为积分变量x 1 , 0 xdxxxS)(210 103)332(23xx .31 或选或选y为积分变量为积分变量,1 , 0 y,)(2dyyydS 102)(dyyyS103)332(23yy .31 xyo2yx yx (1,1)x xdx 例例2 求由曲线求由曲线2,2 yxyx所围的平面

6、图形的所围的平面图形的面积面积xyoyx yx 2yx)1, 1( )2 , 4(1解法解法I解方程组解方程组 22yxyx得两曲线的交点为得两曲线的交点为),4 , 2(),1, 1( 该图形可以看成是由该图形可以看成是由1, xxyxy围成的平面围成的平面图形与图形与1, 2, xxyxy所围成的平面图形两个所围成的平面图形两个部分构成的部分构成的, 因此取因此取x为积分变量为积分变量,积分区间分别为积分区间分别为4 , 1,1 , 0得得 10)(dxxxS 41)2(dxxxxx2xy 2xyxyo)2 , 4()1, 1( 412231023)2232(34xxxx 635 解法解法

7、II取取y为积分变量为积分变量,积分区间为积分区间为,2 , 1 则则 212)2(dyyyS2132)322( yyy635 y解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdS)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdS)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21SSS dxxxxS)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 ( 2,4) (3,9)例例4 在曲线在曲线)42(ln xxy上求一点上求一点P，使得，使得,ln xy 直线直

8、线4, 2 xx所围成所围成该点的切线与曲线该点的切线与曲线的平面图形的面积最小。的平面图形的面积最小。lnyx xyo24)ln,(tt解解则切线方程为则切线方程为)(1lntxtty 因此因此 42)lnln1()(dxxttxtS2ln6ln26 tt)42()ln,( ttt设切点为设切点为,26)(2tttS 0929294)3( S3 t因此当因此当时，面积最小。时，面积最小。, 30)( ttS所求点为所求点为).3ln, 3(解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA0

9、4 02)cos(sin4 tatdbdttab 202sin4.ab tbytaxsincos 则则令令2 极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积设由曲线设由曲线)( 及射线及射线 ,围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积，求其面积， 这里这里)( 在在, 上连续上连续.( ) xo d 选积分变量选积分变量, 积分区间积分区间, 在区间在区间, 上任取一小区间上任取一小区间, d 相应相应地得到一小的曲边扇形地得到一小的曲边扇形, 它可以用半径为它可以用半径为),( ( ) 中心角中心角为为 dd 的扇形近似代替的扇形近似代替, 因此因此,)(212 ddS dS)(212同理

10、同理,由连续曲线由连续曲线),(1 )()(0(21 )(2 及射线及射线)(, 所围的平面图形的面积为所围的平面图形的面积为1( ) 2( ) xo dS)()(212122解解 dadS22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知 o(1cos )a.232a d2)cos1( 02212aS d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14SS daS2cos214402 .2a o4 1cos3cos ox3 例例8 求由曲线求由曲线 cos1,cos3 所围成的平所围成的平面图形面

11、图形(如图所示阴影部分如图所示阴影部分)的面积的面积.解解解方程组解方程组 cos1cos3得得,3 取积分变量取积分变量, 积分区间积分区间,3,3 因此因此 3322)cos1(cos921 dS 3021cos2cos8 d 三三 立体的体积立体的体积1 已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积设空间某立体是由一曲面和过设空间某立体是由一曲面和过ba,且垂直于且垂直于x轴轴的两平面围成的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于如果已知该立体上且垂直于x个截面面积个截面面积轴的各轴的各),(xSS 求此立体体积求此立体体积. 其中其中)(xS为区为区间间,ba上连续函数上连续

12、函数.xdxx oxab取取x为积分变量，为积分变量，,ba为积分区间，为积分区间，在在,ba任取任取一小区间一小区间,dxxx 可以近似地看可以近似地看成以成以)(xS为底，为底，dx为高的柱体，为高的柱体，截下的物体截下的物体相应相应所以所以dxxSdV)( badxxSV)(解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R xRR xyo解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体

13、体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 2 旋转体体积旋转体体积( )yf x xyoabx设空间物体是由连续曲线设空间物体是由连续曲线)0)()( xfxfy与直线与直线bxax ,及及x轴围成的平轴围成的平面图形绕面图形绕x轴旋转一周而得轴旋转一周而得的的, 求此物体的体积求此物体的体积.取取x为积分变量为积分变量,ba为积分区间为积分区间, 在在,ba上任取上任取一点一点,x相应物体的截面是以相应物体的截面是以)(xf为半径的圆为半径的圆, 因此其因此其面积为面积为),()(2xfxS 所以所求的物体体积为所以所求的物体体积为 badxxfV)(2 ( )g yxoycdy同理同

14、理,空间物体是由连续曲空间物体是由连续曲)0)()( ygygx线线与直与直dycy ,及及y轴围成的平轴围成的平面图形绕面图形绕y轴旋转一周而得轴旋转一周而得的的,线线此物体的体积为此物体的体积为 dcdyygV)(2 例例11求由曲线求由曲线,xy 直线直线4 x及及x轴所围平轴所围平面图形绕面图形绕yx,轴旋转一周所得立体的体积轴旋转一周所得立体的体积.解解绕绕x轴旋转轴旋转yx x4xyo取取x为积分变量为积分变量,4 , 0为积分为积分区间区间, 则则 402)(dxxVx 8 绕绕y轴旋转轴旋转2xy 4yxyo取取y为积分变量为积分变量,2 , 0为为积分区间积分区间, 对对2

15、, 0上任一上任一, y相应的截面面积为相应的截面面积为)16()(4yyS 因此因此 204)16(dyyVy 5128 1e1xye yex 例例12求由曲线求由曲线xey 及及xey 在点在点), 1( e处的切线和处的切线和y平面图形绕平面图形绕yx,立体的体积立体的体积.解解 xey 在点在点), 1( e处切线方程处切线方程为为.exy x 10222)(dxxeeVxx )2161(2 e1e1lnxy yxe 轴围成的轴围成的轴旋转一周所得轴旋转一周所得yy 1022dyeyVy dyyeye)ln(1222 )322(e 解解由对称性得旋转体的体积由对称性得旋转体的体积323

16、232ayx 的参数方程为的参数方程为 taytax33sincos adxyV022 taytax33sincos 则则令令 02273cossin6 tdtta 202323coscos)cos1(6 ttdta310532a ( )yf x aboxy例例14求由连续曲线求由连续曲线)(xfy 直线直线bxax ,及及x轴所围的曲边梯形轴所围的曲边梯形绕绕y轴旋转一周所得立轴旋转一周所得立体体积体体积.解解取取x为积分变量为积分变量,ba为积分区间为积分区间, 在在,ba上上任取小区间任取小区间,dxxx 相应的曲边梯形可以近似地看相应的曲边梯形可以近似地看成底长为成底长为dx高为高为)

17、(xf的矩形的矩形,xxdx 其绕其绕y轴旋转一周轴旋转一周所得的旋转体体积为所得的旋转体体积为222)()(2)()(dxxfdxxxfxfxdxx dVdxxxf )(2 所以所以 badxxxfV)(2 xoy0MA nMB 1M2M1 nMBMMMMMAnni ,110四四 平面曲线弧长平面曲线弧长1 直角坐标表示的平面曲线的弧长直角坐标表示的平面曲线的弧长 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy ),(bxa 其中其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数, 取积分取积分, x变量为变量为在在,ba上任取小上任取小,dxxx 区间区间以对应小切以对应小切线段的长代替小弧段的长度线

18、段的长代替小弧段的长度.小切线段的长为小切线段的长为22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba abxdxx xyo( )f x dy解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例16解求曲线解求曲线 xdtty323的全长的全长.解解定义域为定义域为,3, 3 ,32xy 3321dxys 3324dxx 332cos4 tdt334 2 参数方程所表示的平面曲线的弧长参数方程所表示的平面曲线的弧长设曲线弧的参数方程为设曲线弧的参数方程为,)()( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有连续导数上具有连续导数, ,且且, 0)()(22 tt 则则22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 所以所以.)()(22