中南大学高数27隐函数微分法

1、2.72.7隐隐函函数数微微分分法法教学目的与要求教学目的与要求： 会求隐函数会求隐函数( (包括由方程组确定的隐函数包括由方程组确定的隐函数) )的一的一阶、二阶偏数。阶、二阶偏数。隐函数的微分法 第七节 与一元函数的情形类似, 多元函数也有隐函数.如果在方程式0),(zyxF中,2),(Ryx时, 相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方程在 内确定隐函数. ),(yxfz 注意, 隐函数不一定都能显化.隐函数(二元)的概念如果在方程式0),(uXF中, nRX时, 相应地总有满足该在 内确定隐函数. )(Xfu 方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 将概念推广到一般情形多

2、元隐函数 的导数一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数 本节讨论本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .0),(. 1 yxF一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一

3、邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还有例1. 验证方程验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(y

4、xeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx

5、)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法 利用隐函数求导例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(

6、000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在例3. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解法2 利用公式利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)

7、2()2(zxz2zxzx242 zFzzxFFxz xz例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程故对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx

8、 2F0)(dzy 1F 2F0思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解法法1令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvu

9、yzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(1),(),(:),(),(),(:2212121xyffFxzffFyzffFxyzzyxfzzyxFxyzzyxfzzyx可得设由解法.)(1;)(1212121212121xzffxyffFFzyyzffxzffFFyxxyffyzffFFxzyzxyzx二、方程组的情形二、方程组的情形 为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形, 我们首先要介绍雅可比行列式.),(),(2121n

10、nxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn ), 2 , 1( ),(),( 121niCxxxFunii设雅可比行列式记号问 题 1 设0),(0),(zyxGzyxF确定函数, )(xzz 求,ddxy。xzdd, )(xyy 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？方程组 ,1CGF得求导对的两边对方程组利用隐函数求导的方法,0)(),(,(0)(),(,(,xxzxyxGxzxyxF00zGyGGzFyFFzyxzyxxzyxzyGzGyGFzFyF),),(),(0zyGFJGGFFzyzy即若知由克莱

11、姆法则,),(),(),(),(,),(),(),(),(zyGFxyGFGGFFGGFFdxdzzyGFzxGFGGFFGGFFdxdyzyzyxyxyzyzyzxzx 我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).000000000962.13(1) ( , , ),( , , )(,);(2) ,;(3) (,)(,)0;( ,)(4)0;( , )yzyzPF x y z G x y zxyzDF GDF xyzG xyzFFF GGGy z定理设在含点的一个开区域 上连续在 上有连续的偏导数(4)式为雅可比行列式式为雅可比行列式xxzxyxGxzxyxFxzzxyyx

12、x,0)(),(,(0)(),(,(),(),(),(0) 1 ( :00使得连续函数上惟一的一组和定义在存在则),(),(),(),(,),(),(),(),(,)2(zyGFxyGFGGFFGGFFdxdzzyGFzxGFGGFFGGFFdxdyzyzyzyxyxyzyzyzxzx且上有连续的导数在222226.2320( , )zxyxyzzz x y 例 求由方程组所确定的隐函数的导数2032),(),()( :122222zyxzyxGzyxzyxF设公式法解法),(),(zyGF04126412yyzzyyGGFFzyzy),(),(zxGFxxzzxxGGFFzxzx212621

13、2),(),(xyGFxyxyxyxyxyGGFFxyxy4842422yyzxyyyzxydxdzyyzxxzyyzxxzdxdy34124266412212)( :2用推导公式的方法解法得求导对的两边对方程组,203222222xzyxyxz0642022xxxxzyyxzyyx则克莱姆法则有时当,04126412yyzzyyyyzxyyyzxyxydxdzyyzxxzyyzzxxdxdy34122422,2664126212101P例2.57问 题 2 设0),(0),(vuyxGvuyxF确定函数求方程组 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？, ),(yxuu , ),(yxvv ,

14、xu,yu,xv。yv,1CGF 想想, 怎么做 ？ 利用问题 1 的结论 , 你可能已经知道应该怎么做了 .分别将 x 或 y 看成常数 依葫芦画瓢哦 ！问 题 2 定理.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),

15、(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式同样可得),(

16、),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例7设0022yvuxvu确定函数),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解法1令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG则),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xuGF0112u1),(),(vyGFv21101),(),(yuGF1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv 在实际求解时, 我们往往按照前面分析的过程, 对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导,

17、然后解关于相应的偏导数的代数方程组.解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 9.( , ),u vu vzz x yxezzyexyzuv 例 设函数由方程组所确定 求:,u vx yzuvzuvvuvux

18、xxyyyuvzvxxyy 解1 易知都是的函数要先求出yevuyxGxevuyxFvuvu),(),(设,2101xyyxxyxGGFFGGFFxuvuvuvxvxyyvyyzxyyxxyxGGFFGGFFxvvuvuxuxu21,21,2101同理可得yyuyvvyuyzxxuxvvxuxz2ln,2ln:则得例10.设函数设函数在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxv

19、uyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1

20、011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例10的应用: 计算极坐标变换计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结三、小结已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求?

21、 yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0t

22、ttezxx(2001考研考研)解得因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)解法2 微分法微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得

23、雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._.二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz练练 习习 题题三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttzty